2025-2026学年云南省红河哈尼族彝族自治州个旧市中央民族大学附属中学红河州实验学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年云南省红河哈尼族彝族自治州个旧市中央民族大学附
属中学红河州实验学校高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 2 ≤ 0}，集合 = { | < 1}，则 ∪ =( )
A. ( ∞, 1) B. (0,2) C. ( ∞, 2] D. (0,2]
2.若复数 满足(1 + ) = |2 + |，则复数 的虚部是( )
√ 5 √ 5 √ 5 √ 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
16
3.已知 > 4，则 + 的最小值是( )
4
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
2 2
4.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长是短轴长的2倍，则 的离心率为( )
1 √ 3 √ 3 2√ 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
5.若非零向量 , 满足| | = | | = | + |，则 + 2 在 方向上的投影向量为( )
3 1
A. 2 B. C. D.
2 2
6.已知点 在直线 = + 3上， (1,0), (3,0)，则| | + | |的最小值为( )
A. √ 10 B. 5 C. √ 42 D. 2√ 13
7.在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点
叫作“完美顶点”.若在四面体 中存在“完美顶点” ， = 2， = 3， = 6， 为 的中点，
则 与 所成角的余弦值为( )
√ 3 √ 5 3√ 5 2√ 2
A. B. C. D.
6 6 10 5
1
8.已知函数 ( ) = sin (2 + ) + ， > 0，若函数 ( )在( , )上单调递减，则实数 的取值范围是
6 2 2
( )
1 3 1 2 1 2
A. [ , ] B. [ , ] C. (0, ] D. (0, ]
3 2 3 3 3 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
第 1 页，共 9 页
1
A. “ > 1”是“ < 1”的必要不充分条件

B. 命题“ ∈ , 2 + + 2 < 0的否定是： 0 ∈ ,
2
0 + 0 + 2 ≥ 0”

C. 若 , ∈ ，则 + ≥ 2√ = 2

D. 若 > ，则 2 ≥ 2
10.已知圆 ： 2 + 2 = 4与圆 ：( 3)2 + ( 2)2 = 9交于 ， 两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段 的垂直平分线所在的直线方程为2 3 = 0
B. 直线 的方程为3 + 2 4 = 0
6√ 13
C. | | =
13
24+12√ 13
D. 若点 是圆 上的一点，则△ 面积的最大值为
13
11.已知定义在(0,+∞)上的函数 ( )满足： , ∈ (0,+∞), ( ) + ( ) = ( )，且当0 < < 1时，
( ) < 0，若 (2) = 1，则( )
A. (1) = 0
B. ( )在(0,+∞)上单调递减
3
C. 不等式 ( + 1) ( ) < 1的解集是(0,2)

D. (2) + (22) + + (210) = 45
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
7 1
12.已知cos( ) = ，sin sin = ，则sin2 sin2 = ．
12 3
13.如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = = √ 2， = 3，则该棱锥的外接球
的表面积为 ．
2 2
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 2的直线与 交于 ， 两点．若
| 2| = 3| 2 |，| | = 2| 1|，且△ 1的面积为4√ 15，则椭圆 的方程为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 9 页
15.(本小题13分)
在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且2 + = 2 cos ．
(1)求 的大小；
(2) 为边 的中点，且 = 4, = 2，求 的长．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， // ， ⊥平面 ， = = = ， 为
的中点， //平面 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
2
已知椭圆 : + 2 = 1， 的左、右焦点分别为 1、 2，过点 2的直线 与椭圆交于 ， 两点， 是 的中2
点．
(1)若 1 ⊥ 1 ，求直线 的斜率；
(2)求 1 2面积的最大值．
18.(本小题17分)
1
甲 乙 丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为 ，甲 乙两人各射击一次且都
2
1 1
击中目标的概率为 ，乙 丙两人各射击一次且都击中目标的概率为 ，已知任意两次射击互不影响．
6 9
(1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；
(2)求甲 乙 丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率；
9999
(3)若想击中目标的概率不低于 ，甲至少需要射击多少次？(参考数据lg2 = 0.3010)
10000
19.(本小题17分)
平面直角坐标系 中，已知点 (2,4)，圆 : 2 + 2 = 4与 轴的正半轴的交于点 ．
第 3 页，共 9 页
(1)若过点 的直线 1与圆 相切，求直线 1的方程；
(2)若过点 的直线 2与圆 交于不同的两点 ， ．
①设线段 的中点为 ，求点 纵坐标的最小值；
②设直线 ， 的斜率分别是 1， 2，问： 1 + 2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理
由．
第 4 页，共 9 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1
12.
3
13.13
2 2
14. + = 1
25 15
15.(1)由正弦定理边化角可得：2sin + sin = 2sin cos ，
再利用三角形内角和可知：sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以有2(sin cos + cos sin ) + sin = 2sin cos ，
整理得：2cos sin + sin = 0，在三角形中sin > 0，
1
所以有2cos + 1 = 0 cos = ，
2
2
又因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
(2)
1由中线向量可得： = ( + )，
2
2 2 2 2
则|
1
| = ( +
1 1 1
) = ( + 2 + ) = (4 2 × 2 × 4 × + 16) = 3，
4 4 4 2
所以 = √ 3．
第 5 页，共 9 页
16.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图，
∵ 为 中点，
1
∴ // , = ，
2
∵ // ，∴ // ，
∴ ， 确定平面 ，
又 //平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ = ，∴ ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(2) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
由(1) 是平行四边形，则 = 2 = 2 ，
以 为原点， ， 所在直线为 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，
设 = 2 ，则 = = = 2 ， = 4 ，
∴ ( , 0, √ 3 )， (2 , 4 , 0)， (0,2 , 0)，
第 6 页，共 9 页
= ( 2 , 2 , 0)， = ( , 2 , √ 3 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，平面 与平面 所成的角为 ，
2 2 = 0,
则{ 令 = 1，则 = (1, 1, √ 3)，
2 + √ 3 = 0,
又平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
| | 1 √ 5
∴ cos = = = ，
| || | √ 5 5
5 2√ 5
∴ sin = √ 1 2 = √ 1 = ，
25 5
2√ 5
∴平面 与平面 所成的角的正弦值是 ．
5
17.(1)由题意可得直线 的斜率不为0，设 的方程为 = + 1．
2
+ 2由{ = 12 ，消 得( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0， = (2 )2 4 × ( 2 + 2) × ( 1) = 8 2 + 8 > 0，
= + 1
2 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， = +2 1 2 2
，
+2
4
则 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 1 = ( 1 + 2) + 2 = 2 ， +2
2 2+2
1 2 = ( 1 + 1)( 2 + 1) =
2 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = 2 ， +2
1 = ( + 1, )， 1 1 1 = ( 2 + 1, 2)，
因为 ⊥ ，所以 1 1 1 1 = 0，
即( 1 + 1)( 2 + 1) + 1 2 = 0，所以 1 2 + 1 + 2 + 1 + 1 2 = 0，
2 2+2 4 1 2+7
即 2 + 2 + 1 + 2 = 0，整理得到 2 = 0，解得 = ±√ 7． +2 +2 +2 +2
√ 7
所以直线 的斜率为± ．
7
2 +
(2)由(1)得 1 + 2 = 2 ，所以 的中点 的纵坐标为
1 2 = ，
+2 2 2+2
1 | | 1 1 √ 2
所以 1 2的面积 = | 1 2| | | =2 2+2 2
=
+2 2
≤ = ，
| |+ 2√ 2 4
| |
√ 2
当且仅当 = ±√ 2时， 1 2的面积最大值为 ． 4
第 7 页，共 9 页
18.(1)令甲射击一次击中目标为事件 ，乙射击一次击中目标为事件 ，丙射击一次击中目标为事件 ，
1 1 1
所以 ( ) = , ( ) = ( ) ( ) = ，所以 ( ) = ，
2 6 3
1 1
( ) = ( ) ( ) = ，所以 ( ) = ，
9 3
1 1
所以乙射击一次击中目标的概率为 ，丙射击一次击中目标的概率为 ；
3 3
(2)令甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件 ，
所以 ( ) = ( + + ) = ( ) + ( ) + ( )
1 2 2 1 1 2 1 2 1 4
= ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = × × + × × + × × = ，
2 3 3 2 3 3 2 3 3 9
4
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率 ；
9
1
(3)设甲射击次数 ( ∈ )，则至少有一次击中目标的概率为1 [ ( )] = 1 ( ) ，
2
1 9999 1 1
令1 ( ) ≥ ( ) ≤ ，
2 10000 2 10000
1 lg10000 4 4
所以 ≥ 1 = 210000 = = ≈ = 13.3， 10000 lg2 lg2 0.3010
2
又为 正整数，所以 min = 14，即甲至少要射击14次.
19.(1)圆 : 2 + 2 = 4的圆心为(0,0)，半径为2，
若过点 (2,4)直线 1垂直于 轴，则方程为 = 2，与圆相切，符合题意；
若过点 (2,4)直线 1不垂直于 轴，设直线 1的斜率与 ，
则直线 1方程为 4 = ( 2)，即 2 + 4 = 0，
因为直线 1与圆 :
2 + 2 = 4相切，
| 2 +4| 3
所以圆心到直线 1的距离 = = 2，解得 = ，
√ 2
4
+1
所以切线方程为3 4 + 10 = 0；
综上得：切线 1的方程为 = 2和3 4 + 10 = 0；
(2)①设点 ( , )，因为 为弦 中点，所以 ⊥ ，
第 8 页，共 9 页
又因为 = ( , )， = ( 2, 4)，
所以由 ⊥ 得 ( 2) + ( 4) = 0化简得 2 + 2 2 4 = 0．
6
2 + 2 = 4 = 2 =
联立{ 2 得{ 或{
5；
+ 2 2 4 = 0 = 0 8 =
5
又因为点 在圆 : 2 + 2 = 4内部，
6 8
所以点 的轨迹是圆 2 + 2 2 4 = 0中以点( , )和(2,0)为端点的一段劣弧(不包括端点)，
5 5
由 2 + 2 2 4 = 0即( 1)2 + ( 2)2 = 5，令 = 1得 = 2 ± √ 5，
根据点(1,2 √ 5)在 : 2 + 2 = 4内部，所以点 纵坐标的最小值是2 √ 5；
②由题意点 (2,0)，
4 = ( 2)
联立{ 得(1 + 2 22 2 ) 4 ( 2) + (2 4)
2 4 = 0，
+ = 4
4 ( 2)
1 + 2 = 2
1+
设 ( 1, 1), ( 2, )，则
2
2 (2 4) 4 ,
1 2 = 2
1+
{ > 0
1 2 ( 1 2)+4 ( 2 2)+4所以 1 + 2 = + = + 1 2 2 2 1 2 2 2
4 4 4( 1 + 2 4)
= 2 + + = 2 +
1 2 2 2 1 2 2( 1 + 2)+4
4 ( 2)
4 [ 2 4]
= 2 + 1+
4(8 +4)
2 = 2 = 1．
(2 4) 4 4 ( 2) 16
2 2 2 +4
1+ 1+
所以 1 + 2是定值，定值为 1．
第 9 页，共 9 页