郧阳中学2025级高一年级上学期10月第一次考试
数学试卷
本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式和一元二次不等式化简集合，再根据集合补集和交集的概念求解即可.
【详解】由可得，解得，所以，
由解得，所以，
所以或，
所以，
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案.
【详解】由，得到，
又因为，所以，故C正确；
当时，，故AD错误；
，故B错误.
故选：C
3. 若函数在上为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解.
【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称，
则，所以，
函数为奇函数，
所以，
所以时，，
所以.
故选：A.
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】应用分段函数性质结合二次函数单调性即可判断.
【详解】函数，
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
5. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式．
【详解】因为，
当时，，不合题意；
当时，，
不等式可得，解得，所以；
当时，，
所以不等式等价于，即得解得，
所以
综上可得.
故选：A
6. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围．
【详解】令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，，
题目中p为假命题，所以或，
将不等式变形为，又，即，
令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，，
结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为．
故选：A．
7. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断的大小，即可判断出答案.
【详解】依题意，，，，
即，所以函数在上单调递增．
又，，所以函数是R上的偶函数，
所以,则有，所以，
故选：B．
8. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先根据定义求出，，，，再根据，分别求出，，，，由可以得到的定义域是，由求出的范围，即得的值域.
【详解】因为，，，，所以，，，，∴，①错误；
，②错误；
因为，，所以，故③正确；
的定义域是，因为，所以，
即，∴值域是，故④错误．
综上，正确的命题个数为1个.
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ）
A. 已知的定义域为，则的定义域为
B. 若是一次函数，满足，则
C. 函数的值域为
D. “”是“不等式对一切实数x恒成立的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可判断A；利用待定系数法求解析式可判断B；将函数变形为，先求出的范围即可求出的范围可判断C；根据不等式，利用分类讨论思想，建立不等式判断D．
【详解】对于A，因的定义域为，则,可得，
需满足，解得且,
所以的定义域为：，故A错误；
对于B，因为是一次函数，设，
则，
可得，
解得或，
所以或，故B错误；
对于C，因，
由可得，则，
则，则，故C正确；
对于D，由不等式恒成立，
等价于或，
即得，故D错误.
故选：ABD
10. 下列是真命题的是（ ）．
A. 已知，且，则 的最大值为5
B. 已知，则的取值范围为
C. 已知且恒成立，实数的最大值是
D. 若则的最大值是6．
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D.
【详解】对于A， 且，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值，故A错误；
对于B，由，可得，
又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确；
对于C，由题意，，，，
所以转化为，
可得，即，
因为，
当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确；
对于D，由可得，
两边同乘以，
，
又因为，所以，
当且仅当时等号成立，
令，则有，即，
解得，因此的最小值为，
此时且满足；
的最大值为，此时且满足，故D正确．
故选：BCD
11. 函数在区间上值域为，则称为的“k倍增区间”，则（ ）
A. 若为．的“1 倍增区间”，则b=1
B. 二次函数存在“2倍增区间”
C. 函数存在“1 倍增区间”
D. 若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数“k倍增区间”的定义，对于A，由求解即可判断，对于B，假设存在“2倍增区间”，结合函数单调性得到求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到求解即可判断，对于D，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断．
【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为，
若为的“1 倍增区间”，则，则或（舍去），故A正确；
对于B，若函数存在“2倍增区间”，设定义域为，值域为，
当时，函数在定义域上单调递增，则，
则a，b是方程的两个不相等的实数根，解得或，
故存在定义域为使得值域为，故B正确；
对于C，函数中x的取值范围为，
若存在“1倍增区间”，则必有或，
函数在，递减，
则，则，
解得或，均不符合题意，故C错误；
对于D，因为函数在上单调递减，
若存在“1倍增区间”，
则有，即，
两式作差得，即，
又，所以，故，
所以，设，，则，
即是的一个根；
同理也是的一个根，
即在区间上有两个不相等的实数根，
只需，解得，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解之即可．
【详解】对任意的实数，都有，即异号，
故是上的减函数；
可得：，解得．
故答案为：
13. 若正数，满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.
【详解】解：因为正数，满足，
则有，即，
，即，
所以，
当且仅当即，又，
即，时取得最小值，且最小值为．
故答案为：．
14. 记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下三个结论：
①函数为单调函数；
②对于任意的，或；
③集合（常数）中有且仅有一个元素；
其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②
【解析】
【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集.
【详解】，且，则，则
，即，
所以函数为单调函数，故①正确；
当时，，
有，，
此时，
当时，，，，此时，故②正确；
当时，，当时，，
结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误；
故答案为：①②
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若，求函数的最大值；
（3）已知函数的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值；
（3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围.
【小问1详解】
由已知可得：，解得：.
所以二次函数的表达式为：.
【小问2详解】
由题可知：的对称轴为：.
所以函数在上单调递增；在上单调递减.
当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为；
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为；
当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为.
综上所述，函数的最大值.
小问3详解】
由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数.
所以在上有解，即在上有解.
所以，即.
解得：，或.
故实数的取值范围是.
16. 设函数
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；
（2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1．
【答案】（1），
（2）{1} （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可；
（2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可；
（3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
由题意知，0和b是方程的根，且，
所以，解得，
小问2详解】
由，即，
即对于实数时恒成立，
则，解得，则x的取值范围为{1}
【小问3详解】
由，则，
当时，不等式可化为，即，解集为，
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且，
（1）求a，b的值
（2）判断在上的单调性，并证明．
（3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值；
（2）用定义法证明即可；
（3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
，即，又，即，
经检验，该函数为奇函数，
故.
【小问2详解】
在上单调递增，
证明如下：
任取，
其中，所以，
故在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）知在上单调递增，则，
任意的，总存在，
使得成立等价于，即，
即存在使得成立，
令，
①当，即时，的根为符合题意；
②当且时，即时，恒成立，不符合题意；
③当且时，；
④当且时，即时，
的对称轴为，且存在使得成立，
即，解得，
⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意，
综上所述，实数的取值范围为：.
18. 设为实数，已知函数．
（1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围；
（2）设集合．
①若中恰有一个整数，求的取值范围；
②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①，②.
【解析】
【分析】（1）利用根与系数关系可得，再将目标式转化为含有、的表达式，进而求范围.
（2）①根据二次函数的性质只需保证即可求的取值范围；②由已知可得，又只需保证即可求参数范围.
【小问1详解】
由题设，且，
∴.
【小问2详解】
①由的开口向上，对称轴为，且判别式恒大于等于0，
∴要使的解集中恰有一个整数，则，
∴.
②由题设，，又，
∴，
，则，
∴.
19. 定义，．
（1）用解析式表示并求的最小值；
（2）证明：
（3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）按，的大小分类，得到的解析式；
（2）按的大小分类证明即可；
（3）令，，由第（2）小问知：，，然后把题意转化为，都大于等于2，对任意恒成立，可得答案.
【小问1详解】
设，．
当或时，，故；
当时，，故．
因此，，
的最小值为1；
【小问2详解】
当时，
等式右边；
当时，，
等式右边；
【小问3详解】
依题意知：在[0，4]上的值域是在上的值域的子集，
由于在上单调递增，值域为，
因此，只需满足对任意，有．
，
，
令，，，
由（2）知：，，
要使对任意恒成立，
又对任意恒成立，
所以只需对任意恒成立，
当时，不成立；当时，，故.郧阳中学2025级高一年级上学期10月第一次考试
数学试卷
本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若函数在上为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
5. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数的四个命题： ②； ④y=f（x）的定义域是，值域是则正确的命题的个数是（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ）
A. 已知的定义域为，则的定义域为
B. 若是一次函数，满足，则
C. 函数的值域为
D. “”是“不等式对一切实数x恒成立的充要条件
10. 下列是真命题的是（ ）．
A. 已知，且，则 的最大值为5
B. 已知，则的取值范围为
C. 已知且恒成立，实数的最大值是
D. 若则的最大值是6．
11. 函数在区间上值域为，则称为“k倍增区间”，则（ ）
A. 若为．的“1 倍增区间”，则b=1
B. 二次函数存在“2倍增区间”
C. 函数存在“1 倍增区间”
D. 若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，满足对任意实数且，都有，则实数a的取值范围是______.
13. 若正数，满足，则的最小值为________.
14. 记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下三个结论：
①函数为单调函数；
②对于任意的，或；
③集合（为常数）中有且仅有一个元素；
其中，所有正确结论的序号是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若，求函数的最大值；
（3）已知函数的值域为，求实数的取值范围.
16. 设函数
（1）若关于x不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；
（2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1．
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且，
（1）求a，b的值
（2）判断在上单调性，并证明．
（3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
18. 设为实数，已知函数．
（1）若，是方程的两个不等实根，求的取值范围；
（2）设集合．
①若中恰有一个整数，求的取值范围；
②设集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
19 定义，．
（1）用解析式表示并求的最小值；
（2）证明：
（3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围．
