1.3空间向量及其运算的坐标表示（含解析） 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示
夯基础
题型1空间向量的坐标表示
1.已知点A(-2,3,4),则点 A 关于原点的对称点的坐标为 ( )
A.(2,3,4) B.(-2,-3,4)
C.(-2,3,-4) D.(2,-3,-4)
2.已知空间向量a=(1，2，-3)，则向量a在坐标平面 Oyz上的投影向量是( )
A.(0,2,3) B.(0,2,-3)
C.(1,2,0) D.(1,2,-3)
3.如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为6，点M为CC 的中点,点 P 为底面A B C D 上的动点,满足 BP⊥AM 的点 P 的轨迹长度为 ( )
A.2 B.3
C.6
题型2空间向量运算的坐标表示
4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c= ( )
A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1)
C.(9,3,0) D.(9,0,0)
5.已知点 O 为原点， 点Q在直线OP上，那么当 取得最小值时，点Q的坐标是 ( )
6.[2023·云南昆明艺卓中学高二月考]已知点A(2，0,1),点B(10,4,13).若点C 满足 则点C 的坐标为 .
题型3利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
7.(多选)在△ABC中,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(2,-3,1).若△ABC为直角三角形,则k的值为( )
A. B. C.-1
8.已知向量a=(2,1,3),向量b=(4,m,6).若a∥b,则实数m的值为 .
9.设x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .
10.已知点 O为原点,向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB 上，存在一点 E，使得 则点 E 的坐标为 .
11.如图，在直三棱柱ABC-A B C 中, CA = CB = 1,∠BCA=90°,棱AA =2,M,N分别为A B ,A A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题.
(1)求 的模.
(2)求证:BN⊥平面 C MN.
题型4利用空间向量的坐标运算求向量的夹4角和模
12.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为 ( )
B.
C. D.
13.已知a=(cosα,-1,sinα),b=(sinα,-1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角为( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
14.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1).若 则
15.棱长为2的正方体中,E,F分别是DD ,DB的中点,点 G在棱 CD 上,且 H 是 C G的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题.
(1)求证:EF⊥B C.
(2)求
(3)求 FH 的长.
16.如图，在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD 为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2
(1)若点 F 为DC 的中点,求
(2)若点 E 为 PB 的中点,点 M 为AB 上一点,当 时，求 的值.
17.若a=(1,1,1)与b=(x,2,2)的夹角为锐角,则实数x的取值范围是 .
1.3空间向量及其运算的坐标表示
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题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B B C C (6,2,7)
题号 8 9 10 12 13
答案 BD 2 3 D A
题号 14 17
答案 (-4,2)∪ (2,+∞)
夯基础
1. D 【解析】因为点A(-2,3,4),所以点A 关于原点的对称点的坐标为(2,-3,-4).故选D.
2. B【解析】根据空间中点的坐标的确定方法知，空间向量a=(1，2，-3)在坐标平面 Oyz上的投影坐标中，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变，所以空间向量a=(1，2，-3)在坐标平面 Oyz上的投影向量是(0,2,-3).故选 B.
3. B 【解析】如图,取A D 的中点E,A B 的中点 F,连接 EF.以 D为原点,分别以 DA,DC,DD 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,则A(6,0,0),B(6,6,0),M(0,6,3).设P(x,y,6),x∈[0,6],y∈[0,6],.则 由BP⊥AM,得-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0,,即y=x-3.因为x∈[0,6],y∈[0,6],所以x∈[3,6],y∈[0,3].所以点 P 的轨迹为平面A B C D 上的直线y=x-3,x∈[3,6],即图中的线段 EF.易知 所以点 P 的轨迹长度为3 .故选 B.
4. C 【解析】a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+2(3,1,0)=(9,3,0).故选 C.
5. C 【解析】设Q(x,y,z).由点Q 在直线OP 上,可得存在实数λ使得 即(x,y,z)=λ(1,1,2),则Q(λ,λ,2λ),所以 2λ),则QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)· 根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最小值为 此时 故选 C.
(6，2，7)思维路径设出点C的坐标→写出相应的空间向量→利用已知条件列出方程组→求解该方程组即可得出所求的答案.
【解析】设点C(x,y,z),则 y-4,z-13).因为 所以(x-2,y,z-1)=-(x-10,y-4,z-13),即 解得x=6,y=2,z=7,所以C的坐标为(6,2,7).
7. BD 【解析】由题意,可得 , 若 则 此时Δ<0,无解;若 则-8+3k=0,1解得 此时 则 所以△ABC 为直角三角形；若 则25+3k=0,解得 此时 33,则 所以△ABC是直角三角形.综上所述， 或 故选 BD.
8.2 【解析】因为向量a=(2,1,3),向量b=(4,m,6),且a∥b，所以 解得m=2.
9.3 【解析】因为a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,所以 解得x=1,y=-2.所以a=(1,1,1),b=(1,-2,1),则a+b=(2,-1,2),所以
思维路径) 设 →利用点的坐标和运算得到 的坐标→根据 列方程求出λ的值→求得点E的坐标.
【解析】设 因为O 为原点，A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),月所以 所以 所以 -2λ+4).因为a=(-2,1,1),OE⊥a,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得 所以点 E 的坐标为
11.思维路径 (1)以点C为原点,CA,CB,CC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系→利用空间向量的模长公式可求得结果.(2)利用空间向量法可证得BN⊥C M，BN⊥C N——→利用线面垂直的判定定理可证得结论.
(1)【解】因为 CC ⊥ 平面 ABC,∠BCA=90°,所以易得CA,CB,CC 两两垂直.
以点 C 为原点,CA,CB,CC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(0,1,0),N(1,0,1),
所以 所以
(2)【证明】由(1)可得C (0,0,2),B(0,1,0),N(1,0,
则所以 所以 即.BN⊥C M,BN⊥C N.又因为C M∩C N=C ,C M,C N 平面C MN,所以 BN⊥平面 C MN.
12. D 【解析】∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2), 又∵〈a,b〉∈[0,π],∴向量a与b的夹角为π/6.故选D.
13. A 【解析】因为a=(cosα,-1,sinα),b=(sinα,-1,cosα),所以a+b=(cosα+sinα,-2,sinα+cosα),a-b=(cosα-sinα,0,sinα-cosα).设向量a+b与a-b的夹角为β,则 0(利用空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简，是求解本题的关键).因为β∈[0°,180°]、|所以β=90°,故向量a+b与a-b的夹角为90°.故选 A.
【解析】令 P(x,y,z)、则 由 得(x-1,y-2,x-1)=2(-1-x,3-y,4-z),解得 故
15.(1)【证明】如图,以D 为原点,DA,DC,DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,
2,0),B (2,2,2),
所以
所以
(-2,0,-2)=1×(-2)+1×0+
(-1)×(-2)=0,
所以
故EF⊥B C.
(2)【解】因为C (0,2,2),c(0, ,0),
所以 所以
由(1)得 所以 所以
(3)【解】因为H是C G的中点,所以B(0, ,1).由(1)知F(1,1,0),所以 所以 即
16.【解】(1)因为△PBC 为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=4,所以
又 所以DC⊥PC.
因为CD⊥AD,AD∥BC,所以CD⊥BC.
因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以CD⊥平面PBC.
以C为原点，CP，CD 所在直线分别为x轴、z轴,过点 C作 PB 的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，
则P(2 ,0,0),B(2 ,2 ,0),
F(0,0,2),A( ,,4),
所以
所 以
(2)结合(1)知
设 则
所以
所以
由(1)知
因为 所以
所以 解得 所以
17.(-4,2)∪(2,+∞) 【解析】因为a=(1,1,1)与b=(x,2,2)的夹角为锐角,所以a·b=x+2+2>0,解得x>-4.当x=2时,b=2a,此时a与b共线同向,夹角为0,故x≠2.综上所述,x的取值范围是(-4,2)∪(2,+∞).
易错规避 两个空间向量的夹角为锐角，与这两个向量的数量积大于0是不等价的，做题时要考虑到两向量同向共线这一特殊情况，避免错解.