1.1.2空间向量的数量积运算（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算
夯基础
题型1 空间向量的数量积的概念及其运算
1.已知四面体A-BCD 的所有棱长都等于2，E 是棱AB的中点，F是棱CD 上靠近点C 的四等分点，则 等于 ( )
B. D.
2.已知|a|=4，空间向量e为单位向量， 则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为 ( )
A.2 B.-2 D.
3.设a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有 ( )
题型 2 利用空间向量的数量积求夹角
4.空间四边形OABC 中, OB = OC, ∠AOB = ∠AOC =π/3,则 的值是 ( )
A. D.0
5.已知a，b都是空间向量，且 则<2a,-3b>= ( )
A. B. C.
6.在正三棱柱ABC-A B C 中， 则异面直线 BA 与AC 所成角的余弦值为 .
题型 3 利用空间向量的数量积求长度
7.已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于( )
A. D.4
8.四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD 是边长为1的菱形，侧棱长为 2，且 ∠BCD=60°,则线段A C 的长度是 ( )
A. C.3
9.如图，二面角α-l-β为60°,A,B 是棱l上的两点，AC，BD 分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=2,BD=4,则CD 的长为 .
题型4 利用空间向量的数量积解决垂直问题
10.在棱长为1 的正方体ABCD-A B C D 中，设 则a·(b+c)的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.0
11.如图,三棱柱 ABC-A B C 的所有棱长都相等， 点 M 为△ABC 的重心,AM 的延长线交 BC 于点 N,连接 A M,设
(1)用a,b,c 表示
(2)证明:A M⊥AB.
易错点 忽视空间向量的数量积与实数的积的区别而致错
12.对于任意空间向量a，b，c，下列命题正确的是 ( )
A.若a·b=0,则a与b中至少有一个为0
B.若a⊥b,则a·b=0
C.(a·b)c-(c·a)b=0
D.若a·b=0,则a⊥b
13.如图，在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2,且 PA 与AB,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则 ( )
A.
14.在四面体 OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC 的重心,则
15.已知点 P 为棱长等于 4 的正方体 ABCD-A B C D 内部一动点,且 则 的值达到最小时， 与 夹角的余弦值为 .
16.如图,在矩形 ABCD 和 ABEF 中,AB=4,AD= 记
(1)求异面直线AE 与BD 所成角的余弦值.
(2)将 用a，b，c表示出来，并求 的最小值.
(3)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ 的值；若不存在，请说明理由.
17.设两个向量e ，e 满足 e ,e 的夹角为60°.若向量 与 的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2(如图),P,Q 分别为棱AB,AD的中点,则
题号 1 2 3. 4 5 6
答案 D B AD D A
题号 7 8 9 10 12 13
答案 C D 4 D B A
题号 14 15 18
答案 143 0 1
夯基础
1. D 【解析】因为E 是棱AB的中点,F是棱 CD上靠近点 C的四等分点，所以 所以
因为 所以 故选 D.
2. B【解析】由题意可知 所以空间向量 a 在向量 e 方向上的投影的数量为 故选 B.
3. AD 【解析】对于A, 故 A正确；对于 B，因为向量不能做除法，即-b/a无意义，故B 错误(正确理解空间向量的数量积的概念是正确判断的前提)；对于C， b〉，故C错误；对于D ,故 D 正确.选 AD.
4. D 【解析】因为OB=OC,所以 破题关键：利用空间向量的加、减运算分拆 为 所以 故选 D.
5. A 【解析】∵ 故选 A.
方法总结求 空间两个向量的夹角的步骤
第一步，计算这两个空间向量的数量积；
第二步，利用向量模的计算公式计算这两个空间向量的模长；
第三步，利用空间向量的夹角公式 进行计算.
【解析】如图，设 则 .由正三棱柱可得 且 又
所以 故
7. C 【解析】 故选 C.
8. D 【解析】因为 (根据向量运算法则表示出 即将所求向量用已知向量表示，这是求解空间向量的长度问题的常见技巧)，且∠C CB =∠C CD=∠BCD= 60°,所以 所以 即线段A C 的长度是 故选 D.
9.4【解析】依题意, 则有 又 所以
10. D 【解析】由题意可知a⊥b,a⊥c,所以a·(b+c)=a·b+a·c=0.故选 D.
11.思维路径(1)由等边三角形的性质可得 →由三角形重心的性质可得 π→利用空间向量的加法运算可表示A M.(2)结合(1)并由空间向量数量积的定义计算 ——→得出结论.
(1)【解】因为△ABC 为正三角形,点 M 为△ABC 的重心,所以N为BC的中点，
所以
所以
(2)【证明】设三棱柱的棱长为m，
则
所以A M⊥AB.
明易错
12. B 【解析】当a,b为非零向量,且a⊥b时,a·b=0,所以A 错误;若a⊥b,则 B正确；因为(a·b)c 是表示与向量c共线的向量,而(c·a)b 是表示与向量b共线的向量，所以C错误；若a·b=0，可取a=0，此时得不出a⊥b，所以D错误.故选 B.
易错规避 区分向量数量积与实数的积的概念是正确求解本题的关键，向量数量积与实数的积的区别如下： (1)在实数中:若a≠0,且 ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若a≠0,且a·b=0,不能推出b=0; (2)已知实数a,b,c(b≠0),且 ab= bc,则a=c,但在向量的数量积中没有a·b=b·c a=c; (3)在实数中有(a·b)·c=a·(b·c),但是在向量的数量积中(a·b)·c≠a·(b·c),这是因为左边表示的是与c 共线的向量，而右边表示的是与a 共线的向量.
提能力
13. A 【解析】因为 M 是 PC 的中点,所以 所以 因为PA 的长为2，且PA与AB,AD的夹角都等于60°,所以 所以 故选 A.
14. 思维路径由三角形重心的性质和向量的三角形法则→得出 →再由向量数量积的运算律计算可得.
【解析】如图，连接AG并延长与 BC相交于点 D.∵点G是底面△ABC的重心，
15.0【解析】由题意可知点 P在以A 为球心，4为半径，且在正方体的内部的球面上运动，如图，取线段 C D 的点 E,连接 PE,则 所 以 当A,P,E三点共线时, 取最小值，此时 此时 所以
16.【解】(1)由题意得 所以1 同理可得
所以 (根据
空间向量线性运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量夹角公式进行求解是解题的关键)，
所以异面直线AE与 BD 所成角的余弦值为2
b)]=(λ-1)b+λc.
所以
当 时， π|取得最小值，为
(3)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD.
易知
令 得[(λ-1)b+λc]·b=0,
化简，得 解得
所以当 时,有MN⊥AB,MN⊥AD,
即MN⊥平面ABCD.
故存在 使得 MN⊥平面ABCD.
明易错
17.【解】设向量: 与 的夹角为θ、
∵向量 与 的夹角为钝角，
.
解得
当θ=π时,也有(
设
由e ,e 不共线,得 解得 综上所述，实数 t 的取值范围为
易错规避 设θ为a，b的夹角，则当θ为锐角时，a·b>0,且a,b不同向,所以“a·b>0”是“θ为锐角”的必要不充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a，b不反向，所以“a·b<0”是“θ为钝角”的必要不充分条件.
升素养
18.1 【解析】在正八面体ABCDEF 中,易知 由P，Q分别为棱AB,AD的中点,得 所|以