苏科版七年级下册第9章9.5 多项式的因式分解——提公因式法教学设计及反思

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§9.5《多项式的因式分解——提公因式法》（市级公开课教案）
【教学目标】
1.知道因式分解的意义和提公因式法的概念.
2.能用提取公因式法对一个多项式进行分解因式（指数是正整数.
3.经历通过单项式乘多项式探索提取公因式法因式分解的过程,体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系,发展逆向思维的能力，渗透类比和整体思想.21教育名师原创作品
【教学重点】因式分解的概念，用提公因式法分解因式.
【教学难点】认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.21
cnjy
com
【教学准备】投影仪、PPT课件、随堂练习纸.
【教学过程设计】:
一、创设情境：
同学们，前面我们已经学习了整式的乘法运算，本节课开始我们将通过对整式乘法的再认识，共同学习新的数学知识。【来源：21·世纪·教育·网】
观察分析：
根据单项式乘多项式的乘法法则:
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad
①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad
=a（b＋c＋d）
②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.
思考:（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（说明:
①式是单项式乘多项式,其依据是乘法分配律,运算结果是一个多项式,和的形式;
②式是①式的相反过程,与①式是互逆变形关系,
②式的变形依据是乘法分配律的逆用,变形的结果是积的形式,我们把一个多项式的这种变形叫多项式的因式分解.板书课题§9.5多项式的因式分解）
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3
吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
（设计意图：通过创设问题情境,激发学生学习兴趣，从数式类比的角度,让学生感受分解因式在解决相关问题中的作用和因式分解的必要性,让学生去理解所学数学知识之间的内在联系,并为探索学习提公因式法把多项式分解因式作好铺垫，从而自然引出课题导入新课学习。）21世纪教育网版权所有
二、引导探究：
（一）认识公因式:
1、概念1.多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式.
2、请同学们指出下列多项式的公因式，并填写下表．
多项式
公因式
4x＋4y

4
8x+12y
4
8ax+12ay
4a
8a3bx+12a2b2y
4a2b
提问：根据上面的填表的过程，你能归纳出找一个多项式各项公因式的方法吗？
根据学生的回答总结归纳出找一个多项式各项公因式的方法：
一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系
数的最大公约数.
二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.
三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.
3、小结:（教师讲解并板书）一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;
字母应取各相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.即把一个多项式的各项系数的最大公约数与各项相同字母（或因式）的最低次幂的乘积作为一个多项式的各项的公因式.21教育网
（设计意图：鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，通过教师引导学生观察、分析、归纳,师生间的相互交流,最终得到一个多项式各项的公因式的确定方法.）21cnjy.com
（二）归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念:
（1）请同学们尝试用找公因式的方法填写下表.
多项式
公因式
a2b＋ab2
ab
3x2－6x3

3x2
9abc－6a2b2＋12abc2

3ab
（2）填空并说说你的方法.
①a2b＋ab2＝ab（
）
②3x2－6x3＝3x2（
）
③9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab（
）
说明：通过填空让学生熟练掌握找一个多项式公因式的方法，并由此自然得出因式分
解的定义．
（3）提出因式分解的概念.
概念2.像这样，把一个多项式写出几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解.
（4）连一连：把下面左右两列具有相等关系的式子用线连起来.
4a2b(a-2b)
x2-2xy+y2
(x-y)2
m2-n2
(m+n)(m-n)
4a3b-8a2b2
提问：观察上面从左到右和从右到左的过程，你能说出因式分解和整式乘法的区别与联系吗？
通过学生的回答总结出因式分解和整式乘法的区别与联系.
整式的乘法
4a2b(a-2b)
=
4a3b-8a2b2
因式分解
区别：整式乘法：由几个整式的乘积的形式转化成一个多项式的形式.
因式分解：由一个多项式的形式转化成几个整式的乘积的形式.
联系：多项式的因式分解和多项式的乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程.
说明：通过对整式乘法和因式分解的对比，搞清两者之间的关系.
（5）概念辨析:
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是？
①
ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d
②
a2－1＝（a＋1）（a－1）
③（a＋1）（a－1）＝a2－1
④8a2b3c＝2a2·2b3·2c
⑤
解答：②⑤是因式分解
（6）学生观察第⑤小题从左到右的变形，归纳提公因式法的概念:
概念3.如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.www-2-1-cnjy-com
说明：通过练习加以判别，加深对因式分解的理解．
（设计意图：通过填表填空、连线讨论、概念辨析、观察归纳等数学活动,引导学生熟练寻找一个多项式各项的公因式,掌握一个多项式各项的公因式的确定方法及提取公因式后另一个因式如何确定,从而归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念，为例题教学做铺垫.）2-1-c-n-j-y
（三）例题
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )解析:
例1、把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）－2m3＋8m2－12m
分析：对于第（1）小题，请同学们想一想多项式5x3－10x2各项的公因式是什么？你能把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式吗？你是如何得到另一个因式的？那你现在能对这个式子进行因式分解了吗？　　21
cnjy
com
（板书）解：（1）5x3－10x2
总结用提公因式法发因式分解的一般步骤.
提问：根据例1第（1）小题的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗？
根据学生回答总结出用提公因式法分解因式的一般步骤:
第一步：找出多项式中各项的公因式；
第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；
第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式.
说明：通过例1第（1）小题的教学，使学生知道提公因式法分解因式的概念并帮学生总结出用提公因式法分解因式的一般步骤，帮助学生巩固新知，同时教师的板书也能给学生以示范作用．www.21-cn-jy.com
解：（2）
说明：通过此例题教学,使学生掌握提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果中的“1”不能漏写.【出处：21教育名师】
解：（3）－2m3＋8m2－12m
说明:学生自主完成后校对答案，在解题过程中，学生可能会出现和．两种不同的答案，教师对这两种答案进行对比后，得出是正确的答案，并总结注意点.
注意点：当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变符号.
学生讨论:下列多项式可以用提取公因式法分解因式吗？如果可以,你能讲出多项式各项的公因式吗？（学生口答,快速反应）
①；
②；
③
提问：请同学们想一想，公因式一定是单项式吗？
总结：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式.
例2、把下列各式分解因式：
（1）.
（2）
（3）
说明：
分析：第(1)小题中,这个多项式就整体而言可以分为两大项3a(x+y)和-2b(x+y)，
每一项中都含（x+y）,
所以可以把（x+y）看成公因式提出来,另外两小题学生独立尝试解
答,
教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.)
解：
（设计意图：通过例题教学，归纳提公因式法因式分解的一般步骤和注意点，要求学生在学生练习中仿照课本的规范书写格式写出过程，让学生体会公因式也可以是多项式,只要把它看成一个“字母或一个单项式”,就能运用提取公因式法进行分解因式,让学生进一步加深对多项式因式分解与整式乘法关系的理解与认识．采取教师引导，学生讨论交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结,
有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.
渗透了“整体法”思想.）
（四）巩固练习
1.练一练：把下列各式分解因式.（学生板演）
①
②
③
④
（说明：学生独立完成,教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.）
2、练习后学生思考：
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
3、解题经验小结:（教师讲解）用提公因式法分解因式后,括号里的多项式没有公因式,
括号里多项式的项数与原多项式的项数一样,
提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是互逆的,两者的运算过程和结果形式是相反的,根据因式分解和整式乘法是互逆过程，可把因式分解的结果进行乘法运算，看所得的结果是否与原多项式相同,对分解因式的结果加以检验。
(设计意图：通过练习即时巩固了新知，由学生独立完成，检测全体学生对知识点的掌握情况，让学生板演
或借助实物投影展示多位学生有问题的解答，集体纠错，总结解题经验,提高实效．)
三、随堂练习：
附：§9.5《多项式的因式分解——提公因式法》随堂练习
一、选择题
1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是
（
）
A．a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
2.把-6x3y2-3x2y2-8x2y3因式分解时，因提取公因式
（
）
A.-3x2y2
B.-2x2y2
C.x2y2
D.-x2y2
3.下列因式分解错误的是
（
）
A.3x2y-9xy2=3xy(x-3y)
B.-6m3+9mb2-15mc2=-3m(2m2-3b2+5c2)
C.2a2y+12a2y2-8ay=2ay(a+6ay)
D.14pqx-8pq2x+6px=2px(7q-4q2+3)
4.已知多项式4x3y-m可分解因式为4xy(x2-y2+ab),则m的值为
（
）
A.-4xy3+4abxy
B.
-4xy3-4abxy
C.
4xy3+4abxy
D.
4xy3-4abxy
二、填空题
5.24ab2-32a2b的公因式是
.
6.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式后，余下的部分是
.
7.已知a+b=2,ab=1，则3a2b+3ab2的值为
.
8.利用因式分解计算：2100-2101=
.
9.把a(m-n)-m+n分解因式等于
.
三、解答题
10.把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c
（2）
（3）
（4）（a-b）2－2(b-a）
11.思考探究题:阅读下面分解因式的过程,并回答问题:
（1）上述分解因式的方法是_____________,共运用了__________次.
（2）若将分解因式,则需运用上述方法__________次,分解因式的结果是_____________.21·cn·jy·com
（3）直接写出将（n为正整数）分解因式的结果:_________________.
（设计意图：通过随堂练习，巩固所学知识、技能和方法,让学生会熟练地用提公因式法对多项式进行分解因式；并通过学生的独立实践，进一步掌握公因式的确定方法、用提公因式法对多项式进行分解因式的一般步骤以及理解多项式因式分解的概念与意义，并能运用本课所学知识、技能和方法解决相关问题,从而提高运算能力和应用能力。）
四、课堂小结:
提问：通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．
1.公因式的和因式分解的概念
2.找一个多项式各项公因式的方法：
一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.
三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.
3.因式分解与整式乘法的联系和区别
区别：整式乘法：有几个整式积的形式转化成一个多项式的形式．
因式分解：有一个多项式的形式转化成几个整式的积的形式．
联系：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程．
4.
提公因式法分解因式的一般步骤:
第一步：找出多项式中各项的公因式；
第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；
第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式.
5.用提公因式法分解因式时，我们应该注意什么呢？
①如果提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果
中的“1”不能漏写.
②当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外使
得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变符号.
③公因式不仅可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
（设计意图：通过课堂小结，使学生将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．）
五、作业布置:
1、（必做题）课本P87
习题9.5
第1、2小题.
2、（选做题）思考：如果n是自然数，那么n2＋n是奇数还是偶数？
（设计意图：全体同学课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题;设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件．）2·1·c·n·j·y
板书设计
课题:§9.5多项式的因式分解——提公因式法
投影区
例1
学生板演区
数学思想方法
情境展示
公因式的概念及确定方法
例2
类比
多项式的因式分解概念
提公因式法的概念
例题、辨析题、练习题
（教师板演规范解答）
学生练习解答过程展示
解题经验总结和课堂小结
整体
作业
溧阳市级公开课教后反思
（9.5多项式的因式分解——提公因式法）
《§9.5多项式的因式分解——提公因式法》是苏科版教材七年级下册第九章《整式乘法与因式分解》的第五节单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）的内容。在本节课教学过程中，紧紧围绕教学目标，突出教学的重点，逐步化解难点，
我首先通过创设问题情境,激发学生学习兴趣，从数式类比的角度,让学生感受分解因式在解决相关问题中的作用和因式分解的必要性,让学生去理解所学数学知识之间的内在联系,并为探索学习提公因式法把多项式分解因式作好铺垫，从而自然引出课题导入新课学习。在探究新知活动中，鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，再通过引导学生观察、分析、归纳,师生间的相互交流,得到一个多项式各项的公因式的确定方法，进而又通过填表填空、连线讨论、概念辨析、观察归纳等数学活动,引导学生熟练寻找一个多项式各项的公因式,掌握一个多项式各项的公因式的确定方法及提取公因式后另一个因式如何确定，从而归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念，这一数学活动过程旨在让学生经历单项式乘多项式探索提取公因式法因式分解的过程,体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系,发展逆向思维的能力，为例题教学做铺垫。在例题教学中，我采取引导学生观察比较——实践操作——讨论交流——归纳总结的教学模式，归纳提公因式法因式分解的一般步骤和注意点，并要求学生在学生练习中模仿照规范格式书写解答过程，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点，渗透了“类比”、“整体”思想。接下来，通过巩固练习和随堂练习及时巩固新知，由学生独立完成，检测全体学生对知识点的掌握情况，让学生板演或借助实物投影展示学生有问题的解答，集体纠错，总结解题经验,提高实效。最后，通过交流讨论、师生互动完成本课总结，使学生将所学知识条理化、系统化，让学生在交流中共享，并设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件。21·世纪
教育网
本节课我主要采用了“创设情境、引入新课→引导探究、合作交流→归纳小结、知识迁移→例题讲解、巩固练习→体验感受、提高认识→系统总结、分层作业”这样的教学流程，整个过程比较顺畅自然、思路清晰；在教学过程中让学生自主尝试，合作交流并归纳总结出结论，贯穿了观察、比较、探究、归纳等过程，让学生经历了知识的探索过程，“过程与方法”的目标落实比较好。另外，本节课在“以学生发展为核心”的理念下，最大限度地实现学生的主体地位，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在师生之间、生生之间的互动中，使数学教学成为一种探索教学，让学生在数学活动中获得数学的知识、技能和方法。整节课学生始终是学习的主体，教师仅仅是组织者、促进者、合作者，力求为学生的发展创设一个和谐与开放的思考、讨论、探究的氛围，激发学生的学习兴趣，使学生在平等、尊重、信任、理解和宽容中受到激励和鼓舞，从而实现传授知识和培养能力的融合。【来源：21cnj
y.co
m】
纵观整节课，课堂气氛还是较为活跃的，学生自主探索、合作交流情绪也较高，但是在课堂教学过程中还存在着以下几点不足：1、整节课教学时间的把握不够理想，显得前松后紧，学生缺乏课堂练习的时间，今后教学过程中应加强语言的精练程度和启发性。2、例题缺乏变式，例题之间的关联性不够，这样一来，作为知识技能、思想方法载体的例题功能就大大削弱，不利于学生方法的掌握和能力的提高，在以后的备课过程中要重视例题的变式拓展和例题之间的关系挖掘，加强例题的层次性、典型性和针对性，做到精讲精练，提高实效性，充分发挥它的辐射功能和示范作用，让学生在掌握知识技能的同时，充分感悟和体会数学知识之间的内在联系及重要的数学思想，从而提高学生独立解决问题的能力。3、关注学生个体差异不足，对于学习困难的学生，没有给予及时的关注与帮助，应鼓励他们主动参与数学学习活动，把问题解决在课堂上。4、过多的依赖多媒体教学手段，导致教学过程中一些重要的概念、方法呈现时间过短，不利于学生的听课、师生之间的互动，降低了学习效率，如何将现代教育技术与数学教学进行有效整合，是值得我认真思考的一个重要课题。【版权所有：21教育】
通过本节课的教学和反思，使我意识到在以后的数学教学中，必须在备课这一环节上狠下功夫，要备好教学目标、备好教材、备好学生、备好教法，并通过平常的课堂教学实践，不断总结反思，在反思中不断提高，才能使我今后的课堂变得更加有效。
21世纪教育网
--
中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@21世纪教育网