7．3．2多边形的内角和
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文档简介
7．3．2多边形的内角和
文昌市龙楼中学 黄良师
一、教学目标
【知识与技能】
1、掌握多边形内角和，并能熟练运用；
2、通过探究多边形的内角和，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何。
【过程与方法】
1、经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法；
2。经历探索多边形内角和公式的过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。
【情感态度与价值观】
1、通过猜想、推理等数学活动，感受数学充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习数学的热情。
2、通过师生共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
二、教学重点难点
重点：探索多边形内角和公式。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
三、教学过程
（一）设置悬念，引出新课。
足球有32块皮子，一般用12块黑的正五边形皮子与20块白的正六边形皮子。那么大家知道正五边形与正六边形的每一内角分别是多少度呢？
通过今天的学习，我们就能明白其中的道理，引出课题。
设计意图：从学生感兴趣的问题出发，设置悬念，引入课题。
（二）合作交流，探索新知。
1、探究活动一：探索任意四边形的内角和
（1）引发猜想：
A、三角形内角和等于多少度？与三角形的形状有关吗？
B、正方形、长方形的内角和是多少？由此你能猜想任意凸四边形内角和吗？解决这个问题最直接的方法是什么呢？
设计意图：回顾三角形、正方形、长方形内角和，促使学生对新问题进行思考与猜想。
（2）度量操作：
学生分小组，分工协作画一任意四边形，借助量角器度量出四边形的各个内角，并计算所画四边形的内角和，你能得出什么结论？
（小组得出的结论可能会有不同，引导学生注意度量时有误差．教师可教师可借助几何画板课件演示度量结果，帮助学生用度量的方法得出任意四边形的内角和是360°）
设计意图：让学生亲自操作度量寻求结论，易于引起学习兴趣，提供感性认知，培养动手能力。
（3）、理论论证
度量法是解决四边形内角和最直接的方法，但是它也有不足的地方。能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。
学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。
学生使用的方法可能有：
①过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为2×180°；
②画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，内角和为4×180°-360°；若在四边形内部任取一点，如图3，也可以得到相应的结论；
③这个点还可以取在边上（若与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线；否则如图4）内角和为3×180°-180°；
④点还可以取在外部，如图5内角和为3×180°-180°，让学生课后思考这种方法；
设计意图：从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。并通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
（4）教师总结：
利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和，体现了化未知为已知的转化思想。以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和。下面我们可以选用你最喜欢的方法来探究四边形、五边形、六边形，甚至任意n边形的内角和。
（三）自主探究，得出结论
探究活动二：探索任意多边形的内角和
（1）、要求：选择活动一中一种分割多边形的方法，分别求出四边形、五边形、六边形的内角和等于多少度？n边形的内角和等于多少度？（n是大于或等于3的整数）并完成以下表格。
多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和 计算规律
四边形 4
五边形 5
六边形 6
七边形 7
… … … … … …
n边形 n
（2）、请一些小组展示探究成果
A、借助方法一探索多边形内角和：
引导学生寻找规律，归纳得到n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°
B、借助方法二探索多边形内角和：
n边形被分成n个三角形，它的内角和就等于n×180°-360°。
C、借助方法三探索多边形内角和：
n边形被分成n-1个三角形，它的内角和就等于（n-1）×180°-180°。
问题：对于n边形的内角和，你们用了多种方法去探索，这几种方法得出的n边形的内角和一致吗？
引导学生得出(n-2) ×180°= n×180°-360°=（n-1）×180°-180°。
引导学生观察这几种方法都是把多边形转化成多个三角形来解决问题，得到n边形的内角和公式。
设计意图：从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，学生借助表格，自己观察总结规律，猜想出n边形的角和，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
（四）、应用新知，尝试练习。
问题1、你说一个多边形，让你的同桌算一算这个多边形的内角和是多少？
问题2、一个多边形的内角和等于1260，它是几边形？
问题3、现在大家算一算：正五边形与正六边形的每一内角分别是多少度呢？
问题4、一个多边形每个内角为150°，则这个多边形为几边形？你是如何算出来的？
问题5、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
设计意图：请学生应用公式计算，使他们体会到公式的便利作用，及应用自己研究成果的愉悦；用公式解决引入时的实际问题，首尾呼应，体现新知的应用价值，使学生获得成功感。
（五）、归纳总结，形成体系。
通过本节课你有哪些收获？
（六）、布置作业，巩固提高。
课本第84页第2、4；
思考题：某多边形的内角和减去某个角（小于）后度数为，求这个角的度数及多边形的边数。
文昌市龙楼中学 黄良师
一、教学目标
【知识与技能】
1、掌握多边形内角和，并能熟练运用；
2、通过探究多边形的内角和，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何。
【过程与方法】
1、经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法；
2。经历探索多边形内角和公式的过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。
【情感态度与价值观】
1、通过猜想、推理等数学活动，感受数学充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习数学的热情。
2、通过师生共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
二、教学重点难点
重点：探索多边形内角和公式。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
三、教学过程
（一）设置悬念，引出新课。
足球有32块皮子，一般用12块黑的正五边形皮子与20块白的正六边形皮子。那么大家知道正五边形与正六边形的每一内角分别是多少度呢？
通过今天的学习，我们就能明白其中的道理，引出课题。
设计意图：从学生感兴趣的问题出发，设置悬念，引入课题。
（二）合作交流，探索新知。
1、探究活动一：探索任意四边形的内角和
（1）引发猜想：
A、三角形内角和等于多少度？与三角形的形状有关吗？
B、正方形、长方形的内角和是多少？由此你能猜想任意凸四边形内角和吗？解决这个问题最直接的方法是什么呢？
设计意图：回顾三角形、正方形、长方形内角和，促使学生对新问题进行思考与猜想。
（2）度量操作：
学生分小组，分工协作画一任意四边形，借助量角器度量出四边形的各个内角，并计算所画四边形的内角和，你能得出什么结论？
（小组得出的结论可能会有不同，引导学生注意度量时有误差．教师可教师可借助几何画板课件演示度量结果，帮助学生用度量的方法得出任意四边形的内角和是360°）
设计意图：让学生亲自操作度量寻求结论，易于引起学习兴趣，提供感性认知，培养动手能力。
（3）、理论论证
度量法是解决四边形内角和最直接的方法，但是它也有不足的地方。能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。
学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。
学生使用的方法可能有：
①过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为2×180°；
②画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，内角和为4×180°-360°；若在四边形内部任取一点，如图3，也可以得到相应的结论；
③这个点还可以取在边上（若与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线；否则如图4）内角和为3×180°-180°；
④点还可以取在外部，如图5内角和为3×180°-180°，让学生课后思考这种方法；
设计意图：从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。并通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
（4）教师总结：
利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和，体现了化未知为已知的转化思想。以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和。下面我们可以选用你最喜欢的方法来探究四边形、五边形、六边形，甚至任意n边形的内角和。
（三）自主探究，得出结论
探究活动二：探索任意多边形的内角和
（1）、要求：选择活动一中一种分割多边形的方法，分别求出四边形、五边形、六边形的内角和等于多少度？n边形的内角和等于多少度？（n是大于或等于3的整数）并完成以下表格。
多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和 计算规律
四边形 4
五边形 5
六边形 6
七边形 7
… … … … … …
n边形 n
（2）、请一些小组展示探究成果
A、借助方法一探索多边形内角和：
引导学生寻找规律，归纳得到n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°
B、借助方法二探索多边形内角和：
n边形被分成n个三角形，它的内角和就等于n×180°-360°。
C、借助方法三探索多边形内角和：
n边形被分成n-1个三角形，它的内角和就等于（n-1）×180°-180°。
问题：对于n边形的内角和，你们用了多种方法去探索，这几种方法得出的n边形的内角和一致吗？
引导学生得出(n-2) ×180°= n×180°-360°=（n-1）×180°-180°。
引导学生观察这几种方法都是把多边形转化成多个三角形来解决问题，得到n边形的内角和公式。
设计意图：从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，学生借助表格，自己观察总结规律，猜想出n边形的角和，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
（四）、应用新知，尝试练习。
问题1、你说一个多边形，让你的同桌算一算这个多边形的内角和是多少？
问题2、一个多边形的内角和等于1260，它是几边形？
问题3、现在大家算一算：正五边形与正六边形的每一内角分别是多少度呢？
问题4、一个多边形每个内角为150°，则这个多边形为几边形？你是如何算出来的？
问题5、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
设计意图：请学生应用公式计算，使他们体会到公式的便利作用，及应用自己研究成果的愉悦；用公式解决引入时的实际问题，首尾呼应，体现新知的应用价值，使学生获得成功感。
（五）、归纳总结，形成体系。
通过本节课你有哪些收获？
（六）、布置作业，巩固提高。
课本第84页第2、4；
思考题：某多边形的内角和减去某个角（小于）后度数为，求这个角的度数及多边形的边数。