11.1幂的运算
【题型1】底数是单项式的同底数幂的乘法 5
【题型2】底数是多项式的同底数幂的乘法 6
【题型3】利用同底数幂的乘法求待定字母的值 8
【题型4】利用同底数幂的乘法求字母间的关系 10
【题型5】运用同底数幂的乘法求代数式的值 12
【题型6】幂的乘方运算法则 16
【题型7】利用幂的乘方运算求待定字母的值 16
【题型8】幂的乘方运算的逆用 19
【题型9】利用幂的乘方运算比较大小 21
【题型10】积的乘方运算 23
【题型11】逆用积的乘方运算 24
【题型12】有关积的乘方的综合运算 26
【题型13】利用积的乘方进行整体代入求值 27
【题型14】利用积的乘方求未知字母的值 28
【题型15】积的乘方的实际应用问题 30
【题型16】底数是单项式的同底数幂的除法 31
【题型17】底数是多项式的同底数幂的除法 32
【题型18】与同底数幂除法有关的综合运算 34
【题型19】应用同底数幂的除法求未知字母的值 35
【题型20】同底数幂除法的逆运算 37
【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 1.（2025春 城关区校级期末）下列计算结果等于a5的是（ ） A．（-a）2（-a）3B．（-a2）（-a3）C．（-a）2（-a3）D．（-a）（-a）4
【答案】B 【分析】根据运算法则进行判断即可． 【解答】解：根据幂的运算法则逐项分析判断如下：
（-a）2（-a）3=-a5，故A不符合题意；
（-a2）（-a3）=a5，故B符合题意；
（-a）2（-a3）=-a5，故C不符合题意；
（-a）（-a）4=-a5，故D不符合题意；
故选：B． 2.（2025 鼓楼区校级模拟）计算a2 a3的结果是（ ） A．a6B．a5C．a4D．a3
【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：a2 a3
=a2+3
=a5，
故选：B． 【知识点2】幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 1.（2025春 小店区校级月考）下列运算正确的是（ ） A．a2 a5=a10B．（a3）4=a7C．（-2a2）3=-a6D．（-a3）2=a6
【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、a2 a5=a7，故此选项不符合题意；
B、（a3）4=a12，故此选项不符合题意；
C、（-2a2）3=-8a6，故此选项不符合题意；
D、（-a3）2=a6，故此选项符合题意；
故选：D． 2.（2025 连云港一模）下列计算正确的是（ ） A．（-x）2 x3=-x5B．-x2 x3=x6C．x2 （-x）3=-x6D．（-x2）3=-x6
【答案】D 【分析】直接利用同底数的乘法运算法则以及合并同类项法则分别化简求出答案． 【解答】解：A、（-x）2 x3=x5，故此选项错误，不符合题意；
B、-x2 x3=-x5，故此选项错误，不符合题意；
C、x2（-x3）=-x5，此选项错误，不符合题意；
D、（-x2）3=-x6，此选项正确，符合题意；
故选：D． 【知识点3】同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 1.（2024秋 漯河期末）下列运算中，正确的是（ ） A．x8÷x2=x4B．（x3）4=x7C．（-2x3）3=-8x9D．x4+x=x5
【答案】C 【分析】利用同底数幂除法法则，幂的乘方及积的乘方法则，合并同类项法则将各式计算后判断即可． 【解答】解：x8÷x2=x6，则A不符合题意；
（x3）4=x12，则B不符合题意；
（-2x3）3=-8x9，则C符合题意；
x4与x不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：C． 2.（2024秋 樊城区期末）下列运算正确的是（ ） A．x2 x3=x6B．（x2）3=x5C．（xy）3=x3yD．x5÷x2=x3
【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、x2 x3=x5，计算不正确，不符合题意；
B、（x2）3=x6，计算不正确，不符合题意；
C、（xy）3=x3y3，计算不正确，不符合题意；
D、x5÷x2=x3，计算正确，符合题意；
故选：D．
【题型1】底数是单项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算a a5的结果是( )
A.2a2 B.2a5 C.a6 D.2a6
【答案】C
【解析】a a5＝a6，
故选：C．
【举一反三1】下列四个算式：①a6 a6＝2a6；②m3+m2＝m5；③x2 x x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A
【解析】①a6 a6＝2a6，底数不变指数相加，故①错误；
②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；
③x2 x x8＝x11，底数不变指数相加，故③错误；
④y2+y2＝y4，同类项相加，y2+y2＝2y2，故④错误；
所以计算正确的有：0个．
故选：A．
【举一反三2】计算x3 x5 x4﹣x x9 x2＝ ．
【答案】0
【解析】x3 x5 x4﹣x x9 x2＝x12﹣x12＝0，
故答案为：0．
【举一反三3】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为2GB，则2GB＝_____B．
【答案】231
【解析】根据题意，得2GB＝2×210×210×210B＝231B，
故答案为：231．
【举一反三4】计算：﹣(x2) (﹣x)3 (﹣x)4．
【答案】解：原式＝﹣x2 (﹣x3) x4＝x9．
【题型2】底数是多项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算(x﹣y)5 (y﹣x)2＝( )
A.(x﹣y)7 B.(y﹣x)7 C.﹣(x﹣y)7 D.(x+y)7
【答案】A
【解析】原式＝(x﹣y)5 (x﹣y)2＝(x﹣y)7，
故选：A．
【举一反三1】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【答案】B
【解析】∵m为奇数，
∴(a﹣b)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m+n，
故(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n互为相反数．
故选：B．
【举一反三2】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【答案】B
【解析】∵m为奇数，
∴(a﹣b)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m (b﹣a)n＝﹣(b﹣a)m+n，
故(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n互为相反数．
故选：B．
【举一反三3】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【答案】B
【解析】 (x﹣y)(y﹣x)2＝(x﹣y)(x﹣y)2＝(x﹣y)3．
故选：B．
【举一反三4】用(x﹣y)的幂的形式表示：(x﹣y)5(y﹣x)4＝ ．
【答案】(x﹣y)9
【解析】(x﹣y)5(y﹣x)4＝(x﹣y)5(x﹣y)4＝(x﹣y)9．
故答案为：(x﹣y)9．
【举一反三5】计算：(a+1)3(﹣a﹣1)2＝ ．(结果用幂的形式表示)
【答案】(a+1)5
【解析】(a+1)3(﹣a﹣1)2
＝(a+1)3(a+1)2
＝(a+1)3+2
＝(a+1)5．
故答案为：(a+1)5．
【举一反三6】(x+y)(x+y)3＝ ．
【答案】(x+y)4
【解析】(x+y)(x+y)3＝(x+y)4．
故答案为：(x+y)4．
【题型3】利用同底数幂的乘法求待定字母的值
【典型例题】若3n+3n+3n＝36，则n＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】∵3n+3n+3n＝3×3n＝31+n＝36，
∴1+n＝6，
解得n＝5.
故选：D.
【举一反三1】若a×am×a3m+1＝a10，则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵a×am×a3m+1＝a1+m+3m+1＝a4m+2＝a10，
∴4m+2＝10.
∴m＝2.
故选：B.
【举一反三2】若3×32m×33m＝311，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵3×32m×33m＝311，
∴31+2m+3m＝311，
∴1+2m+3m＝11，
m＝2，
故选：A.
【举一反三3】若2×22×2n＝210，则n等于 .
【答案】7
【解析】∵2×22×2n＝210，
∴21+2+n＝210，
∴1+2+n＝10，
解得：n＝7.
故答案为：7.
【举一反三4】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n.例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2.若(m，16)+(m，5)＝(m，t)，则t＝ .
【答案】80
【解析】设(m，16)＝p，(m，5)＝q，(m，t)＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵(m，16)+(m，5)＝(m，t)，
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp×mq＝mr，
即16×5＝t，
∴t＝80.
故答案为：80.
【举一反三5】若xn x3n+3＝x35，求n的值.
【答案】解：∵xn x3n+3＝x35，
∴x4n+3＝x35，
∴4n+3＝35，
解得：n＝8.
【举一反三6】规定a*b＝2a×2b，求：
(1)求1*3；
(2)若2*(2x+1)＝64，求x的值.
【答案】解：(1)由题意得：1*3＝2×23＝16；
(2)∵2*(2x+1)＝64，
∴22×22x+1＝26，
∴22+2x+1＝26，
∴2x+3＝6，
∴x.
【题型4】利用同底数幂的乘法求字母间的关系
【典型例题】已知3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【答案】A
【解析】∵3x＝5，3y＝10，3z＝50，
∴3z＝5×10，
3z＝3x×3y，
3z＝3x+y，
∴z＝x+y．
故选：A．
【举一反三1】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【答案】B
【解析】∵2a＝3，2b＝6，2c＝18，
∵18＝3×6，
∴2c＝2a×2b＝2a+b，
∴c＝a+b，
故选：B．
【举一反三2】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【答案】B
【解析】∵2a＝3，2b＝6，2c＝18，
∵18＝3×6，
∴2c＝2a×2b＝2a+b，
∴c＝a+b，
故选：B．
【举一反三3】已知2x＝8，2y＝5，2z＝40，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【答案】A
【解析】∵2x＝8，2y＝5，2z＝40，
∴2z＝5×8，2z＝2x×2y，
∴2z＝2x+y，
∴z＝x+y．
故选A．
【举一反三4】已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
【答案】解：∵2a＝3，2b＝5，2c＝30，
∴2a·2b＝15，
∴2·2a·2b＝30，
∴2a+b+1＝2c，
∴a+b+1＝c．
【举一反三5】先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．
例如：34＝81，记为log381(即log381＝4)，则4叫做以3为底81的对数．92＝81可以记为log981＝2．
(1)①计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
②log24、log216、log264之间的数量关系是 ；
(2)猜想一般性的结论：logaM+logaN＝_________(结果用含a，M，N的式子表示)(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)，并写出证明过程．
【答案】解：(1)①∵22＝4，24＝16，26＝64，
∴log24＝2，log216＝4，log264＝6；
故答案为：2，4，6；
②∵2+4＝6，
∴log24+log216＝log264；
故答案为：log24+log216＝log264；
(2)猜想：logaM+logaN＝loga(MN)．
证明：设logaM＝b，logaN＝c，则ab＝M，ac＝N，
故可得MN＝ab ac＝ab+c，b+c＝loga(MN)，
即logaM+logaN＝loga(MN)．
故答案为：loga(MN)．
【题型5】运用同底数幂的乘法求代数式的值
【典型例题】若2n×2m＝26，则m+n＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】∵2n×2m＝2n+m＝26，
∴m+n＝6．
故选：D．
【举一反三1】10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝( )
A.2ab B.a+b C.a+b+2 D.100ab
【答案】D
【解析】10x+y+2＝10x×10y×102＝100ab．
故选：D．
【举一反三2】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于( )
A.128 B.64 C.32 D.16
【答案】A
【解析】由题意，得5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y，
即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y，
∴
解得
∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128，
故选：A．
【举一反三3】规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)，如果ac＝b，则(a，b)＝c．如：因为23＝8，所以(2，8)＝3．若(10，m)＝p，(10，n)＝q，p＝3﹣q，则mn＝ ．
【答案】1000
【解析】∵(10，m)＝p，(10，n)＝q，
∴10p＝m，10q＝n，
∵p＝3﹣q，
∴p+q＝3，
∴mn＝10p 10q＝10p+q＝103＝1000．
故答案为：1000．
【举一反三4】若10x＝a，10x+y+2＝100ab，则10y＝ ．
【答案】b
【解析】∵10x＝a，10x+y+2＝100ab，
∴10x×10y×102＝100ab，
100a×10y＝100ab，
10y＝b．
故答案为：b．
【举一反三5】我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m) f(n)＝f(m+n)(其中m、n为正整数)．
例如，若f(3)＝2，则f(6)＝f(3+3)＝f(3) f(3)＝2×2＝4．f(9)＝f(3+3+3)＝f(3) f(3) f(3)＝2×2×2＝8．
(1)若f(2)＝5，
①填空：f(6)＝ ；
②当f(2n)＝25，求n的值；
(2)若f(a)＝3，化简：f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)．
【答案】解：(1)①∵f(2)＝5，
∴f(6)＝f(2+2+2)＝f(2) f(2) f(2)＝5×5×5＝125；
故答案为：125；
②∵25＝5×5＝f(2) f(2)＝f(2+2)，
f(2n)＝25，
∴f(2n)＝f(2+2)，
∴2n＝4，
∴n＝2；
(2)∵f(2a)＝f(a+a)＝f(a) f(a)＝3×3＝31+1＝32，
f(3a)＝f(a+a+a)＝f(a) f(a) f(a)＝3×3×3＝31+1+1＝33，
…，
f(10a)＝310，
∴f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)
＝3×32×33×…×310
＝31+2+3+…+10
＝355．
【举一反三6】已知：x+2y+1＝3，求3x 9y×3的值．
【答案】解：∵x+2y+1＝3，
∴x+2y＝2，
∴3x 9y×3
＝3x (32)y×3
＝3x 32y×3
＝3x+2y×3
＝32×3
＝9×3
＝27．
【题型6】幂的乘方运算法则
【典型例题】下列运算中正确的是( )
A.a2+a3＝a5 B.a2 a4＝a8 C.(a2)3＝a5 D.(a2)3＝a6
【答案】D
【解析】A．a2和a3不是同类项，不能合并，原式计算错误；
B．a2 a4＝a6，原式计算错误；
C．(a2)3＝a6，原式计算错误；
D．(a2)3＝a6，正确；
故选：D．
【举一反三1】( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式，
故选：A．
【举一反三2】计算：(102)5＝ ．
【答案】1010
【解析】(102)5＝102×5＝1010．
故答案为：1010．
【举一反三3】计算：[(x+y)m+n]2.
【答案】解：原式＝(x+y)2(m+n).
【题型7】利用幂的乘方运算求待定字母的值
【典型例题】已知，则，的值可能是( )
A.， B.， C.， D.，
【答案】C
【解析】，
，
，
，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
当时，，故C符合题意；
当时，，故D不符合题意，
故选：C．
【举一反三1】如果(3n)2＝316，那么n的值为( )
A.3 B.4 C.8 D.2
【答案】C
【解析】(3n)2＝316，
32n＝316，
∴2n＝16，
解得：n＝8．
故选：C．
【举一反三2】若23×4m＝211，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】23×4m＝23×(22)m＝23×22m＝22m+3＝211，
则2m+3＝11，
解得：m＝4，
故选：C．
【举一反三3】若2x﹣1＝42，则x＝ ．
【答案】5
【解析】∵2x﹣1＝42，
∴2x﹣1＝(22)2＝24，
∴x﹣1＝4，
∴x＝5，
故答案为：5．
【举一反三4】定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求22 23的值；
(2)若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
(3)若运算3 3t的结果为108，则t的值是多少？
【答案】解：(1)22 23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96；
(2)当2p＝3，2q＝5，3q＝7时，
2p 2q
＝2pq+2p+q
＝(2p)q+2p×2q
＝3q+3×5
＝7+15
＝22；
(3)3 3t＝108，
3t+31+t＝108，
3t+3×3t＝108，
4×3t＝4×27，
3t＝27，
3t＝33，
则t＝3．
【题型8】幂的乘方运算的逆用
【典型例题】已知2x＝3，2y＝6，2z＝12，则下列给出x，y，z之间的数量关系式中，错误的是( )
A.x+z＝2y B.x+y+3＝2z C.4x＝z D.x+1＝y
【答案】C
【解析】A.2x 2z＝2x+z＝3×12＝36，(2y)2＝22y＝62＝36，
∴2x+z＝22y，∴x+z＝2y，正确，故此选项不符合题意；
B.2x 2y 23＝2x+y+3＝3×6×8＝144，(2z)2＝22z＝122＝144，
∴2x+y+3＝22z，∴x+y+3＝2z，正确，故此选项不符合题意；
C.(2x)4＝24x＝34＝81，2z＝12，
∴4x≠z，错误，故此选项符合题意；
D.2x 2＝2x+1＝3×2＝6，2y＝6，
∴2x+1＝2y，∴x+1＝y，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】已知10x＝15，10y＝6，则102x+3y等于( )
A.48 B.261 C.540 D.48600
【答案】D
【解析】∵10x＝15，10y＝6，
∴(10x)2＝225，(10y)3＝216，
即102x＝225，103y＝216，
∴102x+3y＝102x 103y＝225×216＝48600，
故选：D．
【举一反三2】若2y＝5，2b＝6，则2y+2b＝( )
A.150 B.160 C.165 D.180
【答案】D
【解析】∵2y＝5，2b＝6，
∴2y+2b＝2y·22b＝2y·(2b)2＝5×62＝180，故D正确．
故选：D．
【举一反三3】已知x2n＝3，则(x3n)2﹣(x2)2n的值为 ．
【答案】18
【解析】原式＝x6n﹣x4n＝(x2n)3﹣(x2n)2＝33﹣32＝27﹣9＝18．
故答案为：18．
【举一反三4】若3m＝2，则32m＝ ．
【答案】4
【解析】∵3m＝2，
∴32m＝(3m)2＝22＝4．
故答案为：4．
【举一反三5】已知，．求的值．
【答案】解：因为，，
所以．
【举一反三6】已知为正整数，且，求的值．
【答案】解：，
．
【题型9】利用幂的乘方运算比较大小
【典型例题】已知a＝240，b＝332，c＝424，则a、b、c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a
【答案】B
【解析】∵a＝240＝(25)8＝328，
b＝332＝(34)8＝818，
c＝424＝(43)8＝648，
又∵32＜64＜81，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【举一反三1】已知a＝3232，b＝1642，c＝852，则a，b，c之间的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
【答案】D
【解析】a＝3232＝(25)32＝2160，
b＝1642＝(24)42＝2168，
c＝852＝(23)52＝2156，
∵168＞160＞156，
∴b＞a＞c，
故选：D．
【举一反三2】比较大小：(23)4 (34)2．
【答案】<
【解析】∵(23)4＝642，(34)2＝812，而642＜812，
∴(23)4＜(34)2．
【举一反三3】比较大小：231 321．
【答案】＜
【解析】231＝2×230＝2×(23)10＝2×810，
321＝3×320＝3×(32)10＝3×910，
∵2＜3，8＜9，
∴2×810＜3×910，即231＜321，
故答案为：＜．
【举一反三4】阅读下面的材料：
解决下列问题：
(1)比较344，433，522的大小；
(2)比较8131，2741，961的大小．
【答案】解：(1)∵344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411，
522＝(52)11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴344＞433＞522；
(2)∵8131＝(34)31＝3124，
2741＝(33)41＝3123，
961＝(32)61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴8131＞2741＞961．
【题型10】积的乘方运算
【典型例题】计算：(3a)2＝( )
A.5a B.3a2 C.6a2 D.9a2
【答案】D
【解析】∵(3a)2＝32×a2＝9a2，
故选：D．
【举一反三1】计算：(﹣a)3的结果是( )
A.﹣a3 B.﹣a4 C.a3 D.a4
【答案】A
【解析】(﹣a)3＝(﹣1)3 a3＝﹣a3．
故选：A．
【举一反三2】计算(2x)2的结果是( )
A.2x2 B.4x2 C.4x D.2x
【答案】B
【解析】(2x)2＝22×x2＝4x2．
故选：B．
【举一反三3】计算﹣(﹣3a)2的结果是 ．
【答案】﹣9a2
【解析】﹣(﹣3a)2＝﹣9a2．
故答案为：﹣9a2．
【举一反三4】计算：(﹣5b)2＝ ．
【答案】25b2
【解析】(﹣5b)2＝25b2，
故答案为：25b2．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2).
【答案】解：(1)；
(2).
【举一反三6】积的乘方公式为：(ab)m＝ ．(m是正整数)．请写出这一公式的推理过程．
【答案】解：(ab)m＝ambm，
推理过程：(ab)m
＝ambm.
故答案为：ambm．
【题型11】逆用积的乘方运算
【典型例题】计算的值为( )
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】
．
故选A．
【举一反三1】若a与b互为倒数，的结果是( )
A. B.a C.-b D.1
【答案】C
【解析】a与b互为倒数，
，
，
故选：C．
【举一反三2】计算的结果是 ．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
【举一反三3】阅读下列各式：，，…，
回答下列三个问题：
(1)验证： ； ．
(2)通过上述验证，归纳得出： ； ．
(3)请应用上述性质计算：
①；
②．
【答案】解：(1)，
；
故答案为：1，1；
(2)，，…，
∴，，
故答案为：；；
(3)①
；
②
．
【题型12】有关积的乘方的综合运算
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故答案为：B．
【举一反三1】计算∶( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
【举一反三2】下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，该选项错误，不合题意；
，该选项错误，不合题意；
，该选项正确，符合题意；
.，该选项错误，不合题意；
故选：．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【举一反三4】在一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏．，，，，五位同学分别持五张纸牌，纸牌上分别写有五个算式：，，，，，如图所示．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．同学的朋友可以是谁呢？请通过计算说明．
【答案】解：因为，，，
，，
所以同学的朋友可以是．
【举一反三5】计算：.
【答案】解：原式
．
【题型13】利用积的乘方进行整体代入求值
【典型例题】若，则( )
A.36 B.54 C.108 D.120
【答案】C
【解析】∵，
∴．
故选：C．
【举一反三1】若n是正整数，且，那么的值是( )
A.56 B.20 C.18 D.8
【答案】B
【解析】∵，
∴
.
故选B．
【举一反三2】已知，则的值为 ．
【答案】24
【解析】，
，
故答案为：．
【举一反三3】已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴
．
【题型14】利用积的乘方求未知字母的值
【典型例题】若，那么的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.5
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三1】已知，则的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵
∴，
∴，
解得，
∴.
故选：C．
【举一反三2】若，则 ．
【答案】1
【解析】由可得，，
即，
，
解得，
故答案为：1．
【举一反三3】已知a，b为任意非零实数，且，则 ．
【答案】36
【解析】∵，
∴，
∴，
∵a，b为非零实数，
∴，，解得，，
故．
故答案为：36．
【举一反三4】已知：，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
解得：．
【题型15】积的乘方的实际应用问题
【典型例题】为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】，
∴．
故选：B．
【举一反三1】新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】面积为，即，
故选：D.
【举一反三2】一个正方体的棱长为，则它的体积是 (结果用科学记数法表示)．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【举一反三3】若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是 ．
【答案】
【解析】因为这个正方形的周长为，
所以这个正方形的边长为，
所以这个正方形的面积是．
故答案为：．
【举一反三4】一个正方体的棱长为，求它的底面周长和体积．
【答案】解：正方体的棱长为，
它的底面周长为，
它的体积为．
【题型16】底数是单项式的同底数幂的除法
【典型例题】运算结果为a8的式子是( )
A.a4 a2 B.(a6)2 C.a12÷a4 D.a8﹣2a8
【答案】C
【解析】A.a4 a2＝a6，故A不符合题意；
B.(a6)2＝a12，故B不符合题意；
C.a12÷a4＝a8，故C符合题意；
D.a8﹣2a8＝﹣a8，故D不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】计算m3÷m2的结果是( )
A.m B.m2 C.m3 D.m5
【答案】A
【解析】m3÷m2＝m3﹣2＝m．
故选：A．
【举一反三2】小华书写时不小心把墨水滴在了等式“a6a2＝a4(a≠0)”中的运算符号上，则被覆盖的符号是( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【答案】D
【解析】∵a6÷a2＝a6﹣2＝a4．
故选：D．
【举一反三3】计算x7÷x3的结果等于 ．
【答案】x4
【解析】x7÷x3＝x4．
故答案为：x4．
【举一反三4】我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m﹣n)＝f(m)÷f(n)(其中f(m)，f(n)都为正数)，请根据这种新运算填空：
(1)若f(2)＝4，f(3)＝8，则f(1)＝ ；
(2)若f(2000)＝k，f(2)＝4，那么f(500)＝ (用含k的代数式表示，其中k＞0)．
【答案】(1)2 (2)
【解析】(1) f(1)＝f(3﹣2)＝f(3)÷f(2)＝8÷4＝2，
故答案为：2；
(2)∵f(2000)＝k，f(2)＝4，
∴f(1998)＝f(2000﹣2)＝f(2000)÷f(2)＝k÷4，
f(1996)＝f(1998﹣2)＝f(1998)÷f(2)4，
…
f(500)＝f(502﹣2)＝f(502)÷f(2)，
故答案为：．
【举一反三5】计算：(1)；
(2)．
【答案】解：(1)原式；
(2)原式.
【题型17】底数是多项式的同底数幂的除法
【典型例题】计算：(x﹣y)7÷(y﹣x)6+(﹣x﹣y)3÷(x+y)2＝ ．
【答案】﹣2y
【解析】(x﹣y)7÷(y﹣x)6+(﹣x﹣y)3÷(x+y)2
＝(x﹣y)7÷(x﹣y)6+[﹣(x+y)]3÷(x+y)2
＝(x﹣y)﹣(x+y)
＝x﹣y﹣x﹣y
＝﹣2y，
故答案为：﹣2y．
【举一反三1】计算：结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4＝ ．
【答案】(a﹣b)5
【解析】(a﹣b)9÷(b﹣a)4
＝(a﹣b)9÷(a﹣b)4
＝(a﹣b)5．
故答案为：(a﹣b)5．
【举一反三2】计算：
(1)；
(2)．
【答案】解：(1)；
(2)
．
【举一反三3】计算：(s﹣t)m (s﹣t)m+n (t﹣s)．
【答案】解：(s﹣t)m (s﹣t)m+n (t﹣s)
＝(s﹣t)m (s﹣t)m+n [﹣(s﹣t)]
＝﹣(s﹣t)2m+n+1．
【题型18】与同底数幂除法有关的综合运算
【典型例题】代数是数学发展史上的里程碑，计算(﹣a2)3÷(﹣a)2＝( )
A.a2 B.﹣a4 C.﹣a2 D.a4
【答案】B
【解析】(﹣a2)3÷(﹣a)2＝﹣a6÷a2＝﹣a4，
故选：B．
【举一反三1】计算(x3)2÷x2，正确的结果是( )
A.x2 B.x3 C.x4 D.x5
【答案】C
【解析】(x3)2÷x2＝x6÷x2＝x4，
故选：C．
【举一反三2】计算(﹣a)6÷a3的结果是( )
A.﹣a2 B.﹣a3 C.a2 D.a3
【答案】D
【解析】(﹣a)6÷a3＝a6÷a3＝a3，
故选：D．
【举一反三3】计算：(﹣x)2 x3÷(﹣x3)＝ ．
【答案】﹣x2
【解析】原式＝x2 x3÷(﹣x3)
＝x5÷(﹣x3)
＝﹣x5﹣3
＝﹣x2，
故答案为：﹣x2．
【举一反三4】计算：(a2)3 (a2)4÷(﹣a2)5．
【答案】解：(a2)3 (a2)4÷(﹣a2)5
＝a6 a8÷(﹣a10)
＝﹣a14÷a10
＝﹣a4．
【题型19】应用同底数幂的除法求未知字母的值
【典型例题】已知，n的值是( )
A. B.2 C.0.5 D.
【答案】B
【解析】
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】已知x6÷x3＝xm，则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【答案】A
【解析】x6÷x3＝x6﹣3＝x3，
∴x3＝xm，
∴m＝3．
故选：A．
【举一反三2】已知25a 52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是( )
A.3 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】∵25a 52b＝56，4b÷4c＝4，
∴52a 52b＝56，4b﹣c＝4，
∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，
即a+b＝3，b﹣1＝c，
∴a2+ab+3c
＝a(a+b)+3(b﹣1)
＝3a+3b﹣3
＝3(a+b)﹣3
＝3×3﹣3
＝9﹣3
＝6．
故选：B．
【举一反三3】已知4n×8n﹣2÷2n＝64，那么n＝ ；
【答案】3
【解析】∵4n×8n﹣2÷2n＝64，
∴22n×23n﹣6÷2n＝26，
∴22n+3n﹣6﹣n＝26，
∴24n﹣6＝26，
∴4n﹣6＝6，
∴n＝3．
【举一反三4】已知8×4m÷16m＝213，求m的值．
【答案】解：∵8×4m÷16m＝213，
∴23×22m÷24m＝213，
则23+2m﹣4m＝213，
∴3+2m﹣4m＝13，
解得：m＝﹣5．
【举一反三5】已知2x+4÷2﹣2x＝112，求x的值．
【答案】解：2x+4÷2﹣2x＝16 2x÷2﹣2x＝7×2x＝112，
得到2x＝16，
则x＝4．
【题型20】同底数幂除法的逆运算
【典型例题】若，，则( )
A.5 B.3 C.45 D.12
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
故选：A．
【举一反三1】已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴
．
故选：D．
【举一反三2】已知，，m、n为正整数，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
则，
故答案为：.
【举一反三3】若，求的值．
【答案】解：，
．11.1幂的运算
【题型1】底数是单项式的同底数幂的乘法 3
【题型2】底数是多项式的同底数幂的乘法 4
【题型3】利用同底数幂的乘法求待定字母的值 4
【题型4】利用同底数幂的乘法求字母间的关系 5
【题型5】运用同底数幂的乘法求代数式的值 6
【题型6】幂的乘方运算法则 7
【题型7】利用幂的乘方运算求待定字母的值 7
【题型8】幂的乘方运算的逆用 8
【题型9】利用幂的乘方运算比较大小 8
【题型10】积的乘方运算 9
【题型11】逆用积的乘方运算 9
【题型12】有关积的乘方的综合运算 10
【题型13】利用积的乘方进行整体代入求值 11
【题型14】利用积的乘方求未知字母的值 11
【题型15】积的乘方的实际应用问题 11
【题型16】底数是单项式的同底数幂的除法 11
【题型17】底数是多项式的同底数幂的除法 12
【题型18】与同底数幂除法有关的综合运算 12
【题型19】应用同底数幂的除法求未知字母的值 13
【题型20】同底数幂除法的逆运算 13
【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 1.（2025春 城关区校级期末）下列计算结果等于a5的是（ ） A．（-a）2（-a）3B．（-a2）（-a3）C．（-a）2（-a3）D．（-a）（-a）4
2.（2025 鼓楼区校级模拟）计算a2 a3的结果是（ ） A．a6B．a5C．a4D．a3
【知识点2】幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 1.（2025春 小店区校级月考）下列运算正确的是（ ） A．a2 a5=a10B．（a3）4=a7C．（-2a2）3=-a6D．（-a3）2=a6
2.（2025 连云港一模）下列计算正确的是（ ） A．（-x）2 x3=-x5B．-x2 x3=x6C．x2 （-x）3=-x6D．（-x2）3=-x6
【知识点3】同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 1.（2024秋 漯河期末）下列运算中，正确的是（ ） A．x8÷x2=x4B．（x3）4=x7C．（-2x3）3=-8x9D．x4+x=x5
2.（2024秋 樊城区期末）下列运算正确的是（ ） A．x2 x3=x6B．（x2）3=x5C．（xy）3=x3yD．x5÷x2=x3
【题型1】底数是单项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算a a5的结果是( )
A.2a2 B.2a5 C.a6 D.2a6
【举一反三1】下列四个算式：①a6 a6＝2a6；②m3+m2＝m5；③x2 x x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三2】计算x3 x5 x4﹣x x9 x2＝ ．
【举一反三3】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为2GB，则2GB＝_____B．
【举一反三4】计算：﹣(x2) (﹣x)3 (﹣x)4．
【题型2】底数是多项式的同底数幂的乘法
【典型例题】计算(x﹣y)5 (y﹣x)2＝( )
A.(x﹣y)7 B.(y﹣x)7 C.﹣(x﹣y)7 D.(x+y)7
【举一反三1】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【举一反三2】若m为奇数，则(a﹣b)m (b﹣a)n与(b﹣a)m+n的结果是( )
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对
【举一反三3】计算(x﹣y)(y﹣x)2的结果是( )
A.(y﹣x)3 B.(x﹣y)3 C.﹣(y﹣x)2 D.﹣(x﹣y)2
【举一反三4】用(x﹣y)的幂的形式表示：(x﹣y)5(y﹣x)4＝ ．
【举一反三5】计算：(a+1)3(﹣a﹣1)2＝ ．(结果用幂的形式表示)
【举一反三6】(x+y)(x+y)3＝ ．
【题型3】利用同底数幂的乘法求待定字母的值
【典型例题】若3n+3n+3n＝36，则n＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】若a×am×a3m+1＝a10，则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】若3×32m×33m＝311，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】若2×22×2n＝210，则n等于 .
【举一反三4】如果xn＝y，那么我们规定(x，y)＝n.例如：因为32＝9，所以(3，9)＝2.若(m，16)+(m，5)＝(m，t)，则t＝ .
【举一反三5】若xn x3n+3＝x35，求n的值.
【举一反三6】规定a*b＝2a×2b，求：
(1)求1*3；
(2)若2*(2x+1)＝64，求x的值.
【题型4】利用同底数幂的乘法求字母间的关系
【典型例题】已知3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【举一反三1】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【举一反三2】已知2a＝3，2b＝6，2c＝18，那么a，b，c之间满足的等量关系成立的是( )
A.c＝2b﹣1 B.c＝a+b C.b＝a﹣1 D.c＝ab
【举一反三3】已知2x＝8，2y＝5，2z＝40，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是( )
A.x+y＝z B.xy＝z C.2x+y＝z D.2xy＝z
【举一反三4】已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，求a，b，c之间的关系．
【举一反三5】先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．
例如：34＝81，记为log381(即log381＝4)，则4叫做以3为底81的对数．92＝81可以记为log981＝2．
(1)①计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
②log24、log216、log264之间的数量关系是 ；
(2)猜想一般性的结论：logaM+logaN＝_________(结果用含a，M，N的式子表示)(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)，并写出证明过程．
【题型5】运用同底数幂的乘法求代数式的值
【典型例题】若2n×2m＝26，则m+n＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝( )
A.2ab B.a+b C.a+b+2 D.100ab
【举一反三2】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于( )
A.128 B.64 C.32 D.16
【举一反三3】规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)，如果ac＝b，则(a，b)＝c．如：因为23＝8，所以(2，8)＝3．若(10，m)＝p，(10，n)＝q，p＝3﹣q，则mn＝ ．
【举一反三4】若10x＝a，10x+y+2＝100ab，则10y＝ ．
【举一反三5】我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f(m) f(n)＝f(m+n)(其中m、n为正整数)．
例如，若f(3)＝2，则f(6)＝f(3+3)＝f(3) f(3)＝2×2＝4．f(9)＝f(3+3+3)＝f(3) f(3) f(3)＝2×2×2＝8．
(1)若f(2)＝5，
①填空：f(6)＝ ；
②当f(2n)＝25，求n的值；
(2)若f(a)＝3，化简：f(a) f(2a) f(3a) … f(10a)．
【举一反三6】已知：x+2y+1＝3，求3x 9y×3的值．
【题型6】幂的乘方运算法则
【典型例题】下列运算中正确的是( )
A.a2+a3＝a5 B.a2 a4＝a8 C.(a2)3＝a5 D.(a2)3＝a6
【举一反三1】( )
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：(102)5＝ ．
【举一反三3】计算：[(x+y)m+n]2.
【题型7】利用幂的乘方运算求待定字母的值
【典型例题】已知，则，的值可能是( )
A.， B.， C.， D.，
【举一反三1】如果(3n)2＝316，那么n的值为( )
A.3 B.4 C.8 D.2
【举一反三2】若23×4m＝211，则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】若2x﹣1＝42，则x＝ ．
【举一反三4】定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求22 23的值；
(2)若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
(3)若运算3 3t的结果为108，则t的值是多少？
【题型8】幂的乘方运算的逆用
【典型例题】已知2x＝3，2y＝6，2z＝12，则下列给出x，y，z之间的数量关系式中，错误的是( )
A.x+z＝2y B.x+y+3＝2z C.4x＝z D.x+1＝y
【举一反三1】已知10x＝15，10y＝6，则102x+3y等于( )
A.48 B.261 C.540 D.48600
【举一反三2】若2y＝5，2b＝6，则2y+2b＝( )
A.150 B.160 C.165 D.180
【举一反三3】已知x2n＝3，则(x3n)2﹣(x2)2n的值为 ．
【举一反三4】若3m＝2，则32m＝ ．
【举一反三5】已知，．求的值．
【举一反三6】已知为正整数，且，求的值．
【题型9】利用幂的乘方运算比较大小
【典型例题】已知a＝240，b＝332，c＝424，则a、b、c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a
【举一反三1】已知a＝3232，b＝1642，c＝852，则a，b，c之间的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c
【举一反三2】比较大小：(23)4 (34)2．
【举一反三3】比较大小：231 321．
【举一反三4】阅读下面的材料：
解决下列问题：
(1)比较344，433，522的大小；
(2)比较8131，2741，961的大小．
【题型10】积的乘方运算
【典型例题】计算：(3a)2＝( )
A.5a B.3a2 C.6a2 D.9a2
【举一反三1】计算：(﹣a)3的结果是( )
A.﹣a3 B.﹣a4 C.a3 D.a4
【举一反三2】计算(2x)2的结果是( )
A.2x2 B.4x2 C.4x D.2x
【举一反三3】计算﹣(﹣3a)2的结果是 ．
【举一反三4】计算：(﹣5b)2＝ ．
【举一反三5】计算：
(1)；
(2).
【举一反三6】积的乘方公式为：(ab)m＝ ．(m是正整数)．请写出这一公式的推理过程．
【题型11】逆用积的乘方运算
【典型例题】计算的值为( )
A. B. C.1 D.2
【举一反三1】若a与b互为倒数，的结果是( )
A. B.a C.-b D.1
【举一反三2】计算的结果是 ．
【举一反三3】阅读下列各式：，，…，
回答下列三个问题：
(1)验证： ； ．
(2)通过上述验证，归纳得出： ； ．
(3)请应用上述性质计算：
①；
②．
【题型12】有关积的乘方的综合运算
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【举一反三1】计算∶( )
A. B. C. D.
【举一反三2】下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】在一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏．，，，，五位同学分别持五张纸牌，纸牌上分别写有五个算式：，，，，，如图所示．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．同学的朋友可以是谁呢？请通过计算说明．
【举一反三5】计算：.
【题型13】利用积的乘方进行整体代入求值
【典型例题】若，则( )
A.36 B.54 C.108 D.120
【举一反三1】若n是正整数，且，那么的值是( )
A.56 B.20 C.18 D.8
【举一反三2】已知，则的值为 ．
【举一反三3】已知，求的值．
【题型14】利用积的乘方求未知字母的值
【典型例题】若，那么的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.5
【举一反三1】已知，则的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三2】若，则 ．
【举一反三3】已知a，b为任意非零实数，且，则 ．
【举一反三4】已知：，求的值．
【题型15】积的乘方的实际应用问题
【典型例题】为加快中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场或公园，已知某正方形公园的边长为，其面积用科学记数法表示为，则n为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三1】新华广场为正方形广场，其边长为，其面积用科学记数法表示为：( )
A. B. C. D.
【举一反三2】一个正方体的棱长为，则它的体积是 (结果用科学记数法表示)．
【举一反三3】若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是 ．
【举一反三4】一个正方体的棱长为，求它的底面周长和体积．
【题型16】底数是单项式的同底数幂的除法
【典型例题】运算结果为a8的式子是( )
A.a4 a2 B.(a6)2 C.a12÷a4 D.a8﹣2a8
【举一反三1】计算m3÷m2的结果是( )
A.m B.m2 C.m3 D.m5
【举一反三2】小华书写时不小心把墨水滴在了等式“a6a2＝a4(a≠0)”中的运算符号上，则被覆盖的符号是( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【举一反三3】计算x7÷x3的结果等于 ．
【举一反三4】我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m﹣n)＝f(m)÷f(n)(其中f(m)，f(n)都为正数)，请根据这种新运算填空：
(1)若f(2)＝4，f(3)＝8，则f(1)＝ ；
(2)若f(2000)＝k，f(2)＝4，那么f(500)＝ (用含k的代数式表示，其中k＞0)．
【举一反三5】计算：(1)；
(2)．
【题型17】底数是多项式的同底数幂的除法
【典型例题】计算：(x﹣y)7÷(y﹣x)6+(﹣x﹣y)3÷(x+y)2＝ ．
【举一反三1】计算：结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4＝ ．
【举一反三2】计算：
(1)；
(2)．
【举一反三3】计算：(s﹣t)m (s﹣t)m+n (t﹣s)．
【题型18】与同底数幂除法有关的综合运算
【典型例题】代数是数学发展史上的里程碑，计算(﹣a2)3÷(﹣a)2＝( )
A.a2 B.﹣a4 C.﹣a2 D.a4
【举一反三1】计算(x3)2÷x2，正确的结果是( )
A.x2 B.x3 C.x4 D.x5
【举一反三2】计算(﹣a)6÷a3的结果是( )
A.﹣a2 B.﹣a3 C.a2 D.a3
【举一反三3】计算：(﹣x)2 x3÷(﹣x3)＝ ．
【举一反三4】计算：(a2)3 (a2)4÷(﹣a2)5．
【题型19】应用同底数幂的除法求未知字母的值
【典型例题】已知，n的值是( )
A. B.2 C.0.5 D.
【举一反三1】已知x6÷x3＝xm，则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【举一反三2】已知25a 52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是( )
A.3 B.6 C.7 D.8
【举一反三3】已知4n×8n﹣2÷2n＝64，那么n＝ ；
【举一反三4】已知8×4m÷16m＝213，求m的值．
【举一反三5】已知2x+4÷2﹣2x＝112，求x的值．
【题型20】同底数幂除法的逆运算
【典型例题】若，，则( )
A.5 B.3 C.45 D.12
【举一反三1】已知，，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，，m、n为正整数，则 ．
【举一反三3】若，求的值．
