1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-15 00:00:00 | ||
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文档简介
1.1.1空间向量及其线性运算
夯基础
题型1 空间向量及相关概念
1.下列命题为真命题的是 ( )
A.向量 AB与 BA的长度相等
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③在正方体ABCD-A?B?C?D?中，必有 AC=A1C1;
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确命题的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4658360167640题型2空间向量的线性运算
3.如图，在平行六面体ABCD-A?B?C?D?中, AB?AD?AA1=( )
A.AC1 B.A1C C.D1B D.DB1
4.在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与 AB相等的是( )
A.AC+CD B.AD+DC+CB
C.CA?CB D.CB+DA?DC
5.如图,在四面体OABC 中, OA= a,OB=b,OC=c,点M在OA上,点 N 在 BC 上,且OM=2MA,BN=2NC,则 MN= ( )
3757295273685
A.?23a+13b+23c B.23a?23b+13c
C.?23a?13b+23c D.23a?23b?13c
6.如图,在空间四边形ABCD中,已知G为△BCD 的重心,E,F,H分别为边 CD,AD 和BC 的中点,化简下列各式：
1AG+13BE?12AC;
212AB+AC?AD;
313AB+13AC+13AD.
题型3空间向量共线的判定及应用
5778500-127007.如图,在 长 方体 ABCD-A?B?C?D?中,AB=AD=4, AA1=3,点 E，F分别在棱BB?,B?C?上， EF→‖AD1→,BE→=13BB1→,则 ∣B1F∣=( )
A.1 B.43 C.2 D.83
8.对于空间任意一点O，以下条件可以判定点 P，A，B共线的是 (填序号).
①OP=OA+tABt∈R,t≠0;
②5OP=OA+AB;
③OP=OA?tABt∈?t≠0;
④OP=?OA+AB.
9.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,E在 A?D?上，且 A1E=2ED1,F在对角线A?C上，且 A1F=23. FC.设 AB=a,AD=b,AA1=c.
(1)用a,b,c表示 EB.
(2)求证:E,F,B 三点共线.
题型 4 空间向量共面的判定及应用
10.(多选)下列四个命题，其中为真命题的是 ( )
A.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使得p=xa+ yb
B.若存在实数x，y，使得p= xa+ yb,则p与a,b共面
C.若存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,则点P,M,A,B 共面
D.若点 P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使得 MP=xMA+yMB
11.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,M,N分别是棱 BB?,DD?的中点,P是棱A?B?上靠近A?的四等分点，过NM,N,P三点的平面α交棱BC 于点 Q，设 BQ=λBC,则λ=
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12.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点，用共面向量定理证明M，N，P，Q四点共面.
易错点1 忽略零向量的定义而致错概念模糊
13.下列命题正确的是 ( )
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb
易错点2 对空间向量的概念理解不到位而致错
14.如图，已知正方体ABCD-A?B?C?D?的中心为O,则有下列结论：
①OA+OD与 OA1+OD1是一对相反向量；5892800-228600
②OB?OC1与 OC?OB1是一对相反向量；
61658529210与 OD+OC+OB+OA是一对相反向量；
④OC?OA与是一对相反向量.
其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1.1.1空间向量及其线性运算
选择/填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
7
答案
A
C
C
B
A
D
题号
8
10
11
13
14
答案
①③
BC
34
C
A
夯基础
1. A 【解析】对于A,向量. AB与 BA是相反向量，所以向量 AB与BA的长度相等，故A正确；对于B，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故B错误；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，互为相反向量的两个向量不相等，但这两个相反向量的模相等，故D 错误.选A.
2. C【解析】对于①，当表示两个空间向量的有向线段的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，表示它们的有向线段的起点和终点都不一定相同，故①错误.对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错误.对于③，根据正方体的性质,在正方体ABCD-A?B?C?D?中,向量 AC与 A1C1的方向相同，模也相等，所以 AC=A1C1(只有当两个向量的方向相同且模相等时，才能得出这两个向量相等)，故③正确.对于④，由向量相等关系可知m=n=p，故④正确.选C.
3. C 【解析】 AB?AD?AA1=DB?AA1=DB?DD1=D1B.故选 C.
4. B 【解析】对于A, AC+CD=AD,故A不符合题意；对于B， AD+DC+CB=AB,故B符合题意；对于C， CA?CB=BA,故C不符合题意；对于D, CB+DA?DC=CB+CA,故 D 不符合题意.选 B.
5. A 【解析】如图,连接MB,则 MN= MB+BN=OB?OM+23BC=OB? 23OA+23OC?OB=b?23a+23(c? b)=?23a+13b+23c.故选 A.
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6.【解】(1)因为G为△BCD 的重心,E,F 分别为边 CD,AD的中点，
所以 AG+13BE?12AC=AB+BC+13BE?12AC=AB+23BE+ 13BE?12AC=AB+BE?12AC=AE?12AC=AE?FE=AE+ EF=AF,
所以 AG+13BE?12AC=AF.
(2)因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,所以 12AB+AC?AD=122AH?AD=AH?12AD=AH? AF=FH.
313AB+13AC+13AD=13AB+AC+AD=AB+13(AC? AB)+13AD?AB=AB+13BC+BD=AB+13×2BE=AB 23BE=AB+BG=AG.
7. D思维路径[依题意可得.BC?∥AD?→从而得到 BC?∥EF——→即可得到 B1F=23B1C1→从而得解.
解析〗连接BC?.由长方体的性质可得BC?∥AD?.又EF∥ AD1,,所以BC?∥EF.因为 BE=13BB1所以 C1F=13C1B1,所以 B1F=23B1C1.因为 B1C1=AD=4,所以 ∣B1F∣= 23∣B1C1∣=83.故选 D.
8.①③ 【解析】对于①,因为 OP=OA+tABt∈Rt≠0,所以 OP?OA=tABt∈Rt≠0,所以 AP=tABt∈Rt≠0,所以AP,AB共线，所以点 P，A，B共线，故①符合题意.对于②，因为 5OP=OA+AB,所以 5OP=OB,所以 OP,OB共线，所以点P，O，B共线，点P，A，B不一定共线，故②不符合题意.对于③，因为 OP=OA?tABt∈Rt≠0,所以 OP? OA=?tABt∈Rt≠0,所以 AP=?tABt∈Rt≠0,所以 AP,AB共线，所以点 P，A，B共线，故③符合题意.对于④，因为 OP=?OA+AB,所以 OP=?OA+OB?OA,所以 OP= ?2OA+OB,所以 OP?OB=?2OA,所以 BP=?2OA,所以BP,OA平行或重合.当BP,OA平行时,点 P,A,B不共线,故④不符合题意.
9.(1)【解】因为 A1E=2ED1,AB=a,AD=b,AA1=c,所以 EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=?23b?c+a,所以 EB=a?23b?c.
(2)【证明】由题意可知 A1F=23FC.
所以 FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB=25(CB+BA+ AA)+A1A+AB=25?b?a+c?c+a=35a?25b?35c= 35a?23b?c=35EB.
又 EB与 FB相交于点B，所以E，F，B三点共线.
:0.: 【解析】对于A,若a=b=0,p≠0,则不存在实数x,y 使得p=xa+yb,故A 不是真命题;对于 B,由空间向量共面定理可知，若存在实数x，y，使得p=xa+yb，则p与a，b共面，故B是真命题；对于 C，若存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,则 MP,MA,MB共面,所以M,P,A,B四点共面，故C 是真命题；对于 D，若 MA=MB=0,MP≠0,则不存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,故 D 不是真命题. 选 BC.
方法总结对于空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明它们共面.
1MP=xMA+yMB.
(2)对空间任一点O， OP=OM+xMA+yMB.
(3)PM→‖AB→(或 PA→‖MB→或 PB→‖AM→).
11. 34 【解析】设 AB=a,AD=b,AA1=c,则 PM=PB1+B1M= 34a?12c,NM=ND+DB+BM=?12c+a?b+12c=a?b, MQ=MB+BQ=λb?12c.由题意可知， PM,NM,MQ共面.设 MQ=mPM+nNM,则 λb?12c=m34a?12c+n(a? b)=34m+na?nb?12mc,所以 解得 {m=1,n=?34,λ=34. 斤以 λ=34.
12.【证明】令 D1A1=a,D1C1=b,D1D=c,
则 MN=12b?12a,MP=12a+12c,
MQ=D1Q?D1M=b+12c?12a=?12a+b+12c.
设 MQ=λMN+μMP,
则 λMN+μMP=λ12b?12a+μ12a+12c=12μ?λa+ 12λb+12μc,
所以 {12(μ?λ)=?12,12λ=1,12μ=12, 得 {λ=2,μ=1.
所以 MQ=2MN+MP.所以 MQ,MN,MP共面.
又 MQ,MN,MP经过同一点M，
所以M,N,P,Q四点共面.
13. C 【解析】若a与b共线,b与c 共线,且b=0,则a与c不一定共线，故A 错误；向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面是不正确的，三个向量所在的直线可以互为异面直线，故B错误；C显然正确；当b=0时，若a∥b，则不存在实数λ,使得a=λb,故D错误.选 C.
易错规避涉及向量的共线问题，需要特别考虑向量是否是零向量，对零向量的定义和向量的共线、共面的要求理解不够深入，容易犯错.
14. A 【解析】设E,F分别为AD 和A?D? 的中点,连接OF,OE.对于①, OA+OD=2OE与 OA1+OD1=2OF不是一对相反向量，故①错误；对于②， OB?OC1=C1B与 OC?OB1= B1C不是一对相反向量，故②错误；对于③ ,OA1+OB1+ OC1+OD1=?OC?OD?OA?OB=?OC+OD+OA+OB,故③正确；对于④ ,OC?OA=AC与 OC1?OA1=A1C1不是一对相反向量，而是相等向量，故④错误.所以正确结论的个数为1.故选 A.
易错规避 对于相反向量、相等向量的判断，一定要同时考虑向量的方向和模长，不要忽略任意一个判断要素，避免出错.
夯基础
题型1 空间向量及相关概念
1.下列命题为真命题的是 ( )
A.向量 AB与 BA的长度相等
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③在正方体ABCD-A?B?C?D?中，必有 AC=A1C1;
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确命题的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4658360167640题型2空间向量的线性运算
3.如图，在平行六面体ABCD-A?B?C?D?中, AB?AD?AA1=( )
A.AC1 B.A1C C.D1B D.DB1
4.在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与 AB相等的是( )
A.AC+CD B.AD+DC+CB
C.CA?CB D.CB+DA?DC
5.如图,在四面体OABC 中, OA= a,OB=b,OC=c,点M在OA上,点 N 在 BC 上,且OM=2MA,BN=2NC,则 MN= ( )
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A.?23a+13b+23c B.23a?23b+13c
C.?23a?13b+23c D.23a?23b?13c
6.如图,在空间四边形ABCD中,已知G为△BCD 的重心,E,F,H分别为边 CD,AD 和BC 的中点,化简下列各式：
1AG+13BE?12AC;
212AB+AC?AD;
313AB+13AC+13AD.
题型3空间向量共线的判定及应用
5778500-127007.如图,在 长 方体 ABCD-A?B?C?D?中,AB=AD=4, AA1=3,点 E，F分别在棱BB?,B?C?上， EF→‖AD1→,BE→=13BB1→,则 ∣B1F∣=( )
A.1 B.43 C.2 D.83
8.对于空间任意一点O，以下条件可以判定点 P，A，B共线的是 (填序号).
①OP=OA+tABt∈R,t≠0;
②5OP=OA+AB;
③OP=OA?tABt∈?t≠0;
④OP=?OA+AB.
9.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,E在 A?D?上，且 A1E=2ED1,F在对角线A?C上，且 A1F=23. FC.设 AB=a,AD=b,AA1=c.
(1)用a,b,c表示 EB.
(2)求证:E,F,B 三点共线.
题型 4 空间向量共面的判定及应用
10.(多选)下列四个命题，其中为真命题的是 ( )
A.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使得p=xa+ yb
B.若存在实数x，y，使得p= xa+ yb,则p与a,b共面
C.若存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,则点P,M,A,B 共面
D.若点 P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使得 MP=xMA+yMB
11.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,M,N分别是棱 BB?,DD?的中点,P是棱A?B?上靠近A?的四等分点，过NM,N,P三点的平面α交棱BC 于点 Q，设 BQ=λBC,则λ=
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12.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点，用共面向量定理证明M，N，P，Q四点共面.
易错点1 忽略零向量的定义而致错概念模糊
13.下列命题正确的是 ( )
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb
易错点2 对空间向量的概念理解不到位而致错
14.如图，已知正方体ABCD-A?B?C?D?的中心为O,则有下列结论：
①OA+OD与 OA1+OD1是一对相反向量；5892800-228600
②OB?OC1与 OC?OB1是一对相反向量；
61658529210与 OD+OC+OB+OA是一对相反向量；
④OC?OA与是一对相反向量.
其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1.1.1空间向量及其线性运算
选择/填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
7
答案
A
C
C
B
A
D
题号
8
10
11
13
14
答案
①③
BC
34
C
A
夯基础
1. A 【解析】对于A,向量. AB与 BA是相反向量，所以向量 AB与BA的长度相等，故A正确；对于B，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故B错误；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，互为相反向量的两个向量不相等，但这两个相反向量的模相等，故D 错误.选A.
2. C【解析】对于①，当表示两个空间向量的有向线段的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，表示它们的有向线段的起点和终点都不一定相同，故①错误.对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错误.对于③，根据正方体的性质,在正方体ABCD-A?B?C?D?中,向量 AC与 A1C1的方向相同，模也相等，所以 AC=A1C1(只有当两个向量的方向相同且模相等时，才能得出这两个向量相等)，故③正确.对于④，由向量相等关系可知m=n=p，故④正确.选C.
3. C 【解析】 AB?AD?AA1=DB?AA1=DB?DD1=D1B.故选 C.
4. B 【解析】对于A, AC+CD=AD,故A不符合题意；对于B， AD+DC+CB=AB,故B符合题意；对于C， CA?CB=BA,故C不符合题意；对于D, CB+DA?DC=CB+CA,故 D 不符合题意.选 B.
5. A 【解析】如图,连接MB,则 MN= MB+BN=OB?OM+23BC=OB? 23OA+23OC?OB=b?23a+23(c? b)=?23a+13b+23c.故选 A.
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6.【解】(1)因为G为△BCD 的重心,E,F 分别为边 CD,AD的中点，
所以 AG+13BE?12AC=AB+BC+13BE?12AC=AB+23BE+ 13BE?12AC=AB+BE?12AC=AE?12AC=AE?FE=AE+ EF=AF,
所以 AG+13BE?12AC=AF.
(2)因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,所以 12AB+AC?AD=122AH?AD=AH?12AD=AH? AF=FH.
313AB+13AC+13AD=13AB+AC+AD=AB+13(AC? AB)+13AD?AB=AB+13BC+BD=AB+13×2BE=AB 23BE=AB+BG=AG.
7. D思维路径[依题意可得.BC?∥AD?→从而得到 BC?∥EF——→即可得到 B1F=23B1C1→从而得解.
解析〗连接BC?.由长方体的性质可得BC?∥AD?.又EF∥ AD1,,所以BC?∥EF.因为 BE=13BB1所以 C1F=13C1B1,所以 B1F=23B1C1.因为 B1C1=AD=4,所以 ∣B1F∣= 23∣B1C1∣=83.故选 D.
8.①③ 【解析】对于①,因为 OP=OA+tABt∈Rt≠0,所以 OP?OA=tABt∈Rt≠0,所以 AP=tABt∈Rt≠0,所以AP,AB共线，所以点 P，A，B共线，故①符合题意.对于②，因为 5OP=OA+AB,所以 5OP=OB,所以 OP,OB共线，所以点P，O，B共线，点P，A，B不一定共线，故②不符合题意.对于③，因为 OP=OA?tABt∈Rt≠0,所以 OP? OA=?tABt∈Rt≠0,所以 AP=?tABt∈Rt≠0,所以 AP,AB共线，所以点 P，A，B共线，故③符合题意.对于④，因为 OP=?OA+AB,所以 OP=?OA+OB?OA,所以 OP= ?2OA+OB,所以 OP?OB=?2OA,所以 BP=?2OA,所以BP,OA平行或重合.当BP,OA平行时,点 P,A,B不共线,故④不符合题意.
9.(1)【解】因为 A1E=2ED1,AB=a,AD=b,AA1=c,所以 EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=?23b?c+a,所以 EB=a?23b?c.
(2)【证明】由题意可知 A1F=23FC.
所以 FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB=25(CB+BA+ AA)+A1A+AB=25?b?a+c?c+a=35a?25b?35c= 35a?23b?c=35EB.
又 EB与 FB相交于点B，所以E，F，B三点共线.
:0.: 【解析】对于A,若a=b=0,p≠0,则不存在实数x,y 使得p=xa+yb,故A 不是真命题;对于 B,由空间向量共面定理可知，若存在实数x，y，使得p=xa+yb，则p与a，b共面，故B是真命题；对于 C，若存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,则 MP,MA,MB共面,所以M,P,A,B四点共面，故C 是真命题；对于 D，若 MA=MB=0,MP≠0,则不存在实数x，y，使得 MP=xMA+yMB,故 D 不是真命题. 选 BC.
方法总结对于空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明它们共面.
1MP=xMA+yMB.
(2)对空间任一点O， OP=OM+xMA+yMB.
(3)PM→‖AB→(或 PA→‖MB→或 PB→‖AM→).
11. 34 【解析】设 AB=a,AD=b,AA1=c,则 PM=PB1+B1M= 34a?12c,NM=ND+DB+BM=?12c+a?b+12c=a?b, MQ=MB+BQ=λb?12c.由题意可知， PM,NM,MQ共面.设 MQ=mPM+nNM,则 λb?12c=m34a?12c+n(a? b)=34m+na?nb?12mc,所以 解得 {m=1,n=?34,λ=34. 斤以 λ=34.
12.【证明】令 D1A1=a,D1C1=b,D1D=c,
则 MN=12b?12a,MP=12a+12c,
MQ=D1Q?D1M=b+12c?12a=?12a+b+12c.
设 MQ=λMN+μMP,
则 λMN+μMP=λ12b?12a+μ12a+12c=12μ?λa+ 12λb+12μc,
所以 {12(μ?λ)=?12,12λ=1,12μ=12, 得 {λ=2,μ=1.
所以 MQ=2MN+MP.所以 MQ,MN,MP共面.
又 MQ,MN,MP经过同一点M，
所以M,N,P,Q四点共面.
13. C 【解析】若a与b共线,b与c 共线,且b=0,则a与c不一定共线，故A 错误；向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面是不正确的，三个向量所在的直线可以互为异面直线，故B错误；C显然正确；当b=0时，若a∥b，则不存在实数λ,使得a=λb,故D错误.选 C.
易错规避涉及向量的共线问题，需要特别考虑向量是否是零向量，对零向量的定义和向量的共线、共面的要求理解不够深入，容易犯错.
14. A 【解析】设E,F分别为AD 和A?D? 的中点,连接OF,OE.对于①, OA+OD=2OE与 OA1+OD1=2OF不是一对相反向量，故①错误；对于②， OB?OC1=C1B与 OC?OB1= B1C不是一对相反向量，故②错误；对于③ ,OA1+OB1+ OC1+OD1=?OC?OD?OA?OB=?OC+OD+OA+OB,故③正确；对于④ ,OC?OA=AC与 OC1?OA1=A1C1不是一对相反向量，而是相等向量，故④错误.所以正确结论的个数为1.故选 A.
易错规避 对于相反向量、相等向量的判断，一定要同时考虑向量的方向和模长，不要忽略任意一个判断要素，避免出错.