广东省江门市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次学段考试数学试题
1．（2024高一上·江门期中）若函数 为幂函数，则实数 （ ）
A．2 B．-1 C．-1或2 D．3
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由于 为幂函数，所以 ，解得 或 .
故答案为：C.
【分析】根据函数 为幂函数列方程，解方程求得 的值.
2．（2024高一上·江门期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式结合集合的特征可得集合，解对数不等式求得集合，根据集合的交集运算求解即可.
3．（2024高一上·江门期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，因为，所以，
对数函数单调递增，，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性，可得，利用中间值和对数函数单调性可得，从而确定的大小关系.
4．（2024高一上·江门期中）函数的零点所在的区间可能是（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，又函数图象连续且在单调递增，
所以函数的零点所在的区间是，
故答案为：B．
【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理，通过计算区间端点的函数值符号来确定零点所在区间.
5．（2024高一上·江门期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
当时，所以，故排除C.
故答案为：D.
【分析】 为了确定函数图象大致形状，应从函数的基本性质出发，包括奇偶性、单调性、渐近线和关键点的性质.对于题中给定函数，当时，；当时，，由对勾函数的奇偶性和单调性，即可判断函数的图像和性质.
6．（2024高一上·江门期中）设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，推不出且；
当且时，由不等式性质，可得且，即成立，
故“”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质，分别验证“”能否推出“且”（充分性），以及“且”能否推出“”（必要性）.
7．（2024高一上·江门期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；基本不等式
【解析】【解答】解：由，可得，即，
，则，
当且仅当时，即，时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意，将根式转化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
8．（2024高一上·江门期中）设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象经过第二、三、四象限，
所以，解得，函数在上单调递减，
由不等式，可得，则恒成立，
即，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】函数，根据函数图象 经过第二、三、四象限求得a的范围，确定指数函数单调性，利用函数的单调性不等式转化为恒成立，可得，解不等式即可得实数的取值范围.
9．（2024高一上·江门期中）下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，
D．已知，则的最小值为
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；n次方根与根式；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、当为奇数时，，
当为偶数时，，故A错误；
B、，
因为，所以，所以，
则，即，故B正确；
C、当时，，，因为是定义在上的偶函数，所以当时，，故C正确；
D、由，可得，则，
当且仅当，即时取等号，但，等号取不到，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】当为偶数时，即可判断A；利用作差法比较大小即可判断B；根据偶函数的定义求解析式即可判断C；由，可得，将原式变形为，利用基本不等式求得最小值，注意等号成立的条件，即可判断D.
10．（2024高一上·江门期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，且是的真子集，则的取值范围为
B．已知，则函数的解析式为
C．已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
D．函数的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、易知集合，是的真子集，
当时，，解得，满足是的真子集；
当时，则或，
当时，可得，即，此时，满足是的真子集，
当时，可得，即，时，不满足是的真子集，
综上可知，实数的取值范围为，故A正确；
B、，令，则，，
则，，函数的解析式为，故B正确；
C、因为，等价于，等价，解得，所以；
，是的充分不必要条件，可知是的真子集，则或，解得，则实数的取值范围，故C正确；
D、易知，当且仅当时取等号，因为函数在上单调递减，所以，则函数在处取得最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先解一元二次方程求得集合，根据是的真子集 ，分和两种情况，结合根的判别式，求出的取值范围即可判断A；利用换元法求出函数解析式即可判断B；解分式不等式求得，由条件得到可知是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围即可判断C；易知，再根据指数函数的单调性得到函数的最值即可判断D.
11．（2024高一上·江门期中）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数在上是增函数
D．不等式的解集为
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 定义在的函数满足，
A、令，则，即 ，
令，则，解得，故A正确；
B、若，则，故B正确；
C、由于函数定义域为，取，则，
即为偶函数；任取且，则，
因为，所以，所以，则，
故函数在上是减函数，故C错误；
D、由C的分析可知函数在上是增函数，
故由结合可得，且，
解得，且，即的解集为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法，令和求解即可判断A；由，利用赋值法求解即可判断B；易得为偶函数，利用函数单调性定义可得函数在上是减函数即可判断C；由C函数在上是增函数，再由结合求解即可判断D.
12．（2024高一上·江门期中）命题“，”的否定是 ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】存在量词命题（特称命题）的否定是全称量词命题（全称命题），否定时需同时改变量词（“”改为“”）和结论（“”改为“”）.
13．（2024高一上·江门期中）已知函数为奇函数.则 .
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数定义域为R，且函数为奇函数，则，解得，
则，满足，
即为奇函数，符合题意.
故答案为：1.
【分析】先求函数的定义，根据函数是定义域为R的奇函数，可得求得的值，注意验证即可.
14．（2024高一上·江门期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过 个（精确到整数）小时才能驾驶？（参考数据）
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设至少经过小时后才能驾驶，由题意可得：，
化简得：，根据是递增函数可得：，即，
因为，所以，
故他至少要经过小时后才能驾驶.
故答案为：.
【分析】设至少经过小时后才能驾驶，由题意可得不等式，两边取对数，得到，求出答案.
15．（2024高一上·江门期中）计算下列各式的值.
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：由，可得，
，
则.
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则化简求值即可；
（2）将两边平方求出，再将两边平方求出，代入求值即可.
（1）原式.
（2）因为，
所以，
，
所以.
16．（2024高一上·江门期中）已知函数，
（1）恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
【答案】（1）解：因为函数，所以恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意
当时，要使恒成立，则，
即，解得．
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由得，，即，又因为，
所以：当，即时，不等式的解集为 或；
当，即时，可得，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或．
综上，时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 或．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，分和讨论，结合判别式求解.
将不等式因式分解后，根据参数的范围讨论根的大小，进而确定解集.
（1）因为函数，
所以恒成立，
等价于恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意
当时，要使恒成立，
则，即，
解得．
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由得，，
即，又因为，
所以：当，即时，
不等式的解集为 或；
当，即时，
可得，不等式的解集为；
当，即时，
不等式的解集为或．
综上，时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 或．
17．（2024高一上·江门期中）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可得当，时，；
当，时，；
所以（）．
（2）解： 当时，，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据“利润 = 销售收入 - 固定成本 - 可变成本”的公式，结合题目中给出的分段可变成本函数，分区间推导年利润的解析式；
（2）对分段函数分别分析最值：对于二次函数区间，利用顶点公式求最值；对于分式区间，利用基本不等式求最值，最后比较两段的最值得到全局最大利润.
（1）由题意可得当，时，；
当，时，；
所以（）．
（2）当时，，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元
18．（2024高一上·江门期中）已知函数.
（1）判断奇偶性并证明；
（2）利用定义证明在R上单调递增；
（3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：函数为奇函数，
理由如下：定义域为R，
又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则，
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）解：为奇函数，由，得，
因为函数在R上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，，
当时，，即，
所以k的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）确定函数定义域，再通过计算并与比较，判断奇偶性.
（2）按照定义法证明单调性的步骤：取任意两个自变量，作差，对差式变形后判断符号，进而得出单调性；
（3）用函数的奇偶性和单调性将不等式变形，转化为关于的含参不等式存在性问题，通过换元法转化为函数最值问题求解.
（1）函数为奇函数，理由如下：
定义域为R，又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）为奇函数，
由，得，
因为函数在R上单调递增，
所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，
，当时，，即，
所以k的取值范围为
19．（2024高一上·江门期中）已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的值域；
（3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．
【答案】（1）解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，
解得，所以函数的解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，所以此时有．
综上所述：，其值域为.
（3）解：因为函数有两个不相等的不动点，且，所以令，
即方程有两个不相等的正实根，所以，
即，所以．，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）用函数过定点的性质求，再结合二次函数对称轴的对称性求，从而确定解析式.
（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，分三类讨论求最小值，进而确定值域.
（3）将不动点问题转化为一元二次方程根的问题，利用韦达定理和基本不等式求最值.
（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得，
所以函数的解析式为：．
（2）由（1）可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，
所以此时有．
综上所述：，其值域为.
（3）因为函数有两个不相等的不动点，且，
所以令，即方程有两个不相等的正实根，
所以，即，所以．
，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.
1 / 1广东省江门市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次学段考试数学试题
1．（2024高一上·江门期中）若函数 为幂函数，则实数 （ ）
A．2 B．-1 C．-1或2 D．3
2．（2024高一上·江门期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·江门期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·江门期中）函数的零点所在的区间可能是（ ）
A． B．， C．， D．，
5．（2024高一上·江门期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·江门期中）设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2024高一上·江门期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
8．（2024高一上·江门期中）设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·江门期中）下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，
D．已知，则的最小值为
10．（2024高一上·江门期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，且是的真子集，则的取值范围为
B．已知，则函数的解析式为
C．已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
D．函数的最小值为
11．（2024高一上·江门期中）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数在上是增函数
D．不等式的解集为
12．（2024高一上·江门期中）命题“，”的否定是 ．
13．（2024高一上·江门期中）已知函数为奇函数.则 .
14．（2024高一上·江门期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过 个（精确到整数）小时才能驾驶？（参考数据）
15．（2024高一上·江门期中）计算下列各式的值.
（1）；
（2）已知，求的值.
16．（2024高一上·江门期中）已知函数，
（1）恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
17．（2024高一上·江门期中）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18．（2024高一上·江门期中）已知函数.
（1）判断奇偶性并证明；
（2）利用定义证明在R上单调递增；
（3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围.
19．（2024高一上·江门期中）已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的值域；
（3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由于 为幂函数，所以 ，解得 或 .
故答案为：C.
【分析】根据函数 为幂函数列方程，解方程求得 的值.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式结合集合的特征可得集合，解对数不等式求得集合，根据集合的交集运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，因为，所以，
对数函数单调递增，，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性，可得，利用中间值和对数函数单调性可得，从而确定的大小关系.
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
所以，又函数图象连续且在单调递增，
所以函数的零点所在的区间是，
故答案为：B．
【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理，通过计算区间端点的函数值符号来确定零点所在区间.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
当时，所以，故排除C.
故答案为：D.
【分析】 为了确定函数图象大致形状，应从函数的基本性质出发，包括奇偶性、单调性、渐近线和关键点的性质.对于题中给定函数，当时，；当时，，由对勾函数的奇偶性和单调性，即可判断函数的图像和性质.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，推不出且；
当且时，由不等式性质，可得且，即成立，
故“”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质，分别验证“”能否推出“且”（充分性），以及“且”能否推出“”（必要性）.
7．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；基本不等式
【解析】【解答】解：由，可得，即，
，则，
当且仅当时，即，时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意，将根式转化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象经过第二、三、四象限，
所以，解得，函数在上单调递减，
由不等式，可得，则恒成立，
即，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】函数，根据函数图象 经过第二、三、四象限求得a的范围，确定指数函数单调性，利用函数的单调性不等式转化为恒成立，可得，解不等式即可得实数的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；n次方根与根式；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、当为奇数时，，
当为偶数时，，故A错误；
B、，
因为，所以，所以，
则，即，故B正确；
C、当时，，，因为是定义在上的偶函数，所以当时，，故C正确；
D、由，可得，则，
当且仅当，即时取等号，但，等号取不到，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】当为偶数时，即可判断A；利用作差法比较大小即可判断B；根据偶函数的定义求解析式即可判断C；由，可得，将原式变形为，利用基本不等式求得最小值，注意等号成立的条件，即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：A、易知集合，是的真子集，
当时，，解得，满足是的真子集；
当时，则或，
当时，可得，即，此时，满足是的真子集，
当时，可得，即，时，不满足是的真子集，
综上可知，实数的取值范围为，故A正确；
B、，令，则，，
则，，函数的解析式为，故B正确；
C、因为，等价于，等价，解得，所以；
，是的充分不必要条件，可知是的真子集，则或，解得，则实数的取值范围，故C正确；
D、易知，当且仅当时取等号，因为函数在上单调递减，所以，则函数在处取得最大值，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先解一元二次方程求得集合，根据是的真子集 ，分和两种情况，结合根的判别式，求出的取值范围即可判断A；利用换元法求出函数解析式即可判断B；解分式不等式求得，由条件得到可知是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围即可判断C；易知，再根据指数函数的单调性得到函数的最值即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 定义在的函数满足，
A、令，则，即 ，
令，则，解得，故A正确；
B、若，则，故B正确；
C、由于函数定义域为，取，则，
即为偶函数；任取且，则，
因为，所以，所以，则，
故函数在上是减函数，故C错误；
D、由C的分析可知函数在上是增函数，
故由结合可得，且，
解得，且，即的解集为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法，令和求解即可判断A；由，利用赋值法求解即可判断B；易得为偶函数，利用函数单调性定义可得函数在上是减函数即可判断C；由C函数在上是增函数，再由结合求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】存在量词命题（特称命题）的否定是全称量词命题（全称命题），否定时需同时改变量词（“”改为“”）和结论（“”改为“”）.
13．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数定义域为R，且函数为奇函数，则，解得，
则，满足，
即为奇函数，符合题意.
故答案为：1.
【分析】先求函数的定义，根据函数是定义域为R的奇函数，可得求得的值，注意验证即可.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设至少经过小时后才能驾驶，由题意可得：，
化简得：，根据是递增函数可得：，即，
因为，所以，
故他至少要经过小时后才能驾驶.
故答案为：.
【分析】设至少经过小时后才能驾驶，由题意可得不等式，两边取对数，得到，求出答案.
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：由，可得，
，
则.
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则化简求值即可；
（2）将两边平方求出，再将两边平方求出，代入求值即可.
（1）原式.
（2）因为，
所以，
，
所以.
16．【答案】（1）解：因为函数，所以恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意
当时，要使恒成立，则，
即，解得．
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由得，，即，又因为，
所以：当，即时，不等式的解集为 或；
当，即时，可得，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或．
综上，时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 或．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，分和讨论，结合判别式求解.
将不等式因式分解后，根据参数的范围讨论根的大小，进而确定解集.
（1）因为函数，
所以恒成立，
等价于恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意
当时，要使恒成立，
则，即，
解得．
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由得，，
即，又因为，
所以：当，即时，
不等式的解集为 或；
当，即时，
可得，不等式的解集为；
当，即时，
不等式的解集为或．
综上，时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为 或．
17．【答案】（1）解：由题意可得当，时，；
当，时，；
所以（）．
（2）解： 当时，，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据“利润 = 销售收入 - 固定成本 - 可变成本”的公式，结合题目中给出的分段可变成本函数，分区间推导年利润的解析式；
（2）对分段函数分别分析最值：对于二次函数区间，利用顶点公式求最值；对于分式区间，利用基本不等式求最值，最后比较两段的最值得到全局最大利润.
（1）由题意可得当，时，；
当，时，；
所以（）．
（2）当时，，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元
18．【答案】（1）解：函数为奇函数，
理由如下：定义域为R，
又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则，
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）解：为奇函数，由，得，
因为函数在R上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，，
当时，，即，
所以k的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）确定函数定义域，再通过计算并与比较，判断奇偶性.
（2）按照定义法证明单调性的步骤：取任意两个自变量，作差，对差式变形后判断符号，进而得出单调性；
（3）用函数的奇偶性和单调性将不等式变形，转化为关于的含参不等式存在性问题，通过换元法转化为函数最值问题求解.
（1）函数为奇函数，理由如下：
定义域为R，又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）为奇函数，
由，得，
因为函数在R上单调递增，
所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，
，当时，，即，
所以k的取值范围为
19．【答案】（1）解：因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，
解得，所以函数的解析式为：．
（2）解：由（1）可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，所以此时有．
综上所述：，其值域为.
（3）解：因为函数有两个不相等的不动点，且，所以令，
即方程有两个不相等的正实根，所以，
即，所以．，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）用函数过定点的性质求，再结合二次函数对称轴的对称性求，从而确定解析式.
（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，分三类讨论求最小值，进而确定值域.
（3）将不动点问题转化为一元二次方程根的问题，利用韦达定理和基本不等式求最值.
（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得，
所以函数的解析式为：．
（2）由（1）可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，
所以此时有．
综上所述：，其值域为.
（3）因为函数有两个不相等的不动点，且，
所以令，即方程有两个不相等的正实根，
所以，即，所以．
，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.
1 / 1
