25.2随机事件的概率
【题型1】概率的意义 5
【题型2】摸球的概率计算 6
【题型3】掷骰子的概率计算 7
【题型4】和数字有关的概率计算 8
【题型5】其它问题概率的计算 9
【题型6】用频率估计概率 10
【题型7】用频率估计概率的简单应用 12
【题型8】几何概率 14
【题型9】列表法求摸球的概率 16
【题型10】列表法求掷骰子或硬币事件的概率 17
【题型11】列表法求其他问题的概率 17
【题型12】用树状图求概率（两步实验） 19
【题型13】用树状图求概率（三步及以上实验） 19
【知识点1】概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 1.（2025春 东港市期中）下列说法中不正确的是（ ） A．水中捞月是不可能事件B．367人中有两人是同月同日生为必然事件C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上
2.（2025 西乡塘区一模）下列说法正确的是（ ） A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件B．“在平面上任意画一个三角形，其内角和为180°”这一事件是必然事件C．在单词book（书）中任意选择一个字母为o的概率为D．天气预报说明天的降水概率是90%，则明天一定会下雨
【知识点2】概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0． 1.（2025 广东模拟）“十二生肖纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以十二年为一循环的纪年法．小明购买了一套十二生肖邮票（共12张），从中任意抽一张邮票送给小玲，恰好抽到“蛇”的邮票的概率是（ ） A．B．C．D．
2.（2025 邕宁区校级模拟）山西是全国古建筑遗存最多的省份，被誉为“中国古代建筑宝库”，小明一家准备周末前往山西游玩，他们想在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是（ ） A．B．C．D．
【知识点3】几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 1.（2024 邱县二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ） A．P甲＞P乙B．P甲＜P乙C．P甲=P乙D．无法确定P甲，P乙的大小
2.（2024春 南山区期末）如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（ ） A．B．C．D．
【知识点4】列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 1.（2025 河南模拟）中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，下面四张卡片分别代表立春、谷雨、白露、大雪，卡片除正面图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2025 海淀区校级模拟）不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么这两次摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ） A．B．C．D．
【知识点5】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1.（2025 中原区校级三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为（ ） A．20B．40C．60D．100
【题型1】概率的意义
【典型例题】下列说法错误的是( )
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 必然事件发生的概率为1
C. 随机事件发生的概率介于0和1之间
D. 随机事件发生的概率为0.5
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C.天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
【举一反三2】投掷一枚骰子，出现1点的概率是．下列说法中，错误的有（ ）
①每掷一次均出现1点；
②当投掷次数比较多时，出现1点的频率就很接近投掷次数的；
③连投6次，不可能都是1点；
④连投5次，不可能出现1点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】某个事件发生的概率是,这意味着( )
A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生
B. 在一次试验中没有发生,下次肯定发生
C. 在一次试验中已经发生,下次肯定不发生
D. 每次试验中事件发生的可能性是50%
【举一反三4】下列说法错误的是( )
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 必然事件发生的概率为1
C. 随机事件发生的概率介于0和1之间
D. 随机事件发生的概率为0.5
【题型2】摸球的概率计算
【典型例题】一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ，那么n的值为______．
【举一反三3】一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．
(1)“摸到红球”是 事件，“摸到黑球”是 事件．(填“不可能”或“必然”或“随机”)
(2)如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
(3)盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．
【题型3】掷骰子的概率计算
【典型例题】抛掷一枚正六面体的骰子一次，朝上的点数不小于3的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如果k是随机投掷一个骰子所得的数字(1，2，3，4，5，6)，则关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1＝0有两个不等实数根的概率P＝( )
A. B. C. D.
【举一反三2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是( )
A. 朝上一面的数字恰好是6
B. 朝上一面的数字是2的整数倍
C. 朝上一面的数字是3的整数倍
D. 朝上一面的数字不小于2
【举一反三3】小明掷一枚质地均匀的硬币，掷前9次时共有6次正面朝上，那么，他掷第10次时，出现正面朝上的概率是 ．
【举一反三4】如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后：
(1)数字几朝上的概率最小？
(2)奇数面朝上的概率是多少？
【题型4】和数字有关的概率计算
【典型例题】在﹣4，﹣2，1，2，3五个数中，随机取一个数作为函数y＝kx中k的值，则该函数图象恰好经过二、四象限的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】从五个数﹣1，0， ，π，﹣1.5中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x﹣1≥3的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】从五个数﹣1，0， ，π，﹣1.5中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x﹣1≥3的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三5】从 ，0，π， ，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
【举一反三6】我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926．若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是 ．
【举一反三7】有6张正面分别写有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的一次函数y＝2x+(m﹣1)图象经过第四象限，且使二次函数y＝x2+mx的图象与x轴最多有1个交点的概率是 ．
【题型5】其它问题概率的计算
【典型例题】有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】下面的四个图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D. 1
【举一反三2】在“生活处处有创新”这句话任选一个汉字，这个字是“处”的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为( )
A. B. C. D.
【题型6】用频率估计概率
【典型例题】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种频率结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 袋子中有1个红球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【举一反三1】某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是( )
A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【举一反三2】某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：
则他的投篮命中率为( )
A. B. C. D. 不能确定
【举一反三3】对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
当n越大时，优等品率趋近于概率 ．(精确到0.01)
【举一反三4】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近 （结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 ；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
（3）在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【举一反三5】某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是活动进行中的一组统计数据．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）转动该转盘一次，获得洗衣粉的概率的估计值是多少？
【题型7】用频率估计概率的简单应用
【典型例题】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )
A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80
【举一反三1】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20 cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A. 6 cm2 B. 7 cm2 C. 8 cm2 D. 9 cm2
【举一反三2】大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为3 cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为( )
A. 0.6 cm2 B. 1.8 cm2 C. 5.4 cm2 D. 3.6 cm2
【举一反三3】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A. 20 B. 300 C. 500 D. 800
【举一反三4】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 (精确到0.01)．
【举一反三5】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x( cm)统计如表：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是 ．
【举一反三6】不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在0.3，则绿球的个数约是 ．
【题型8】几何概率
【典型例题】一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，nm，则估计图中a的值为（ ）
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【举一反三2】如图将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在正六边形ABCDEF的地板上，中间有一个正三角形GMN的阴影区域，其中G，M，N分别为AF，BC，DE边的中点．若一个小球（看作一点）在此正六边形地板上自由滚动，并随机停留在某处，则该小球停留在阴影区域的概率为 ．
【举一反三4】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
【举一反三5】如图，假设可以随机在图中取点．
（1）这个点取在阴影部分的概率是 ．
（2）在保留原阴影部分情况下，请你重新设计图案（直接在图上涂阴影），使得这个点取在阴影部分的概率为．
【题型9】列表法求摸球的概率
【典型例题】一个不透明的布袋里装有1个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4，随机摸出一个小球，其数字为p（放回），再随机摸出一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n．如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【举一反三5】在一不透明口袋中装有大小形状完全相同的2个黑球和2个白球，先从口袋中模出一个球，不放回，再从口袋中摸出另一个球，则摸出的两个球颜色不相同的概率为 ．
【举一反三6】不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回后摇匀再随机摸出一个小球，则摸出两个绿球的概率为 ．
【举一反三7】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【题型10】列表法求掷骰子或硬币事件的概率
【典型例题】一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】将一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次点数之和等于9的概率为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一画出现的点数相同的概率为 ．
【举一反三3】质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．
【举一反三4】图1是一枚质地均匀的骰子，每个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6，图2是一个正五边形棋盘，现通过掷股子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面朝上的点数是几，就从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续…
(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是 ．
(2)随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
【题型11】列表法求其他问题的概率
【典型例题】不透明的袋子中装有两个小球,上面分别写着“6”“-6”,除数字外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,记录其上数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其上数字,那么两次记录的数字之和为0的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】书架上有3套不同版本的教材，每套分为上、下两册，现在从6册中随机地取出两册，恰好能组成一套教材的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】甲、乙两位同学的课后服务选修课分为三类：A．音乐，B．美术，C．演讲，若甲、乙两名同学从这3个学科中随机选择一个学科学习，甲、乙两人选中同一个学科的概率是 ．
【举一反三3】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷,现有“微信”“支付宝”“银行卡”和“现金”四种支付方式.
(1)若随机选一种方式进行支付,则恰巧是“现金”的概率是 ;
(2)在一次购物中,小嘉和小琪都想从“微信”“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
【举一反三4】面对新冠疫情，金华教育人同心战“疫”．某校在疫情期间的教学方式主要包括直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式．为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查(每人只选其中的一种)，并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．
(1)本次调查的人数是 人；
(2)请补全条形统计图；
(3)明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表表示所有可能的情况，并求明明和强强选择同一种教学方式的概率．
【题型12】用树状图求概率（两步实验）
【典型例题】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】从﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 ．
【举一反三3】为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
(1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为 ；
(2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．
【题型13】用树状图求概率（三步及以上实验）
【典型例题】若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到A的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为 .
【举一反三3】如图是2个可以随机转动的转盘，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在两个扇形的交线上时，视为指针向右边的扇形)．
(1)用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
(2)求两个数字的积为偶数的概率．
【举一反三4】在一年一度的广雅少年歌唱比赛中，需要抽签决定A，B，C，D四名选手的出场顺序，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，在卡片正面分别写上数字“1”，“2”，“3”，“4”，抽到数字“1”则第一个出场，以此类推，主持人将卡片打乱顺序后，给这四名选手各随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图法列举出所有可能出现的结果；
(2)求事件“选手A和C出场顺序不相邻”的概率．25.2随机事件的概率
【题型1】概率的意义 8
【题型2】摸球的概率计算 10
【题型3】掷骰子的概率计算 12
【题型4】和数字有关的概率计算 14
【题型5】其它问题概率的计算 16
【题型6】用频率估计概率 18
【题型7】用频率估计概率的简单应用 21
【题型8】几何概率 24
【题型9】列表法求摸球的概率 28
【题型10】列表法求掷骰子或硬币事件的概率 32
【题型11】列表法求其他问题的概率 36
【题型12】用树状图求概率（两步实验） 39
【题型13】用树状图求概率（三步及以上实验） 42
【知识点1】概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 1.（2025春 东港市期中）下列说法中不正确的是（ ） A．水中捞月是不可能事件B．367人中有两人是同月同日生为必然事件C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上
【答案】D 【分析】分别根据必然事件的定义、随机事件的定义以及概率公式判断即可． 【解答】解：A．水中捞月是不可能事件，说法正确，故此选项不符合题意；
B．367人中有两人是同月同日生为必然事件，说法正确，故此选项不符合题意；
C．小丽掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2，这个事件为随机事件，说法正确，故此选项不符合题意；
D．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，不一定有5次正面朝上，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D． 2.（2025 西乡塘区一模）下列说法正确的是（ ） A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是必然事件B．“在平面上任意画一个三角形，其内角和为180°”这一事件是必然事件C．在单词book（书）中任意选择一个字母为o的概率为D．天气预报说明天的降水概率是90%，则明天一定会下雨
【答案】B 【分析】必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，选项说法错误，不符合题意；
B、“在平面上任意画一个三角形，其内角和为180°”这一事件是必然事件，选项说法正确，符合题意；
C、在单词book（书）中任意选择一个字母为o的概率为，选项说法错误，不符合题意；
D、天气预报说明天的降水概率是90%，则明天不一定会下雨，选项说法错误，不符合题意．
故选：B． 【知识点2】概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0． 1.（2025 广东模拟）“十二生肖纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以十二年为一循环的纪年法．小明购买了一套十二生肖邮票（共12张），从中任意抽一张邮票送给小玲，恰好抽到“蛇”的邮票的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵邮票共12张，“蛇”的邮票共1张，
∴从中任意抽一张邮票送给小玲，恰好抽到“蛇”的邮票的概率是，
故选：B． 2.（2025 邕宁区校级模拟）山西是全国古建筑遗存最多的省份，被誉为“中国古代建筑宝库”，小明一家准备周末前往山西游玩，他们想在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】根据题意，可以得到选到“小西天”的概率． 【解答】解：由题意可得，
从四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是，
故选：C． 【知识点3】几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 1.（2024 邱县二模）用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ） A．P甲＞P乙B．P甲＜P乙C．P甲=P乙D．无法确定P甲，P乙的大小
【答案】C 【分析】首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案． 【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为，
故选：C． 2.（2024春 南山区期末）如图是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可． 【解答】解：由图可知，
阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是．
故选：B． 【知识点4】列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 1.（2025 河南模拟）中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，下面四张卡片分别代表立春、谷雨、白露、大雪，卡片除正面图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，其中小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：用A，B，C，D分别表示立春、谷雨，白露、大雪，画树状图如图：
由树状图可知：小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为．
故选：A． 2.（2025 海淀区校级模拟）不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么这两次摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：红色小球用数字1、2表示，绿色小球用3表示，列表得： 1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）
有列表可知：这两次摸到一个红球和一个绿球的概率为，
故选：C． 【知识点5】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1.（2025 中原区校级三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为（ ） A．20B．40C．60D．100
【答案】C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意得：×100%=20%，
解得：m=60，
答：m的值大约为60．
故选：C．
【题型1】概率的意义
【典型例题】下列说法错误的是( )
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 必然事件发生的概率为1
C. 随机事件发生的概率介于0和1之间
D. 随机事件发生的概率为0.5
【答案】D
【解析】A项,不可能事件发生的概率为0,原说法正确;
B项,必然事件发生的概率为1,原说法正确;
C项,随机事件发生的概率介于0和1之间,原说法正确;
D项,随机事件发生的概率介于0和1之间,不一定为0.5,原说法错误.
故选D.
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C.天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
【答案】A
【解析】A．抛掷一枚图钉，钉尖触地比钉尖朝上的概率小，正确；
B．必然事件是一定会发生的事件，则对于选项B很明显不一定能发生，故此选项错误；
C．概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以降水概率为50%，那么明天也不一定会降水，故此选项错误；
D．必然事件是一定会发生的事件，则对于选项D很明显不一定能发生，故此选项错误；
故选：A．
【举一反三2】投掷一枚骰子，出现1点的概率是．下列说法中，错误的有（ ）
①每掷一次均出现1点；
②当投掷次数比较多时，出现1点的频率就很接近投掷次数的；
③连投6次，不可能都是1点；
④连投5次，不可能出现1点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】投掷一枚骰子，出现1点的概率是．
①每掷一次不一定均出现1点，故①错误；
②当投掷次数比较多时，出现1点的频率就很接近投掷次数的，故②正确；
③连投6次，可能都是1点，故③错误；
④连投5次，可能出现1点，故④错误．
故选：C．
【举一反三3】某个事件发生的概率是,这意味着( )
A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生
B. 在一次试验中没有发生,下次肯定发生
C. 在一次试验中已经发生,下次肯定不发生
D. 每次试验中事件发生的可能性是50%
【答案】D
【解析】∵某个事件发生的概率是,∴该事件在一次试验中可能发生,也可能不发生,每次试验中该事件发生的可能性是50%.故选D.
【举一反三4】下列说法错误的是( )
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 必然事件发生的概率为1
C. 随机事件发生的概率介于0和1之间
D. 随机事件发生的概率为0.5
【答案】D
【解析】A项,不可能事件发生的概率为0,原说法正确;
B项,必然事件发生的概率为1,原说法正确;
C项,随机事件发生的概率介于0和1之间,原说法正确;
D项,随机事件发生的概率介于0和1之间,不一定为0.5,原说法错误.
故选D.
【题型2】摸球的概率计算
【典型例题】一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球，
∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．
【举一反三1】在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为 ．
【举一反三2】在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ，那么n的值为______．
【答案】8
【解析】根据题意得 ，
解得n＝8，
经检验：n＝8是分式方程的解，
故答案为：8．
【举一反三3】一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．
(1)“摸到红球”是 事件，“摸到黑球”是 事件．(填“不可能”或“必然”或“随机”)
(2)如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
(3)盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．
【答案】解 (1)因为盒子里有红球、绿球和黄球，
所以“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，
故答案为：随机，不可能；
(2)设需要往盒内再放入x个黄球，根据题意得：
＝，
解得：x＝1，
经检验：x＝1为原方程的根据，
答：需要往盒内再放入1个黄球；
(3)将1个黄色球换成绿色球，可使得每种颜色球被取出的可能性一样大，
理由：将1个黄色球换成绿色球后，红球、绿球、黄球的个数相同，都是3个，从盒中随机地摸出1个球，三种颜色的球被摸出的概率都是，可能性相等．
【题型3】掷骰子的概率计算
【典型例题】抛掷一枚正六面体的骰子一次，朝上的点数不小于3的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛掷一枚正六面体的骰子一次共有6种等可能结果，其中朝上的点数不小于3的有3、4、5、6这4种可能结果，
∴朝上的点数不小于3的概率是 ，
故选：B．
【举一反三1】如果k是随机投掷一个骰子所得的数字(1，2，3，4，5，6)，则关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1＝0有两个不等实数根的概率P＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1＝0中，
b2﹣4ac＝16﹣4(k﹣1)＞0，且k≠1，
解得：k＜5，
则符合题意的数字为：2，3，4，
故方程有两个不等实数根的概率P ．
故选：A．
【举一反三2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是( )
A. 朝上一面的数字恰好是6
B. 朝上一面的数字是2的整数倍
C. 朝上一面的数字是3的整数倍
D. 朝上一面的数字不小于2
【答案】D
【解析】A．朝上一面的数字恰好是6的概率为 ；
B．朝上一面的数字是2的整数倍的概率为 ；
C．朝上一面的数字是3的整数倍的概率为 ；
D．朝上一面的数字不小于2的概率为 ；
故选：D．
【举一反三3】小明掷一枚质地均匀的硬币，掷前9次时共有6次正面朝上，那么，他掷第10次时，出现正面朝上的概率是 ．
【答案】
【解析】小明掷一枚硬币，掷前9次时共有5次正面朝上，那么他掷第10次时，出现正面朝上的概率是：．
故答案为：．
【举一反三4】如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后：
(1)数字几朝上的概率最小？
(2)奇数面朝上的概率是多少？
【答案】解 (1)∵骰子有20个面，1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．
∴P(6朝上)＝＝，P(5朝上)＝＝，P(1朝上)＝，
P(2朝上)＝＝，P(3朝上)＝，P(4朝上)＝＝，
∴数字1朝上的概率最小；
(2)∵奇数包括了1、3、5，
∴P(奇数朝上)＝＝．
【题型4】和数字有关的概率计算
【典型例题】在﹣4，﹣2，1，2，3五个数中，随机取一个数作为函数y＝kx中k的值，则该函数图象恰好经过二、四象限的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵函数y＝kx中，k＜0时，该函数图象恰好经过二、四象限，
∴k等于﹣4，﹣2时，符合题意，
故该函数图象恰好经过二、四象限的概率为： ．
【举一反三1】从五个数﹣1，0， ，π，﹣1.5中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x﹣1≥3的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不等式2x﹣1≥3的解集为：x≥2，
∴x满足不等式2x﹣1≥3的概率是 ．
【举一反三2】某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵共有10个数字，
∴一共有10种等可能的选择，
∵一次能打开密码的只有1种情况，
∴一次能打开该密码的概率为 ．
【举一反三3】从五个数﹣1，0， ，π，﹣1.5中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x﹣1≥3的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不等式2x﹣1≥3的解集为：x≥2，
∴x满足不等式2x﹣1≥3的概率是 ．
【举一反三4】某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵共有10个数字，
∴一共有10种等可能的选择，
∵一次能打开密码的只有1种情况，
∴一次能打开该密码的概率为 ．
【举一反三5】从 ，0，π， ，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
【答案】
【解析】，0，π， ，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的有 ，π，
抽到无理数的概率是 ．
【举一反三6】我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926．若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是 ．
【答案】
【解析】所抽到的数字是1的概率是＝，
故答案为：．
【举一反三7】有6张正面分别写有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的一次函数y＝2x+(m﹣1)图象经过第四象限，且使二次函数y＝x2+mx的图象与x轴最多有1个交点的概率是 ．
【答案】
【解析】∵关于x的一次函数y＝2x+(m﹣1)图象经过第四象限，
∴m﹣1＜0，
解得m＜1，
又∵二次函数y＝x2+mx 的图象与x轴最多有1个交点，
∴m2﹣4×1 0，
解得﹣1≤m≤1，
则﹣1≤m＜1，
在所列的6个数中，满足以上条件的只有﹣1、0这两个数，
∴使关于x的一次函数y＝2x+(m﹣1)图象经过第四象限，且使二次函数y＝x2+mx 的图象与x轴最多有1个交点的概率为 ．
【题型5】其它问题概率的计算
【典型例题】有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中数字是奇数的有1、3、5这3种结果.
∴正面的数字是奇数的概率为，
【举一反三1】下面的四个图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】四个图形中只有
，
所以从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
【举一反三2】在“生活处处有创新”这句话任选一个汉字，这个字是“处”的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在“生活处处有创新”这句话任选一个汉字，这个字是“处”的概率为： ．
【举一反三3】如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果，
∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为，
故选：B．
【题型6】用频率估计概率
【典型例题】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种频率结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 袋子中有1个红球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【解析】A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
D.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率，不符合题意.
【举一反三1】某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是( )
A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【解析】A.掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为：，不符合题意；
B.抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意；
C.不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是＝0.4，符合题意；
D.三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，不符合题意，
故选：C．
【举一反三2】某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：
则他的投篮命中率为( )
A. B. C. D. 不能确定
【答案】D
【解析】由于三轮投篮试验次数较少且命中率变化较大，故无法得出他的投篮命中率,故选：D．
【举一反三3】对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
当n越大时，优等品率趋近于概率 ．(精确到0.01)
【答案】0.82
【解析】当n越大时，优等品率趋近于概率0.82，
故答案为：0.82．
【举一反三4】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近 （结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 ；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
（3）在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】解 （1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；
假如小李摸一次，小李摸到白球的概率为0.5；
故答案为：0.5；0.5；
（2）40×0.5＝20（个），40﹣20＝20（个）；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是分式方程的解，
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【举一反三5】某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是活动进行中的一组统计数据．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）转动该转盘一次，获得洗衣粉的概率的估计值是多少？
【答案】解 （1）a0.74，b0.705；
故答案为：0.74，0.705；
（2）根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，可知获得洗衣粉的概率的估计值是0.7．
【题型7】用频率估计概率的简单应用
【典型例题】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )
A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80
【答案】B
【解析】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【举一反三1】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20 cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A. 6 cm2 B. 7 cm2 C. 8 cm2 D. 9 cm2
【答案】B
【解析】假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为20 cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上： ，
解得：x＝7，
∴不规则图案的面积大约为7 cm2，
故选：B．
【举一反三2】大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为3 cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为( )
A. 0.6 cm2 B. 1.8 cm2 C. 5.4 cm2 D. 3.6 cm2
【答案】C
【解析】∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4( cm2)，
故选：C．
【举一反三3】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A. 20 B. 300 C. 500 D. 800
【答案】C
【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次．
【举一反三4】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 (精确到0.01)．
【答案】0.93
【解析】根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【举一反三5】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x( cm)统计如表：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是 ．
【答案】0.15
【解析】样本中身高不低于180 cm的频率＝＝0.15，
所以估计他的身高不低于180 cm的概率是0.15．
【举一反三6】不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在0.3，则绿球的个数约是 ．
【答案】35个
【解析】设绿球的个数有x个，
根据题意，得： ＝0.3，
解得：x＝35，
经检验：x＝35是分式方程的解，
∴绿球的个数约有35个．
故答案为：35个．
【题型8】几何概率
【典型例题】一枚飞镖任意掷到如图所示的3×4长方形网格纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵阴影区域的面积为4×12×2＝4，长方形的面积为4×3＝12，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：A．
【举一反三1】在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，nm，则估计图中a的值为（ ）
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
【答案】B
【解析】∵A区域面积为π×22＝4π（cm2），B区域面积为π×（2+2）2﹣4π＝12π（cm2），
C区域面积为π×（2+2+a）2﹣π×（2+2）2＝（8πa+πa2）（cm2），
又∵落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，
∴，即n＝3m，
∴，
解得：a1＝1，a2＝﹣9（不合题意，舍去），
故选：B．
【举一反三2】如图将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】共有方块3×3＝9块，阴影方块有5块，
所以飞镖落在阴影部分的概率为，
故选：B．
【举一反三3】如图，在正六边形ABCDEF的地板上，中间有一个正三角形GMN的阴影区域，其中G，M，N分别为AF，BC，DE边的中点．若一个小球（看作一点）在此正六边形地板上自由滚动，并随机停留在某处，则该小球停留在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【解析】设正六边形的中心为O，则O也是正三角形GMN的中心，连接OA，OG，OF，OM，过点O作OH⊥GM于点H，如图，
则OG⊥AF，
设正六边形ABCDEF的边长为a，
则AF＝a，OGa，OHa，GHa，GM＝2GHa，
∴S正六边形ABCDEF＝6AF OG＝3a aa2，
S正三角形GMN＝3GM OH a aa2，
∴小球停留在阴影区域的概率，
故答案为：．
【举一反三4】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH＝S△OFG，
∴S阴影部分＝S△AOBS平行四边形ABCD，
∴飞镖恰好落在阴影区域的概率．
故答案为：．
【举一反三5】如图，假设可以随机在图中取点．
（1）这个点取在阴影部分的概率是 ．
（2）在保留原阴影部分情况下，请你重新设计图案（直接在图上涂阴影），使得这个点取在阴影部分的概率为．
【答案】解 （1）设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
（2）如图所示（答案不唯一）：
【题型9】列表法求摸球的概率
【典型例题】一个不透明的布袋里装有1个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中都是黄球的有6种结果，
所以都是黄球的概率为 ．
【举一反三1】在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下：
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则两次摸取的小球标号之和为5的概率为 ．
【举一反三2】盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4，随机摸出一个小球，其数字为p（放回），再随机摸出一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的情况数，即可求出所求的概率．
列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根，即满足p2﹣4q≥0的情况有6种，
则P．
故选：C．
【举一反三3】在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n．如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
所有等可能的情况有12种，两个小球上的数字和为偶数的为(3，1)，(4，2)，(1，3)，(2，4)共4种，
则P(m与n的和为偶数) ．
【举一反三4】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【答案】
【解析】列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为 ，
故答案为： ．
【举一反三5】在一不透明口袋中装有大小形状完全相同的2个黑球和2个白球，先从口袋中模出一个球，不放回，再从口袋中摸出另一个球，则摸出的两个球颜色不相同的概率为 ．
【答案】
【解析】设红球分别为H1、H2，黑球分别为B1、B2，列表得：
由表可知总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到球颜色不相同结果有8种，
所以摸出的两个球颜色不相同的概率为 ，
故答案为： ．
【举一反三6】不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回后摇匀再随机摸出一个小球，则摸出两个绿球的概率为 ．
【答案】
【解析】红色小球用数字1表示，两个绿色小球分别用2和3表示，列表得：
由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是绿色的结果有4个，
∴摸出两个绿球的概率为．
【举一反三7】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【答案】
【解析】列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为 ，
故答案为： ．
【题型10】列表法求掷骰子或硬币事件的概率
【典型例题】一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下：
共有36种等可能的结果，其中掷两次所得点数之和为11的结果有：（5，6），（6，5），共2种，
∴掷两次所得点数之和为11的概率为．
故选：A．
【举一反三1】将一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次点数之和等于9的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】列表得：
∵共有36种情况，其中两次点数之和等于9的有4种情况，
∴两次点数之和等于9的概率 ，
故选：C．
【举一反三2】同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一画出现的点数相同的概率为 ．
【答案】
【解析】列表得：
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为，
故答案为：．
【举一反三3】质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．
【答案】
【解析】用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有36种情况，其中两次数字之和为4的倍数的有9种，
∴P ．
【举一反三4】图1是一枚质地均匀的骰子，每个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6，图2是一个正五边形棋盘，现通过掷股子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面朝上的点数是几，就从图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续…
(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是 ．
(2)随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
【答案】解 (1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率 ，
故答案为： ；
(2)
∵共有36种等可能的结果，棋子最终跳动到点C处的组合为(1，1)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，(6，6)共7中，
∴棋子最终跳动到点C处的概率 ．
【题型11】列表法求其他问题的概率
【典型例题】不透明的袋子中装有两个小球,上面分别写着“6”“-6”,除数字外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,记录其上数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其上数字,那么两次记录的数字之和为0的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下:
由表格可知,共有4种等可能的结果,其中两次记录的数字之和为0的结果有2种,∴两次记录的数字之和为0的概率是 .故选A.
【举一反三1】书架上有3套不同版本的教材，每套分为上、下两册，现在从6册中随机地取出两册，恰好能组成一套教材的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】可设这3套不同版本的教材分别为A，B，C，A1表示A套书的上册，A2表示A套书的下册，列表得：
∴一共有30种情况，恰好能组成一套教材的有6种情况，
∴恰好能组成一套教材的概率是．
故选：D．
【举一反三2】甲、乙两位同学的课后服务选修课分为三类：A．音乐，B．美术，C．演讲，若甲、乙两名同学从这3个学科中随机选择一个学科学习，甲、乙两人选中同一个学科的概率是 ．
【答案】
【解析】列表如下：
共有9种等可能的结果，甲、乙两人选中同一个学科的结果有3种，
∴P=；
故答案为：．
【举一反三3】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷,现有“微信”“支付宝”“银行卡”和“现金”四种支付方式.
(1)若随机选一种方式进行支付,则恰巧是“现金”的概率是 ;
(2)在一次购物中,小嘉和小琪都想从“微信”“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
【答案】解 (1).
(2)设微信用W表示,支付宝用Z表示,银行卡用Y表示,列表如下:
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种,故P(两人恰好选择同一种支付方式)= .
【举一反三4】面对新冠疫情，金华教育人同心战“疫”．某校在疫情期间的教学方式主要包括直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式．为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查(每人只选其中的一种)，并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．
(1)本次调查的人数是 人；
(2)请补全条形统计图；
(3)明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表表示所有可能的情况，并求明明和强强选择同一种教学方式的概率．
【答案】解 (1)20÷25＝80(人)，
即本次调查的人数是80人；
故答案为：80；
(2)对自主学习感兴趣的人数为：80﹣35﹣20﹣15＝10(人)，
补全条形图如下：
(3)分别用A、B、C、D表示：直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式，
所有情况，列表列举如下：
由上表可知，总的可能情况有：16种，强强和明明选择同一种的情况有4种，
则明明和强强选择同一种教学方式的概率为：4÷16＝0.25，
即所求概率为0.25．
【题型12】用树状图求概率（两步实验）
【典型例题】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
【举一反三1】从﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的有：（1，2），（2，1），
∴一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率为：．
故选：D．
【举一反三2】在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 ．
【答案】
【解析】画出树状图为：
共有12种等可能情况，其中两个球都是红球的有2种情况，
所以P（两个球都是红球）．
故答案为：．
【举一反三3】为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
(1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为 ；
(2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．
【答案】解 (1)从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为＝，
故答案为：；
(2)画树状图如下：
由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次，
则选取的2名学生恰为1男1女的概率为＝．
【题型13】用树状图求概率（三步及以上实验）
【典型例题】若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到A的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如下：
∴共有3种等可能的结果，其中最后一只摘到A的情况有1种，
∴最后一只摘到A的概率是．
故选：B．
【举一反三1】甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树形图得：
由树形图可知所有可能情况共6种，其中甲报英语、乙报数学、丙报物理的情况有1种，其概率为．
【举一反三2】一个竖直放置的钉板如图所示,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内,则圆球落入③号槽内的概率为 .
【答案】
【解析】根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中圆球落入③号槽内的结果有3种,∴P(圆球落入③号槽内)= .
【举一反三3】如图是2个可以随机转动的转盘，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在两个扇形的交线上时，视为指针向右边的扇形)．
(1)用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
(2)求两个数字的积为偶数的概率．
【答案】解 (1)画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
(2)共有12种等可能的结果，其中两个数字的积为偶数有8种情况，
∴两个数字的积为偶数的概率是：＝．
【举一反三4】在一年一度的广雅少年歌唱比赛中，需要抽签决定A，B，C，D四名选手的出场顺序，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，在卡片正面分别写上数字“1”，“2”，“3”，“4”，抽到数字“1”则第一个出场，以此类推，主持人将卡片打乱顺序后，给这四名选手各随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图法列举出所有可能出现的结果；
(2)求事件“选手A和C出场顺序不相邻”的概率．
【答案】解 (1)画出树状图如下：
由图可知：共有24种等可能发生的结果；
(2)解 由图可知：事件“选手A和C出场顺序不相邻”共有12种，
∴P=．
