23.6图形与坐标
【题型1】用坐标确定位置 7
【题型2】用方向角确定位置 9
【题型3】平面直角坐标系中点的坐标特征 10
【题型4】根据规律求点的坐标 11
【题型5】坐标与图形性质 12
【题型6】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化 13
【题型7】关于直线对称的点的坐标变化 14
【题型8】关于点的平移的坐标变化 14
【题型9】关于原点对称的坐标变化 15
【题型10】关于旋转变换的坐标变化 16
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化 17
【知识点1】点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 1.（2024秋 绥化期末）点P（-2，4）所在的象限是（ ） A．第三象限B．第二象限C．第一象限D．第四象限
【知识点2】规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 1.（2024春 端州区校级期中）点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A的坐标为（2，0），取OA的中点记为点A1，取AA1的中点记为点A2，取AA2的中点记为点A3，取AA3的中点记为点A4，……，以此类推，则点A2024的坐标为（ ） A．B．C．D．
2.（2025春 郁南县期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1），…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ） A．（1012，1011）B．（1012，1012）C．（1013，1012）D．（1013，1013）
【知识点3】坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b． 1.（2025春 珠海期末）如图，点A表示梅华城市花园，坐标为（-1，-1）；点B表示珠海市便民服务中心，坐标为（2，1），则点C表示的香山驿站（正好在坐标系网格点上）的坐标为（ ） A．（1，4）B．（1，5）C．（2，4）D．（0，3）
2.（2025春 呼和浩特期末）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为（r,α）．其中，r表示目标与船的距离，α表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为A（5，30°），B（4，240°）．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（ ） A．（120°，3）B．（3，120°）C．（4，120°）D．（4，4）
【知识点4】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 1.（2024春 长沙县校级期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．若点A（a,b）在坐标轴上，则ab=0B．若m≠0，则点（2，m2）一定在第一象限C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P仅有2个D．已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴
【知识点5】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 1.（2025 大连模拟）如果点P（2，b）和点Q（a,3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ） A．1B．-1C．5D．0
2.（2025 苏州模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，-2），B（m,n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ） A．（3，-2）B．（3，2）C．（0，-2）D．（0，2）
【知识点6】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b） 1.（2024 海南模拟）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（-3，2）B．（3，2）C．（-3，-2）D．（3，-2）
2.（2024秋 抚远市期中）已知点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，则点B的坐标是（ ） A．（4，1）B．（4，-2）C．（-4，1）D．（-4，-1）
【知识点7】坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 1.（2025春 太和县月考）在平面直角坐标系中，点M（3，-2）向上平移3个单位长度后得到点N，则点N的坐标是（ ） A．（6，-2）B．（3，1）C．（0，-2）D．（3，-5）
2.（2025 揭西县二模）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ） A．（4，-1）B．（2，1）C．（2，-3）D．（0，-1）
【知识点8】关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.（2025春 梅江区期末）点A（-2，3）与点B（a,b）关于原点对称，则ab的值为（ ） A．-1B．1C．6D．-6
【知识点9】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2025春 紫金县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0，2），（-2，0）．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点P2025的坐标是（ ） A．（-4，0）B．（4，0）C．（4，4）D．（0，-4）
【题型1】用坐标确定位置
【典型例题】在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为（3，3）．彩旗方队一共有（ ）人．
A.20 B.25 C.30 D.36
【举一反三1】如图是某学校的平面示意图，下列表示科技楼位置正确的是（ ）
A.A1区 B.B1区 C.C1区 D.C2区
【举一反三2】如果将电影票上“8排5号”简记为（8，5），那么“11排11号”可表示为 ．
【举一反三3】如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1、1），则此“QQ”笑脸右眼B的坐标 ．
【举一反三4】遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下．如果点C的坐标为（﹣1，1），D点的坐标为（0，2）．（点C、D分别在第3、4级）
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出A，B，E，F的坐标；
（2）某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯，经测量每级台阶宽高都为0.3米，你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗？
【举一反三5】如图，这是一所学校的平面示意图，请以国旗杆所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【题型2】用方向角确定位置
【典型例题】下列说法中能确定平面点的位置的正确说法有几种（ ）
①一对有序实数对
②到原点的距离为5北偏东45°的方向
③到原点的距离为5，西南方向
④东偏南37°
⑤北纬40o，东经116o．
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图所示，OA＝OB＝OC＝OD＝10．点E在OB上且BE＝3，∠A0B＝∠BOC＝∠COD＝30°，若点B的位置是（30°，10）．点C的位置是（60°，10），点D的位置是（90°，10），则点E的位置是（ ）
A.（30°，3） B.（30°，7） C.（60°，3） D.（60°，7）
【举一反三2】海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定（ ）
A.方向
B.距离
C.方向和距离
D.失火轮船的国籍
【举一反三3】如图，一艘船在A处遇险后向相距100海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【举一反三4】如图表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系．
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．
【题型3】平面直角坐标系中点的坐标特征
【典型例题】若xy＝0，则点P（x，y）一定在（ ）
A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D.原点
【举一反三1】已知点A（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点A为“和谐点”．若点B（k+2，k）是“和谐点”，则点B在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三2】若点A（a，b）在第一象限，则点B（﹣a，b+3）在第 象限．
【举一反三3】已知点A（2a，3a+1）是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第二象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【题型4】根据规律求点的坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），…按这样的规律，则点A2024的坐标为（ ）
A.（4048，4） B.（4050，4） C.（4050，﹣4） D.（4048，﹣4）
【举一反三1】如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣3） B.（﹣3，﹣2） C.（2，﹣3） D.（﹣2，3）
【举一反三2】已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是（ ）
A.（﹣2，3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（2，﹣3）
【举一反三3】如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 ；
（2）An的坐标为 ．（用含n的代数式表示）
【举一反三4】如图是某台阶的一部分，每级台阶的高和宽都是1．
（1）若点A2的坐标为（﹣2，﹣2），则坐标原点是点 ；
（2）如果点A的坐标为（﹣1，0）．
①在图中画出平面直角坐标系，并写出点A1，A2，A3的坐标；
②观察①中点的坐标的规律，直接写出A2021的坐标．
【题型5】坐标与图形性质
【典型例题】如图，MN⊥x轴，点M（﹣3，5），MN＝3，则点N的坐标为（ ）
A.（﹣6，5） B.（﹣3，2） C.（3，﹣2） D.（﹣3，3）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点M（1，3），N（4，3），连结MN，若对于平面内一点P，线段MN上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段MN的“邻近点”．已知点A（﹣1，3），点B（2，），点C（0，4）和点D（5，2），其中是线段MN的“邻近点”的是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则a的值为 ．
【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使S△ACP＝2S△ABC？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使S△BCQ＝2S△ABC？
【题型6】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化
【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ的端点坐标为P（﹣3，﹣1），Q（﹣1，﹣3），则线段PQ的中点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为（ ）
A.（﹣2，2） B.（﹣2，﹣2） C.（2，2） D.（2，﹣2）
【举一反三1】平面直角坐标系中，点P（a，9）和点Q（10，b）关于y轴对称，则（a+b）2023的值是（ ）
A.﹣1 B.1 C.192023 D.﹣192023
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点P（a+1，6﹣a）关于y轴对称的点位于第三象限，则a的值可以是 （写出一个即可）．
【举一反三3】点P（m+3，3﹣2m）与点Q（m2﹣5m，|2m﹣3|）在同一平面直角坐标系中．
（1）若点P位于第四象限，求m的取值范围；
（2）若点P与点Q关于y轴对称，求线段PQ的长度．
【题型7】关于直线对称的点的坐标变化
【典型例题】如果点P（3，b）和点Q（a，﹣4）关于直线x＝2对称，则a+b的值是（ ）
A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.5
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法不正确的是（ ）
A.点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称
B.点A与点C（3，4）关于y轴对称
C.点A与点D（﹣3，﹣1）关于直线y＝1对称
D.点A与点E（1，4）关于直线x＝﹣1对称
【举一反三2】已知直线l经过点（0，2），且与x轴平行，那么点（6，5）关于直线l的对称点为 ．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．
（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；
（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．
【题型8】关于点的平移的坐标变化
【典型例题】将点A先向下平移5个单位，再向右平移3个单位得到点A'坐标为（4，﹣2），则点A坐标为（ ）
A.（9，3） B.（7，﹣7） C.（﹣1，1） D.（1，3）
【举一反三1】将点A（﹣3，﹣1）先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三2】将△ABC平移得到△A1B1C1，若已知对应点A（m，n）和A1（2m，2n），则B（a，b）的对应点B1的坐标为（ ）
A.（2a，2b） B.（a+m，b+n） C.（a+2，b+2） D.无法确定
【举一反三3】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，向下平移1个单位得到点Q，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 ．
【举一反三5】把点A（a，3）向上平移4个单位，所得的点A'；与点A关于x轴对称．
（1）求a的值；
（2）写出线段AA'上任意一点的坐标．
【题型9】关于原点对称的坐标变化
【典型例题】已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣2）和点B（3，2），则A、B两点（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y＝﹣x对称
【举一反三2】若△ABC的三边a、b、c且A（|2c﹣16|，（a﹣4）2）与B（，﹣4）关于原点对称，则△ABC的形状是 ．
【举一反三3】如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．
【举一反三4】已知点M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
【题型10】关于旋转变换的坐标变化
【典型例题】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a+b等于（ ）
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
【举一反三1】如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O旋转90°，得到线段OA′，则点A′的坐标为（ ）
A.（﹣5，2）
B.（﹣5，﹣2）
C.（5，﹣2）或（﹣5，﹣2）
D.（﹣5，2）或（5，﹣2）
【举一反三2】如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣8，﹣2） B.（﹣6，﹣2） C.（﹣8，﹣4） D.（﹣6，﹣4）
【举一反三3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将△ABC绕某个点顺时针旋转一定度数后得到△A'B'C'，A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，则该旋转中心的坐标是 ．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化
【典型例题】已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点A′的坐标为（ ）
A.（）
B.（4，2）
C.（1，）或（﹣1，）
D.（4，2）或（﹣4，﹣2）
【举一反三1】在平面直角坐标系xOy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A.（﹣2，﹣4） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣1，﹣4） D.（1，﹣4）
【举一反三2】如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 ．
【举一反三3】如图，△OAB以O为位似中心放大2倍到△A′OB′，写出变化前后各顶点的坐标，并指出坐标的变化规律．23.6图形与坐标
【题型1】用坐标确定位置 12
【题型2】用方向角确定位置 15
【题型3】平面直角坐标系中点的坐标特征 18
【题型4】根据规律求点的坐标 19
【题型5】坐标与图形性质 22
【题型6】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化 25
【题型7】关于直线对称的点的坐标变化 26
【题型8】关于点的平移的坐标变化 28
【题型9】关于原点对称的坐标变化 30
【题型10】关于旋转变换的坐标变化 32
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化 36
【知识点1】点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 1.（2024秋 绥化期末）点P（-2，4）所在的象限是（ ） A．第三象限B．第二象限C．第一象限D．第四象限
【答案】B 【分析】点P（-2，4）横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限． 【解答】解：∵-2＜0，4＞0，
∴点P（-2，4）在第二象限，
故选：B． 【知识点2】规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 1.（2024春 端州区校级期中）点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A的坐标为（2，0），取OA的中点记为点A1，取AA1的中点记为点A2，取AA2的中点记为点A3，取AA3的中点记为点A4，……，以此类推，则点A2024的坐标为（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据题意依次求出AA1=1，……，即可总结出，然后即可求解． 【解答】解：∵点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵OA的中点记为点A1，
∴AA1=1，
∵取AA1的中点记为点A2，
∴，
∵取AA2的中点记为点A3，
∴，
……以此类推，，
∴，
∴点A2024的坐标为，
故选：B． 2.（2025春 郁南县期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1），…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ） A．（1012，1011）B．（1012，1012）C．（1013，1012）D．（1013，1013）
【答案】C 【分析】分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出 2025与2的商和余数求出横坐标，（2025-1）与2的商与余数，求出纵坐标，继而得解． 【解答】解：第1次：（1，0），
第2次：（1，1），
第3次：（2，1），
第4次：（2，2），
第5次：（3，2），
…，
则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵2025÷2=1012…1，（2025-1）÷2=1012，
∴第2025次的坐标是：（1013，1012），
故选：C． 【知识点3】坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b． 1.（2025春 珠海期末）如图，点A表示梅华城市花园，坐标为（-1，-1）；点B表示珠海市便民服务中心，坐标为（2，1），则点C表示的香山驿站（正好在坐标系网格点上）的坐标为（ ） A．（1，4）B．（1，5）C．（2，4）D．（0，3）
【答案】A 【分析】利用A、B点的坐标建立直角坐标系，利用坐标系求得点C的坐标即可． 【解答】解：如图，
点C表示的香山驿站（正好在坐标系网格点上）的坐标为（1，4），
故选：A． 2.（2025春 呼和浩特期末）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为（r,α）．其中，r表示目标与船的距离，α表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为A（5，30°），B（4，240°）．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（ ） A．（120°，3）B．（3，120°）C．（4，120°）D．（4，4）
【答案】B 【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【解答】解：∵（r,α）中，r表示距离船的距离，α表示旋转的角度，
∴用这种方法表示目标C的位置为（3，120°）．
故选：B． 【知识点4】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 1.（2024春 长沙县校级期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．若点A（a,b）在坐标轴上，则ab=0B．若m≠0，则点（2，m2）一定在第一象限C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P仅有2个D．已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴
【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标进行判断， 【解答】解：A、∵点A（a,b）在坐标轴上，
∴a=0或b=0，
∴ab=0，故不符合题意；
B、∵m≠0，
∴m2＞0，
∴点（2，m2）一定在第一象限，故不符合题意；
C、点P到x轴和y轴的距离均为2，
∴P点坐标为（2，2）或（2，-2）或 （-2，2）或 （-2，-2），
∴P点共有4个，故符合题意；
D、∵点M（2，3），点N（-2，3），
∴M、N两点在y=3的直线上，
∴MN∥x轴，故不符合题意；
故选：C． 【知识点5】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 1.（2025 大连模拟）如果点P（2，b）和点Q（a,3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ） A．1B．-1C．5D．0
【答案】B 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a,b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵P（2，b）和点Q（a,3）关于x轴对称，
∴a=2，b=-3，
则a+b=2-3=-1．
故选：B． 2.（2025 苏州模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，-2），B（m,n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ） A．（3，-2）B．（3，2）C．（0，-2）D．（0，2）
【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，可知点B与点A的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点B的坐标，再根据点的平移规律可得点C的坐标． 【解答】解：∵点A（3，-2），B（m,n）关于x轴对称，
∴点B的坐标为（3，2），
∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）．
故选：D． 【知识点6】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b） 1.（2024 海南模拟）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（-3，2）B．（3，2）C．（-3，-2）D．（3，-2）
【答案】B 【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标． 【解答】解：∵A的坐标为（-3，2），
∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．
故选：B． 2.（2024秋 抚远市期中）已知点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，则点B的坐标是（ ） A．（4，1）B．（4，-2）C．（-4，1）D．（-4，-1）
【答案】A 【分析】根据关于直线x=1对称，则纵坐标相等，横坐标关于直线x=1对称，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（-2，1）与B点关于直线x=1成轴对称，
∴B点与A点纵坐标相等，横坐标到直线x=1的距离相等，
∴点B的坐标是（4，1）．
故选：A． 【知识点7】坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x-a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 1.（2025春 太和县月考）在平面直角坐标系中，点M（3，-2）向上平移3个单位长度后得到点N，则点N的坐标是（ ） A．（6，-2）B．（3，1）C．（0，-2）D．（3，-5）
【答案】B 【分析】根据向上平移就是纵坐标加上对应的数字计算即可． 【解答】解：点M（3，-2）向上平移3个单位长度后横坐标不变，纵坐标加三个单位长度得到点N（3，-2+3），即（3，1）．
故选：B． 2.（2025 揭西县二模）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ） A．（4，-1）B．（2，1）C．（2，-3）D．（0，-1）
【答案】A 【分析】直接利用平移的性质得出A′的坐标． 【解答】解：∵点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，
∴A′的坐标是：（4，-1）．
故选：A． 【知识点8】关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m,n的值，进而得出m-n的值，即可判断所在象限． 【解答】解：∵a2+1＞0，
∴点P（-2，a2+1）在第二象限，
∴点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限．
故选：D． 2.（2025春 梅江区期末）点A（-2，3）与点B（a,b）关于原点对称，则ab的值为（ ） A．-1B．1C．6D．-6
【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（-2，3）与点B（a,b）关于原点对称，
∴a=2，b=-3，
故ab=-6．
故选：D． 【知识点9】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2025春 紫金县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0，2），（-2，0）．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点P2025的坐标是（ ） A．（-4，0）B．（4，0）C．（4，4）D．（0，-4）
【答案】D 【分析】根据中心对称的性质可得P1，P2，P3，P4，P5，P6坐标，即可找出6个点一循环，从而求出P2025的坐标． 【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（2，0），（0，2），（-2，0），
又∵P1与点O关于点A成中心对称，
∴点P1坐标为（4，0），
∵P2与点P1关于点B成中心对称，
∴P2坐标为（-4，4），
∵点P3与点P2关于点C成中心对称，
∴P3坐标为（0，-4），
∵点P4与点P3关于点A成中心对称，
∴P4坐标为（4，4），
∵点P5与点P4关于点B成中心对称，
∴P5坐标为（-4，0），
∵点P6与点P5关于点C成中心对称，
∴P6坐标为（0，0），
∴6个点一循环，
2025÷6=337……3，
∴点P2025的坐标为（0，-4），
故选：D．
【题型1】用坐标确定位置
【典型例题】在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为（3，3）．彩旗方队一共有（ ）人．
A.20 B.25 C.30 D.36
【答案】B
【解析】∵（3，3）表示第三列，第三行，且小兰的位置不管是列还是行都在正中间，
∴彩旗方队一共有5列、5行，
∴彩旗方队一共有：5×5＝25（人）．
故选：B．
【举一反三1】如图是某学校的平面示意图，下列表示科技楼位置正确的是（ ）
A.A1区 B.B1区 C.C1区 D.C2区
【答案】C
【解析】由图可得：科技楼位置为C1区，
故选：C．
【举一反三2】如果将电影票上“8排5号”简记为（8，5），那么“11排11号”可表示为 ．
【答案】（11，11）
【解析】∵8排5号简记为（8，5），
∴11排11号表示为（11，11），
故答案为：（11，11）．
【举一反三3】如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1、1），则此“QQ”笑脸右眼B的坐标 ．
【答案】（0，3）
【解析】画出直角坐标系为，
则笑脸右眼B的坐标（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【举一反三4】遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台阶（如图所示），春季湖水上涨后有一部分在水下．如果点C的坐标为（﹣1，1），D点的坐标为（0，2）．（点C、D分别在第3、4级）
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出A，B，E，F的坐标；
（2）某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑地毯，经测量每级台阶宽高都为0.3米，你能帮该公司算一下地毯要多少平方米吗？
【答案】解 （1）平面直角坐标系为：
坐标系为：A（﹣3，﹣1），B（﹣2，0），E（1，3），F（2，4）；
（2）0.3×（8+7）×2＝9（平方米），
答：该公司算一下地毯要9平方米．
【举一反三5】如图，这是一所学校的平面示意图，请以国旗杆所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【答案】解 如图所示：
教学楼的坐标为（3，0），
图书馆的坐标为（2，3），
校门的坐标为（﹣3，0），
实验楼的坐标为（3，﹣3），
国旗杆的坐标为（0，0）．
【题型2】用方向角确定位置
【典型例题】下列说法中能确定平面点的位置的正确说法有几种（ ）
①一对有序实数对
②到原点的距离为5北偏东45°的方向
③到原点的距离为5，西南方向
④东偏南37°
⑤北纬40o，东经116o．
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】一对有序实数对可以确定平面点的位置，故①正确；
到原点的距离为5北偏东45°的方向可以确定平面点的位置，故②正确；
到原点的距离为5，西南方向可以确定平面点的位置，故③正确；
东偏南37°不可以确定平面点的位置，故④错误；
北纬40o，东经116o可以确定平面点的位置，故⑤正确；
故选：C．
【举一反三1】如图所示，OA＝OB＝OC＝OD＝10．点E在OB上且BE＝3，∠A0B＝∠BOC＝∠COD＝30°，若点B的位置是（30°，10）．点C的位置是（60°，10），点D的位置是（90°，10），则点E的位置是（ ）
A.（30°，3） B.（30°，7） C.（60°，3） D.（60°，7）
【答案】B
【解析】∵BO＝10，BE＝3，
∴OE＝7，
∵∠AOB＝30°，
∴点E的位置是：（30°，7）．
故选：B．
【举一反三2】海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定（ ）
A.方向
B.距离
C.方向和距离
D.失火轮船的国籍
【答案】C
【解析】海事救灾船前去救援海域失火轮船，需要确定方位角还有距离，
故选：C．
【举一反三3】如图，一艘船在A处遇险后向相距100海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【答案】南偏西15°方向上且两船相距100海里
【解析】由题意得，救生船相对于遇险穿的位置为北偏东15°方向上且两船相距100海里，
∴遇险船相对于救生船的位置为南偏西15°方向上且两船相距100海里，
故答案为：南偏西15°方向上且两船相距100海里．
【举一反三4】如图表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系．
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．
【答案】解 （1）保龙仓在图书馆南偏西70°方向上，且距离图书馆2.8km；
中国银行在图书馆北偏东30°方向上，且距离图书馆3.2km；
餐馆在图书馆北偏西50°方向上，且距离图书馆1.8km；
（2）如图所示：
【题型3】平面直角坐标系中点的坐标特征
【典型例题】若xy＝0，则点P（x，y）一定在（ ）
A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D.原点
【答案】C
【解析】∵xy＝0，
∴x、y至少有一个数为0，
x＝0时，点P在y轴上，
y＝0时，点P在x轴上，
x＝y＝0时，点P为坐标原点，
∴点P（x，y）一定在坐标轴上．
故选：C．
【举一反三1】已知点A（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点A为“和谐点”．若点B（k+2，k）是“和谐点”，则点B在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】∵点 B（k+2，k） 是“和谐点”，
∴3（k+2）＝2（1﹣k）+5，
解得k＝，
∴k+2＝，1﹣k＝，
∴点B在第一象限．
故选：A．
【举一反三2】若点A（a，b）在第一象限，则点B（﹣a，b+3）在第 象限．
【答案】二
【解析】∵点A（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣a＜0，b+3＞0，
∴点B（﹣a，b+3）在第二象限，
故答案为：二．
【举一反三3】已知点A（2a，3a+1）是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第二象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【答案】解 （1）∵点A在第二象限的角平分线上，
∴2a+3a+1＝0，
∴a＝﹣；
（2）∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
∴﹣2a+[﹣（3a+1）]＝9，
∴﹣2a﹣（3a+1）＝9，
∴﹣2a﹣3a﹣1＝9，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣4，﹣5）．
【题型4】根据规律求点的坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），…按这样的规律，则点A2024的坐标为（ ）
A.（4048，4） B.（4050，4） C.（4050，﹣4） D.（4048，﹣4）
【答案】A
【解析】点An（n为正整数）的横坐标为2n，纵坐标每6个一循环，
∴点A2024的横坐标为2×2024＝4048，
∵2024÷6＝337....2，
∴点A2024的纵坐标与A2的纵坐标相同，为4，
∴点A2024的坐标为（4048，4），
故选：A．
【举一反三1】如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣3） B.（﹣3，﹣2） C.（2，﹣3） D.（﹣2，3）
【答案】A
【解析】∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限，
∴y＝﹣3，x＝﹣2，
∴这个点的坐标是：（﹣2，﹣3），
故选：A．
【举一反三2】已知点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定是（ ）
A.（﹣2，3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（2，﹣3）
【答案】D
【解析】∵点P在第四象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是﹣3，
∴点P的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【举一反三3】如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．
（1）A3的坐标为 ；
（2）An的坐标为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）（8，2）（２）（3n﹣1，2）
【解析】（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），
∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3，
∴A3（5+3，2），An（2+3（n﹣1），2），
即A3（8，2）；
故答案为：（8，2）；
（2）An（3n﹣1，2），
故答案为：（3n﹣1，2）；
【举一反三4】如图是某台阶的一部分，每级台阶的高和宽都是1．
（1）若点A2的坐标为（﹣2，﹣2），则坐标原点是点 ；
（2）如果点A的坐标为（﹣1，0）．
①在图中画出平面直角坐标系，并写出点A1，A2，A3的坐标；
②观察①中点的坐标的规律，直接写出A2021的坐标．
【答案】解 （1）∵点A2的坐标为（﹣2，﹣2），
∴按照平移规律，将点A2的向上平移2个单位，再向右平移2个单位即可到达原点位置，此位置正好是A4，
故答案为：A4；
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴点A1位于y轴上，点A位于x轴上，建立坐标系如图：
①根据坐标系可知，A1（0，1），A2（1，2），A3（2，3）；
②由①可知，点An的坐标为（n﹣1，n），
∴A2021的坐标为（2020，2021）．
【题型5】坐标与图形性质
【典型例题】如图，MN⊥x轴，点M（﹣3，5），MN＝3，则点N的坐标为（ ）
A.（﹣6，5） B.（﹣3，2） C.（3，﹣2） D.（﹣3，3）
【答案】B
【解析】由题意得，将点M向下平移3个单位，纵坐标为5﹣3＝2，
∴N（﹣3，2），
故选：B．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点M（1，3），N（4，3），连结MN，若对于平面内一点P，线段MN上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段MN的“邻近点”．已知点A（﹣1，3），点B（2，），点C（0，4）和点D（5，2），其中是线段MN的“邻近点”的是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【解析】∵点A到线段MN的最近距离是A点与M点间的距离AM＝＝2＞1，A点不符合；
∵点B（2，）到线段MN的最近距离是|3﹣|＝＜1，
∴B点符合；
∵点C到线段MN的最近距离且CM＝＝＞1，
∴C点不符合；
∵点D到线段MN的距离DN＝＝＞1，
∴D点不符合．
故选：B．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则a的值为 ．
【答案】3
【解析】∵点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，
∴﹣3＝3﹣2a，
∴a＝3，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使S△ACP＝2S△ABC？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使S△BCQ＝2S△ABC？
【答案】解 （1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
点B到AC的距离为3，
∴△ABC的面积＝×4×3＝6；
（2）∵S△ACP＝2S△ABC，
3×2＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC，
4×2＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
【题型6】关于x轴、y轴对称的点的坐标变化
【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ的端点坐标为P（﹣3，﹣1），Q（﹣1，﹣3），则线段PQ的中点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为（ ）
A.（﹣2，2） B.（﹣2，﹣2） C.（2，2） D.（2，﹣2）
【答案】D
【解析】∵P（﹣3，﹣1），Q（﹣1，﹣3），
∴线段PQ的中点M（﹣2，﹣2），
∴点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为（2，﹣2），
故选：D．
【举一反三1】平面直角坐标系中，点P（a，9）和点Q（10，b）关于y轴对称，则（a+b）2023的值是（ ）
A.﹣1 B.1 C.192023 D.﹣192023
【答案】A
【解析】∵点P（a，9）和点Q（10，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣10，b＝9，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：A．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点P（a+1，6﹣a）关于y轴对称的点位于第三象限，则a的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】7
【解析】∵点P（a+1，6﹣a）关于y轴对称的点位于第三象限，
∴点P（a+1，6﹣a）在第四象限，
∴a+1＞0且6﹣a＜0，
∴a＞6，
∴a的值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【举一反三3】点P（m+3，3﹣2m）与点Q（m2﹣5m，|2m﹣3|）在同一平面直角坐标系中．
（1）若点P位于第四象限，求m的取值范围；
（2）若点P与点Q关于y轴对称，求线段PQ的长度．
【答案】解 （1）∵P（m+3，3﹣2m）位于第四象限，
∴，
解得m＞，
∴m的取值范围是得m＞；
（2）∵P（m+3，3﹣2m）与点Q（m2﹣5m，|2m﹣3|）关于y轴对称，
∴m+3+m2﹣5m＝0且|2m﹣3|＝3﹣2m，
解得m＝1，
∴P（4，1），Q（﹣4，1），
∴PQ＝8，
答：线段PQ的长度为8．
【题型7】关于直线对称的点的坐标变化
【典型例题】如果点P（3，b）和点Q（a，﹣4）关于直线x＝2对称，则a+b的值是（ ）
A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.5
【答案】C
【解析】因为点P和点Q关于直线x＝2对称，
所以b＝﹣4，2﹣a＝3﹣2，
则a＝1，b＝﹣4，
所以a+b＝1+（﹣4）＝﹣3．
故选：C．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法不正确的是（ ）
A.点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称
B.点A与点C（3，4）关于y轴对称
C.点A与点D（﹣3，﹣1）关于直线y＝1对称
D.点A与点E（1，4）关于直线x＝﹣1对称
【答案】C
【解析】A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称，正确，本选项不符合题意．
B．点A与点C（3，4）关于y轴对称，正确，本选项不符合题意．
C．点A与点D（﹣3，﹣1）关于直线y＝1对称，错误应该是关于直线y＝1.5对称，本选项符合题意．
D．点A与点E（1，4）关于直线x＝﹣1对称，正确，本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】已知直线l经过点（0，2），且与x轴平行，那么点（6，5）关于直线l的对称点为 ．
【答案】（6，﹣1）
【解析】∵直线l经过点（0，2），且与x轴平行，
∴直线l解析式为y＝2，
∴点（6，5）关于直线l的对称点为（6，﹣1），
故答案为：（6，﹣1）．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（0，3）
【解析】如图，A，A′关于直线y＝x对称，
∵直线y＝x是第一、三象限的平分线，点A（3，0），
∴A′在y轴上，OA′＝OA＝3，
∴A′的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．
（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；
（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．
【答案】解 （1）∵A、B关于直线x＝﹣1对称，
∴A、B的纵坐标相同，a﹣（﹣1）＝﹣1﹣（﹣2），
∴b＝3，a＝0，
即A（0，3）、B（﹣2，3），
∴AB＝2；
（2）当线段AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，
∴a＝﹣2，
∵AB＝4，
∴S△AOB＝×4×2＝4．
【题型8】关于点的平移的坐标变化
【典型例题】将点A先向下平移5个单位，再向右平移3个单位得到点A'坐标为（4，﹣2），则点A坐标为（ ）
A.（9，3） B.（7，﹣7） C.（﹣1，1） D.（1，3）
【答案】D
【解析】由题意知点A的坐标为（4﹣3，﹣2+5），即（1，3）．
故选：D．
【举一反三1】将点A（﹣3，﹣1）先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】∵点A（﹣3，﹣1）先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A′（﹣3+4，﹣1+2），即A′（1，1），
∵1＞0，
∴点A′在第一象限．
故选：A．
【举一反三2】将△ABC平移得到△A1B1C1，若已知对应点A（m，n）和A1（2m，2n），则B（a，b）的对应点B1的坐标为（ ）
A.（2a，2b） B.（a+m，b+n） C.（a+2，b+2） D.无法确定
【答案】B
【解析】∵点A（m，n）的对应点A1（2m，2n），即（m+m、n+n），
∴B（a，b）的对应点B1的坐标为（a+m，b+n），
故选：B．
【举一反三3】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】∵点A（1，0）平移后得到点C（﹣2，1），
∴线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向左平移3个单位，
∴m+1＝n，
∴m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，向下平移1个单位得到点Q，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 ．
【答案】（﹣1，0）
【解析】由题知，
因为点Q由点P向左平移3个单位，向下平移1个单位得到，
所以点Q的坐标可表示为（m﹣2，2m﹣2）．
又因为点Q恰好在x轴上，
所以2m﹣2＝0，
解得m＝1，
所以m﹣2＝﹣1，
所以点Q的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【举一反三5】把点A（a，3）向上平移4个单位，所得的点A'；与点A关于x轴对称．
（1）求a的值；
（2）写出线段AA'上任意一点的坐标．
【答案】解 （1）点A（3，a）向上平移4个单位，所得的点A'（3，a+4），
∵点A′与点A关于x轴对称，
∴a+a+4＝0，
∴a＝﹣2；
（2）线段AA'上任意一点的坐标为（3，y）（﹣2≤y≤2）．
【题型9】关于原点对称的坐标变化
【典型例题】已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】∵点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′（a2，a﹣1），
∵a＜0，
∴a2＞0，﹣a+1＜0，
∴点P′在第四象限，
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣2）和点B（3，2），则A、B两点（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y＝﹣x对称
【答案】C
【解析】∵点A（﹣3，﹣2）和点B（3，2）的横纵坐标都互为相反数，
∴A、B两点关于原点对称．
故选：C．
【举一反三2】若△ABC的三边a、b、c且A（|2c﹣16|，（a﹣4）2）与B（，﹣4）关于原点对称，则△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】由题意得：2c﹣16＝0，b﹣10＝0，（a﹣4）2＝4，
解得：c＝8，b＝10，a＝6或2，
∵a、b、c是三角形三边，
∴根据三角形的三边关系可得c＝8，b＝10，a＝6，
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【举一反三3】如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．
【答案】解 如图所示：
∵点N是点M关于原点的对称点，M（3，4），
∴N（﹣3，﹣4），
∴过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，
∴△MNP的面积：6×8＝24．
【举一反三4】已知点M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
【答案】解 ∵M（x﹣1，x+y）与点N（﹣y，﹣3）关于原点对称，
∴解得，
∴点M（1，3），点N（﹣1，﹣3）．
【题型10】关于旋转变换的坐标变化
【典型例题】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a+b等于（ ）
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
【答案】A
【解析】如图，由题意A（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，观察图象可知，A′（2，﹣1）．
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故选：A．
【举一反三1】如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O旋转90°，得到线段OA′，则点A′的坐标为（ ）
A.（﹣5，2）
B.（﹣5，﹣2）
C.（5，﹣2）或（﹣5，﹣2）
D.（﹣5，2）或（5，﹣2）
【答案】D
【解析】如图，
由图可知：点A′的坐标为（﹣5，2）或（5，﹣2）；
故选：D．
【举一反三2】如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣8，﹣2） B.（﹣6，﹣2） C.（﹣8，﹣4） D.（﹣6，﹣4）
【答案】B
【解析】如图所示，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE＝∠CDB＝90°．
∵点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），
∴CE＝2，AE＝4，
∵将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠DCB＝∠ECA，
∴△ACE≌△CDB（A.A.S.），
∴EC＝DB＝2，AE＝DC＝4，
∴DO＝DC+CO＝4+2＝6，
∴B（﹣6，﹣2），
故选：B．
【举一反三3】学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面直角坐标系中将△ABC绕某个点顺时针旋转一定度数后得到△A'B'C'，A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，则该旋转中心的坐标是 ．
【答案】（0，﹣1）
【解析】如图，旋转中心P即为所求，P（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
【答案】解 作A'C⊥x轴于点C，
由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴OC＝OB+BC＝7，
∴点A'坐标为（7，4）．
【题型11】以原点为位似中心的点坐标变化
【典型例题】已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点A′的坐标为（ ）
A.（）
B.（4，2）
C.（1，）或（﹣1，）
D.（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解析】如图，
则点A′的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系xOy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A.（﹣2，﹣4） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣1，﹣4） D.（1，﹣4）
【答案】A
【解析】如图所示：
∵相似比为2，
∴A'（﹣2，﹣4），
故选：A．
【举一反三2】如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 ．
【答案】（1，2）或（﹣1，﹣2）
【解析】由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），
当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【举一反三3】如图，△OAB以O为位似中心放大2倍到△A′OB′，写出变化前后各顶点的坐标，并指出坐标的变化规律．
【答案】解 A（﹣1，0），B（﹣2，1），O（0，0），A′（﹣2，0），B′（﹣4，2）．
变化规律：
将原坐标的横坐标，纵坐标分别乘以2，得到新的点的横坐标和纵坐标．
