24.2直角三角形的性质
【题型1】两锐角互余 3
【题型2】直角三角形三边关系 4
【题型3】直角三角形斜边中线等于斜边一半 5
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用 6
【题型5】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 7
【题型6】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用 8
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C
【知识点2】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2024秋 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm,则AB等于（ ） A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
2.（2025春 株洲校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm,则AC长为（ ） A．4 cmB．2 cmC．1 cmD． cm
【知识点3】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2024秋 嘉定区校级期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：
（甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形；
（乙）△PMN为等边三角形．
对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（ ） A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
【题型1】两锐角互余
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝（ ）
A.18° B.24° C.30° D.36°
【举一反三1】（）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，∠CAD：∠DAB＝2：5，∠ADC的度数为（ ）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°．求∠DAE的度数．
【题型2】直角三角形三边关系
【典型例题】在一个直角三角形中，已知两直角边分别为3 cm，4 cm，则正确的组合为（ ）
①斜边长为25 cm；
②斜边长为5 cm；
③周长为12 cm；
④面积为6 cm2；
⑤面积为12 cm2．
A.①② B.②③④ C.②③⑤ D.①④
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若CA＝4，CB＝3，则CD＝（ ）
A. B. C. D.5
【举一反三2】在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三3】已知直角三角形两条边的长为3和4，则斜边长是 ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求AB的长．
【题型3】直角三角形斜边中线等于斜边一半
【典型例题】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（ ）
A.10 B.6 C.5 D.4
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD是AB边上的中线，则AB的长是（ ）
A.20 B.10 C.5 D.
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
【举一反三3】两直角边长分别为5，12的直角三角形，其斜边上的中线长为 ．
【举一反三4】如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，2∠ACD＝∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？为什么？
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A.10 B.3 C.26 D.3
【举一反三1】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF＝4，BC＝6，则△EFM的周长是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【举一反三2】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 ．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．
【题型5】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半
【典型例题】已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A.45° B.75°或60° C.45°或75° D.以上都不对
【举一反三1】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图，在直角三角形ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，若BD＝1，则CD＝ ．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD长．
【题型6】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为（ ）
A.2 B.1.5 C.3 D.2.5
【举一反三1】如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.5.5
【举一反三2】如图，现有一块三角板ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角板沿BC边翻转得到△A′BC，再将△A'BC沿边翻转得到△A'B'C，则A与B′两点之间的距离为（ ）
A. B.16 C. D.
【举一反三3】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛A与灯塔C之间的距离是 海里．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝14，D为BC上一点，AD＝AC，CD＝6，求BD的长．24.2直角三角形的性质
【题型1】两锐角互余 5
【题型2】直角三角形三边关系 8
【题型3】直角三角形斜边中线等于斜边一半 9
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用 12
【题型5】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 15
【题型6】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用 18
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C
【答案】D 【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状． 【解答】解：A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C=1：2：3，即∠A+∠B=∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D． 【知识点2】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2024秋 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm,则AB等于（ ） A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质，易知：AB=2BC；联立AB+BC=12cm,即可求得AB、BC的长． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；
∴AB=2BC；
∴AB+BC=3BC=12cm,即BC=4cm,AB=2BC=8cm.
故选：C． 2.（2025春 株洲校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm,则AC长为（ ） A．4 cmB．2 cmC．1 cmD． cm
【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质得出AB=2AC，从而得出AC． 【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
∵AB=2cm,
∴AC=AB=1cm,
故选：C． 【知识点3】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2024秋 嘉定区校级期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：
（甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形；
（乙）△PMN为等边三角形．
对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（ ） A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AB=BC，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断甲；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断乙． 【解答】解：当M为AC中点时，
∵BM⊥AC于点M，
∴BM垂直平分AC，
∴AB=BC，
∵∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故甲正确，符合题意；
∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=BC=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
故乙正确，符合题意；
故选：C．
【题型1】两锐角互余
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝（ ）
A.18° B.24° C.30° D.36°
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝54°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝18°，
故选：A．
【举一反三1】（）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，∠CAD：∠DAB＝2：5，∠ADC的度数为（ ）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【答案】C
【解析】∵∠CAD：∠DAB＝2：5，
∴令∠CAD＝2x°，DAB＝5x°，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝5x°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠DAB+∠CAD＝90°，
∴5x+5x+2x＝90，
∴x＝7.5，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝10x°＝75°．
故选：C．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】∵直线DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
设∠BAE＝x，∠BAC＝5x，
∴∠EAC＝∠C＝4x，
∴∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，
解得x＝10°，
∴∠C＝4x＝40°．
故选：B．
【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 ．
【答案】50°
【解析】∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝70°，
∴∠CDE＝∠C∠DE＝110°，
∴∠C′DA′＝40°，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°．求∠DAE的度数．
【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠CEA＝50°，
∴∠BAE＝50°﹣38°＝12°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝26°﹣12°＝14°．
【题型2】直角三角形三边关系
【典型例题】在一个直角三角形中，已知两直角边分别为3 cm，4 cm，则正确的组合为（ ）
①斜边长为25 cm；
②斜边长为5 cm；
③周长为12 cm；
④面积为6 cm2；
⑤面积为12 cm2．
A.①② B.②③④ C.②③⑤ D.①④
【答案】B
【解析】∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为3 cm，4 cm，
∴这个直角三角形的斜边为5 cm，周长为12 cm，面积为6 cm2．
故②③④正确，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若CA＝4，CB＝3，则CD＝（ ）
A. B. C. D.5
【答案】C
【解析】由S△ABC AB CDAC BC，得CD．
故选：C．
【举一反三2】在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D
【解析】在直角三角形中，根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，
∴斜边长10，
故选：D．
【举一反三3】已知直角三角形两条边的长为3和4，则斜边长是 ．
【答案】4或5
【解析】当直角三角形的两直角边长分别为3和4，
∴斜边长为，
直角三角形的斜边长可以为4，
综上：直角三角形斜边长是4或5，
故答案为：4或5．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求AB的长．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC＝2，
∴AB3，
故AB的长为3．
【题型3】直角三角形斜边中线等于斜边一半
【典型例题】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（ ）
A.10 B.6 C.5 D.4
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵D为斜边AB的中点，
∴CDAB＝5，
故选：C．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD是AB边上的中线，则AB的长是（ ）
A.20 B.10 C.5 D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD是AB边上的中线，
则AB＝2CD＝2×5＝10，
故选：B．
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】A
【解析】Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，
则OBAC＝5，
故选：A．
【举一反三3】两直角边长分别为5，12的直角三角形，其斜边上的中线长为 ．
【答案】6.5
【解析】斜边的长是：13，
则斜边上的中线长是13＝6.5．
故答案为：6.5．
【举一反三4】如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【答案】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE；
（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，CEAB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，2∠ACD＝∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？为什么？
【答案】解：∠ECD＝30°．
∵∠ACB＝90°，2∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°．
又∵CD⊥AB，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°．
∵E是斜边AB的中点，
∴CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝60°﹣30°＝30°．
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A.10 B.3 C.26 D.3
【答案】B
【解析】△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB2，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN， CM3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：3，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF＝4，BC＝6，则△EFM的周长是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】B
【解析】∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵M为BC的中点，BC＝6，
∴FMBC＝3，EMBC＝3，
∵EF＝4，
∴△EFM的周长＝EF+FM+EM＝4+3+3＝10，
故选：B．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 ．
【答案】12
【解析】过点M作ME⊥CD，垂足为E，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，
∴CM＝DMAB＝5，
∴DECD＝3，
在Rt△DEM中，EM4，
∴△MCD的面积CD EM6×4＝12，
故答案为：12．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．
【答案】证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DGBC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．
同理，EGBC．
∴DG＝EG（等量代换）．
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
【题型5】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半
【典型例题】已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A.45° B.75°或60° C.45°或75° D.以上都不对
【答案】D
【解析】①当AB＝AC时，如图，
则∠B＝∠C；
∵AD为BC边上的高，
∴BD＝CD，
∵，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAB＝∠B，∠C＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝∠C＝∠DAC，
而这四个角和为180°，
∴底角为∠B＝∠C＝45°；
②当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∴底角为75°；
③当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴底角为15°，
故选：D．
【举一反三1】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】连接AD，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE⊥CE，∠C＝30°，CD＝2，
∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：ED＝1，
∴根据勾股定理：CE，
∵DE垂直平分AC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DA＝DC＝2，∠DAC＝90°，
∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，AD＝2，
∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：BD＝4，
故选：B．
【举一反三2】如图，在直角三角形ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，若BD＝1，则CD＝ ．
【答案】3
【解析】如图，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，
∴∠BAD＝∠C＝30°，
∴在直角△ABD中，AB＝2BD＝2，
∴在直角△ABC中，BC＝2AB＝4，则CD＝BC＝BD＝3．
故填：3．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD长．
【答案】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BCAB4＝2，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，
∠B＝∠B，
故∠BCD＝∠A＝30°，
∴在Rt△BCD中，BDBC2＝1，
∴BD＝1．
【题型6】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，则PD的长为（ ）
A.2 B.1.5 C.3 D.2.5
【答案】A
【解析】如图，过点P作PN⊥OB于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，
∴PN＝PM，
∵OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠AOC∠AOB60°＝30°，
∵OM＝3，
∴PM＝3，
∵PD∥OA，
∴∠PDN＝∠AOB＝60°，
∴∠DPN＝90°﹣60°＝30°，
∴PD2．
故选：A．
【举一反三1】如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.5.5
【答案】D
【解析】过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，
∴∠OPD＝30°，
∴DO6.5，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．
故选：D．
【举一反三2】如图，现有一块三角板ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角板沿BC边翻转得到△A′BC，再将△A'BC沿边翻转得到△A'B'C，则A与B′两点之间的距离为（ ）
A. B.16 C. D.
【答案】C
【解析】连接AB′，
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝2AB＝16，BCAB＝8，
由翻折得：∠ACB＝∠A′CB＝∠A′CB′＝30°，B′C＝BC＝8，
∴∠ACB′＝∠ACB+∠A′CB+∠A′CB′＝90°，
在Rt△ACB′中，AB′8，
∴A与B′两点之间的距离为8，
故选：C．
【举一反三3】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛A与灯塔C之间的距离是 海里．
【答案】60
【解析】根据题意得：△ABC为直角三角形，
由∠BAC＝60°，可得∠ACB＝30°．
AB＝2×15＝30海里．
根据在直角三角形中30度所对直角边是斜边的一半可得：AC＝2AB＝60海里．
故答案为：60．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．
【答案】解：延长AB，作CD⊥AB的延长线于点D，
∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，
∴，
∴△ABC的面积为：．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝14，D为BC上一点，AD＝AC，CD＝6，求BD的长．
【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵AB＝14，
∴BEAB＝7，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CECD＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝7﹣3＝4，
∴BD的长为4．
