课件17张PPT。2.7弧长及扇形的面积探究一刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角
所对的弧长， 若圆心角分别为90°、45°、60°、
如何计算它所对的弧长呢？1°、n°，圆心角占整个周角的所对弧长是归纳结论注意：在应用弧长公式l 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。如果圆的半径为R，圆心角度数为n，
弧长为l，那么弧长的计算公式为：
练习1图2（1） 已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，
它所对的弧长为 ＿＿＿＿.
（2） 已知一条弧的半径为9，弧长为3π，那么
这条弧所对的圆心角为______.
（3） 如图2，已知 长为12πcm，∠AOB=120°，
则⊙O的半径＿＿＿＿.
8π60°18如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.弧扇形的定义辨析2.怎样计算圆心角是n0的扇形面积？
请同学们小组交流.
探究二1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°，
怎样计算扇形的面积呢？
如果用字母S表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R表示圆半径，那么扇形面积的计算公式为：归纳结论注意:在应用扇形的面积公式S扇形= πR2 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．比较弧长公式与扇形面积公式的区别扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 如果扇形所在的圆的半径为R，圆心角为no ，那么扇形面积的计算公式为：扇形的面积与扇形的弧长关系为：探究三想一想：扇形的这个面积公式与什么公式类似？ 归纳结论练习23π2（1）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，
则扇形的面积为 cm2 .
（2）已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个
扇形的半径R= .
（3）已知扇形的半径为2，弧长为π，则扇形的
面积为 .
（4）一个弧长与面积都是 的扇形，它的半径为 .
（5）已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，
扇形的面积为 .
π300π例1 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.例题解析变式：若原题的条件不变，现再画
△ABC的内切圆⊙O与⊙A、⊙B、⊙C相交，求其公共部分的面积（图中阴影部分）.
拓展：如图，把直角三角形ABC的斜边AB
放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，
使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝ ，
则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有
多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的
面积有多大？ .2.7弧长及扇形的面积
教学目标：
1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程.
2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题.
3．经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程，体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想.
教学重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用.
教学难点：弧长与扇形的计算公式的应用.
教学过程：
一、创设情境
如图1是操场部分跑道圆弧形状的示意图，其中半径为20米，圆心角为180°.
你能求出这段跑道的长度吗?
【设计意图： 从生活实际中引出计算弧长的必要性.】
二、引导探索
探索一：探索弧长公式
1．问题：刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角所对的弧长，若圆心角分别为90°、
45°、60°、1°、n°，如何计算它所对的弧长呢？
2. 归纳：如果圆的半径为R，圆心角度数为n，弧长为l，那么弧长的计算公式为： .
【设计意图： 从由特殊的圆心角计算弧长入手，引导学生理解n°的圆心角所对的弧长实际上是圆周长的，体会“整体与部分”的关系.】
3. 练习1：
（1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为 .
（2） 已知一条弧的半径为9，弧长为3π，那么这条弧所对的圆心角为______.
（3）如图2，已知长为12πcm，∠AOB=160°，则⊙O的半径 .
【设计意图：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，理解l、n、R这3个量之间的一种相等关系.如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量.】
探索二：探索扇形面积公式
1. 扇形定义
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如上图中，由和半径OA、OB所组成的图形叫做扇形OAB.
2. 辨析
下列各图中，哪些图形是扇形？
3. 尝试探索扇形的面积公式
(1)如上题图（3），圆的半径为R，圆心角为90°，怎样计算该扇形的面积呢？
(2)怎样计算圆心角是n0的扇形面积？请同学们小组交流.
归纳：如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式为： .
【设计意图：类比弧长的计算公式，从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公式.】
4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别？有什么联系？
扇形的弧长与扇形面积的关系为： .
【设计意图：引导学生将扇形面积公式与三角形面积公式进行类比.】
5. 练习2：
（1）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 cm2.
（2）已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．
（3）已知扇形的半径为2，弧长为π，则扇形的面积为________.
（4）一个弧长与面积都是的扇形，它的半径为________ .
（5）已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，扇形的面积为________.
【设计意图：类似于弧长的计算公式，引导学生用“方程的观点”去认识扇形面积计算公式，公式也是表示三个量之间的相等关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量，同时又要注意灵活选择扇形的面积公式.】
三、例题解析
例 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为圆心, 1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
变式：若原题的条件不变，现再画△ABC的内切圆⊙O与⊙A、⊙B、⊙C相交,求其公共部分的面积（图中阴影部分）.
【设计意图：进一步巩固扇形的面积公式，能将不规则图形的面积转化成规则图形的面积的和差，体会转化的数学思想.】
四、巩固练习
1. 若正三角形的边长为6，则它的内切圆的周长为 ，外接圆的周长为 .
2. △ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则∠BAC所对的弧BC长为 .
3．如图1，⊙O的半径为5，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AC=OC， B C的度数为____，图中阴影部分的面积为_________.
4. 如图2，若正六边形的边长为3，分别以A、B、C、D、E、F为圆心，1为半径的圆，则形成的阴影部分的面积之和是 .
图1 图2 图3 图4
5. 如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点. 设弦AB
的长为d，则圆环面积S与d之间的数量关系是 .
6. 如图4，半圆的直径AB=40， C、D是这个半圆的三等分点. 求弦AC、AD和弧CD围成的图形（阴影部分）的面积S.
五、课堂小结
六、拓展提高： 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？
【教学反思】
本节课从学生熟悉的问题情景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活．在探求弧长公式时，让学生体会从特殊到一般的认知过程，明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。明确弧长实际上是与它半径相等的圆周长的一部分，这是部分与整体的一种关系。对于扇形面积公式，让学生类比弧长公式的探讨过程，通过小组讨论，合作探究方法让学生巩固了公式的形成过程，锻炼学生探索新知能力，教会学生一种类比的数学思想方法。这样既加深学生对扇形面积公式的理解和记忆。符合新课程所倡导的“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，又加强学生合作交流能力，培养了学生应用数学、探究意识和创新能力。学生比较两个公式，找它们的区别和联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．例题的目的是巩固扇形面积公式，让学生明确求不规则图形的面积要转化成规则图形的面积来求，既阴影部分的面积可转化为扇形面积与三角形面积的和或差。培养学生解决问题的能力。考虑到一节课中，不可能做到面面俱到，所以，课堂上主要体现三种数学思想——特殊到一般、类比、转化的思想的应用，并在这三种思想运用的过程中，提高学生的运算能力和思维表达能力。
本节课主要存在的问题：
1.学生的做题速度比我想像的要慢。如在练习1中，利用弧长公式计算时学生就卡住了，原因是不能先约分，而是把数据相乘得到了比较大的数据，接下来不知道怎么办，为解决学生计算的问题花了不少时间。
2．例题解析给学生思考的时间不够，使得多数学生自主思维未得到发展，互动少、交流少，缺少学生探究，变式也没有足够的时间分析。
3．探究弧长公式和扇形面积公式花了较多的时间，没有留时间给学生进行课堂练习，如果能当堂训练反馈，及时纠错，学生就能得到更好的巩固了。
通过以上反思使我意识到只有在以后的教育教学中不断的反思总结，在总结中不断提高，才能使我今后的每堂课变得更加有效。
