2026届高考数学复习备考：三角函数的图象及定义域、值域、周期性 高频考点专题练

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2026届高考数学复习备考：
三角函数的图象及定义域、值域、周期性 高频考点专题练
一、单选题
1．函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．若存在，使，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的最小正周期是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知，则函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
7．设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
8．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
二、多选题
9．若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
10．下面函数中最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．若函数的最大值为5，则常数______．
12．已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是 .
13．函数的最小正周期为 ．
14．已知函数，且的最小值为，则 .
15．已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为 ．
四、解答题
16．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
17．已知函数，，且求：
(1)的最小正周期；
(2)在区间上的最小值.
18．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的零点；
(3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
19．求函数在区间的最大值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B B B BD ABC
1．C
【分析】利用辅助角公式化简函数得，根据正弦函数的周期性求解即可.
【详解】，
由正弦函数的性质知，相邻两条对称轴之间的距离即为半个周期，而，
所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
故选：C．
2．D
【分析】结合余弦函数的性质，得到关于的不等式，从而得解.
【详解】因为，，所以，
因为存在，使，
所以，即，
结合的图象，可得，解得.

故选：D.
3．B
【分析】由三角恒等变换化简函数表达式，进一步结合周期公式即可求解.
【详解】，
由于的零点不在平衡位置，因而周期不变，仍是，
故选：B．
4．A
【分析】化简的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值.
【详解】
，
设，
则的开口向下，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以，
也即的最大值为.
故选：A
5．B
【分析】将用辅助角公式化为的形式，根据定义域和正弦函数性质求值域.
【详解】，当时，，
则，所以在上的值域为．
故选：B
6．B
【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
7．B
【详解】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．
8．B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
9．BD
【分析】根据正弦函数的性质，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论.
【详解】因为，所以，
所以由题意得，Z，
解得，Z,
为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符.
时，；时，.
因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.
故选：BD．
10．ABC
【分析】结合余弦函数性质可判断A；结合正弦函数的周期可判断B；作出的图象可判断C；化简并结合正弦函数周期可判断D.
【详解】，故其周期为，故A符合题意；
的周期为，故B符合题意；
画出函数的图象，
易得函数的周期为，故C符合题意；
，周期为，故D不符合题意.
故选：ABC
11．
【详解】试题分析：，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.
【点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
12．
【分析】根据题意，由恒等变换公式可得，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可求解.
【详解】，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故答案为：
13．
【分析】由余弦二倍角公式及两角和差余弦公式化简即可.
【详解】
，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
14．1
【分析】先化简函数得，再根据题意可得函数的最小正周期，再根据正弦函数的周期性即可得解.
【详解】因为
，
又，且的最小值为，
所以函数的最小正周期，由，
所以.
故答案为：1.
15．1
【分析】根据的最小正周期不小于，得到，再根据，恒成立，得到的最大值为，可求出的值.
【详解】因为函数（）的最小正周期不小于，
所以，即，解得：，
因为恒成立，故的最大值为，
所以，所以，
因为，当时，.
故答案为：1.
16．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，进而可求最小正周期；
（2）以为整体，结合正弦函数有界性分析求解.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期是.
（2）因为，则，
可得，所以，
当，即时，有最小值.
18．(1)
(2)和
(3)
【分析】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果；
（2）令解方程即可得和；
（3）由平移规则可得，再根据正弦函数单调性即可得出其值域.
【详解】（1）由根据图象可知，解得；
设函数的最小正周期为，由图可知，即可得，
解得；
代入，可得，即；
又，所以；
因此的解析式为；
（2）令可得，
所以或，
解得或；
所以的零点为和；
（3）由题意可得.
因为，所以.
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
故在上的值域为.
19．
【分析】法1：利用导数结合三角恒等变换得导数零点，讨论导数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值；
法2：利用三角恒等变换可得，结合换元法和导数求函数的最大值.
【详解】法1：.
因为，所以，故，
当时，，即；当时，即，
所以在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：因为
.
所以
设，因为，所以，则，.
所以，.
由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，函数取得最大值，且.
所以函数的最大值为，当且仅当即时取“”.
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