沪教版八年级数学上册 第21章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）

第21章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（ ）
A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．当m 时，方程是关于x的一元二次方程．
8．在实数范围内因式分解： ．
9．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ．
10．已知是方程的一个根，则 ．
11．若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ．
12．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ．
13．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队．
14．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ．
15．已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ．
16．已知都是质数，且，，试求 ．
17．满足的有序有理数对 ．
18．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8小题，58分。）
19．（4分）解方程：
20．（4分）解方程：．
21．（6分）若关于的方程有增根，求的值．
22．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根．
23．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库，
(1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长；
(2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由．
24．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p．
(1)当时，_____________；
(2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示）
(3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数．
25．（10分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”．
(1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”．
①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________；
②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值．
26．（10分）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．
素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②

小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ．
利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长．
任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程；
B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程；
C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程；
D：最高次数为3，不是一元二次方程；
故选：B．
2．A
【详解】解：，
，
，
，
可得，，
故选：A．
3．D
【详解】解：∵ 方程为一元二次方程，
∴ ，
∵ 有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 ，
∴ ，即 ，
综上，且．
故选：D．
4．B
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，
∴，，
A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意；
B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意；
C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意；
D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意；
故选：B．
5．C
【详解】解：，
，
则，
所以，
故选：C．
6．B
【详解】解：，
最简二次根式 与 是同类二次根式，
，即，
解得或．
故选：B．
二、填空题
7．
【详解】解：是一元二次方程，
，
，
故答案为：
8．
【详解】当，
，
，
，
∴
∴，
故答案为：．
9．
【详解】解：方程整理成一般式为，
∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
10．2025
【详解】解：∵是方程的一个根，
，
即，
，
则
，
故答案为：2025．
11．且
【详解】解：∵二次三项式在实数范围内可以因式分解，
∴，
即，
解得，
又∵，
∴常数的取值范围是且．
12．
【详解】解：设方程的两个根为、，
则，，
∵两根之和与两根之积互为相反数，
∴，
整理得，，
解得或，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．10
【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为，
根据题意，有，
方程两边同时乘以2，得，
整理得，
因式分解得，
解得或，
由于球队数量为正整数，
故，
故答案为：10．
14．或
【详解】解：解方程，
∴，
得，，
当底边为3，腰为时，此时能组成三角形，
∴该三角形的周长是；
当底边为，腰为时，此时能组成三角形，
∴该三角形的周长是；
综上，该三角形的周长是或．
故答案为：或．
15．4
【详解】解：设关于的方程的两个根为，，则：
，，
∵，
∴，
解得：或，
当时，关于的方程为，
解得：，，
关于的方程为，
解得：，，
∵，
∴此时符合题意；
当时，关于的方程为，
解得：，，
关于的方程为，
解得：，，
∵，
∴此时不符合题意；
综上分析可知：．
故答案为：4．
16．或
【详解】解：当时，可得：；
当时，根据题意可得为方程的两个根，
∴，
∵都是质数，
则或，
∴，
故答案为：或．
17．
【详解】解：∵，
∴，，
，即，
∵x、y是有理数，
∴，
由②可得：，
将代入①可得：，即，
设，则，解得：或3；
当时，，则或（不合题意，舍去），
∴，
∴有序有理数对；
当时，，此时，不符合题意，舍去．
综上，有序有理数对．
故答案为：．
18．①②③④
【详解】解：由已知得 ，
①由得，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；故①正确；
②若，
则，故②正确；
③若方程两根为和，
则，，
，
，
；故③正确；
④若，则，
，
，
方程一定无解．故④正确，
综上可知，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题
19．解：，
，
，
，
或，
∴或．
20．解：
去分母得：
去括号，移项得：
∴
∴或，
∴，；
检验：当时，；
当时，，
∴分式方程的解为．
21．解：
，
∵若关于的方程有增根，
∴或，
当时，，
∴；
当时，，
整理得：
∴或；
综上：的值为或．
22．解：
或
解得或，
∵，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
∴原式
23．（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，
由题意可得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴与墙垂直的边的长为；
（2）解：不能，理由如下：
设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，
由题意可得，
整理可得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴不能使长方形面积扩大到2000平方米．
24．（1）解：∵的中点表示的数是p，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
由题意得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，（为正整数），
当时，（为正整数，且），
∴ 两式相减得，
即．
∴ 或
解得或，
∴或
∴ ，，，，
即的中点表示的数是或或或．……（10分）
25．（1）解：①当时，为，
，
即该幸运方程的“幸运数”是；
②当该“幸运方程”的“幸运数”是时，
，
整理得，
解得，，
即m的值为或3；
故答案为：①；②或3．
（2）解：，
，
，
，
为“幸运方程”，
两根都为整数，
为完全平方数，
为49或64或81，
m的值为5或或，
为整数，
m的值为5或13；
（3）解：为“幸运方程”，
两根都为整数，
设方程的两个根分别为p，q，
则，，
，
，
，
p，q都为整数，，
当，时，，，此时，
当，时，，，此时，
当，时，，，此时，
当，时，，，此时，
综上可知，m的值为5或，
的“幸运数”为：，
当时，，
当时，，
综上可知，的“幸运数”为；
的“幸运数”为： ，
与互为“开心数”，
，
，
当时，，
解得，（都不是整数，舍去）；
当时，，
解得，
综上可知，的值为0．
26．解：任务1：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，
∴图1中的四角裁去小正方形的边长为，
∴储物盒的宽小正方形的边长，
故答案为：；……（3分）
任务2：设裁去的小正方形的边长为
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴裁去小正方形的边长为．
任务3：设小长方形的宽为长为
根据题意得：，
由得，
把代入，整理得，
解得，
∵，
∴，
∴
即小长方形的宽为长为
当和之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高，
∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒，
答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒．