山东名校考试联盟
高三年级数学试题（A卷）参考答案 2025.11
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D C C A B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ABD
11. 【解析】
对于 A：因为 an 1 an 2an a
2
n 1 (an 1)
2≤0 ，所以an 1 0即可使得{an}单调递减，
所以 an 1 0且 an 1 1 0，所以 a 1且 a 2，所以 A对.
对于 B：只有当 a 1或 a 2时， an 1 an，所以 B对.
a 3a a 2 1 (a 3)2 5 5 5 3对于 C：因为 n 1 n n n ≤ ，所以当 ak 时， ak 1 ，因为 a 2，且2 4 4 4 2
a 5 3n 1≤ ，所以不存在 k N ，使 ak .则 C错.4 2
对于 D：因为 an 1 1 3a
2
n an 2 ( an 1)(an 2) ，
1 1 1 1 1 1 1
所以 ( ) an 1 1 ( an 1)(an 2) a 1 a 2
，则
n n an 1 an 1 1 an 2
，
1 1 1 1 1 1 1累加得 a1 2 a2 2 an 2 a1 1 an 1 1 2 a
，
n 1 1
1 1
因为 a 3，所以 a2 1，又因为{an}单调递减，所以 an 1≤ 1，则 - ≤ 02 a 1 ，n 1
1 1 (1所以 ,1]2 a 1 2 ，所以 D对.n 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. 9； 13. y x或 y ex 1（写出其中 1个即给满分）； 14. [e, ) .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】 （1）方法一：令 a b 0，所以 2 f (0) f 2(0)，所以 f (0) 0或 2 ......1分
当 f (0) 0时，令 a 1，b 0，所以2 f (1) 0 2，所以 f (0) 0 .............................2分
1
综上， f (0) 2 .····················································································· 3分
方法二：令 a 1，b 0，则 2 f (1) f (1) f (0) ，因为 f (1) 1，
所以 f (0) 2 ························································································3分
（2）因为 f (x)的定义域为R ，关于原点对称.············································· 4分
令 a 0,b x，所以 f (x) f ( x) f (0) f (x) 2 f (x) ，所以 f ( x) f (x) .
综上， f (x)为R 上的偶函数.····································································6分
（3）因为 f (x 1) f (x 1) f (x) f (1) f (x) ，··········································· 8分
所以求 f (x) f (2 x)即可.
由（2）得 f (x)为R 上的偶函数，且 f (x)在[0, )上单调递减，
所以 x 2 x ，··················································································· 10分
解得 x 1 .则不等式 f (x 1) f (x 1) f (2 x) 的解集为 (1, ) . ················· 13分
16. 【解析】（1） a1 S1 2a1 2 1 2，a1 4， a1 2 6， ......................................1分
由 Sn 2an 2n 2，得 Sn 1 2an 1 2 n 1 2,n 2，....................................................2分
an Sn Sn 1 2an 2n 2 2an 1 2 n 1 2 2an 2an 1 2,n 2，
所以 an 2an 1 2,n 2，......................................................................................................4分
an 2 2a n 1 2 2故 2,n 2a 2 a 2 ，.....................................................................................5分n 1 n 1
所以数列 an 2 是以 6为首项，2为公比的等比数列．................................................6分
（2） an 2 6 2
n 1 3 2n，所以 an 3 2
n 2，.........................................................8分
2n 2n 1 1 1
故 a nn an 1 3 2 2 3 2n 1 2 3 3 2n 2 3 2n 1 2 ，................................10分
2 n
所以T
2 2 2
n a1 a2 a2 a3 an an 1
1 1 1
n 1 ，.....................................................................................................12分3 4 3 2 2
1 1 1
n 1 ，........................................................................................................14分12 3 3 2 2
1
．...................................................................................................................................15分
12
17.【解析】
（1）因为 c2 b(b a)，由余弦定理 c2 b2 a2 2ab cosC ，得 a b 2b cosC，
a b c
利用正弦定理 得， sin A sin B 2sin B cosC ，
sin A sin B sinC
2
又因为 sin A sin(B C) ，所以 sin(B C) sin B 2sin BcosC ，化简得 sin(C B) sin B…4分
0 B π ,0 C π π C B π因为 ，所以 ，
2 2 2 2
又因为 sin(C B) sin B 0，所以 0
π
C B ， .…….……………5分
2
所以C 2B .…….……………6分
（2）由(1)知C 2B，所以 A π 3B，因为 a 2，
a b c 2 b c 2sin 2B
利用正弦定理 得， ，所以 c ， …………8分
sin A sin B sinC sin A sin B sin 2B sin A
设三角形 ABC的面积为 S ，
S 1 ac sinB c sinB .…….……………9分
2
2sin 2Bsin B 2sin 2Bsin B 2sin 2Bsin B
.…….……………10分
sin A sin3B sin 2BcosB cos2Bsin B
2 2 4
1 1 1 1 tan
2 B 3 tan B ， .…….………………11分
tan B tan 2B tan B 2 tan B tan B
0 B
π
2
因为 0 C 2B
π
, π B π所以 3，
2 tan B 1
， .…….……………13分
6 4 3
0 A π 3B π
2
S 4
令 t tanB,t ( 3 ,1) ，则 3 S(t) t ，因为 在 (
3 ,1)上单调递增，
3 t 3
3
所以 S ( ,2) 3，即三角形 ABC面积的取值范围为 ( ,2) ..…….…………15分
2 2
【注】第（1）问没有求C B和 B的范围扣 1 分.
1 3 3
18.【解析】（1）若 a 0， f (x) x3 x2，则 f (x) x2 x．……………3 分
3 4 2
故 f (x)在区间 , 0 3和 ,
3
上单调递增，在区间 0, 上单调递减．………………4 分
2 2
2 3
（2）因为 f x x x aex ，若 f (x) 有两个极值点，则 f (x)有两个变号零点，即函数
2
x2 3 x
y 2 a有两个变号零点．……………………………………………………………6 分
ex
x2 3 x 1 1
令 F (x) 2 a，则 F x x 2x 1 x 3 ．故 F (x)在区间 , 和 3, 上单
ex 2e 2
3
1
调递减，在区间 ,3
上单调递增，且当 x 时， F(x) a．………………8 分
2
1 e e
故 F a 0且 a 0，解得 a 0．……………………………………10 分
2 2e 2e
（3）当 a 0时，函数 g(x) f (x)
1 3
x3 x2 aex ，则 g (x)
3
x aex．
3 4 2
g x1 x2 3 x1 x
x1 x2
于是 2 ae 2 ,……………………………………………………11 分
2 2 2
3 2
g x g x x1 x22 a4 e
x1 ex2
1 2 3 x1 x2 x x e e a ,……………………12 分
x1 x2 x1 x 4
1 2
2 x1 x2
故
x1 x2
g x1 x
g x g x ex1 ex2 x1 x2 ae 2 x2 x1 x2 x 12 1 2
a e 2 e 2 e 2 x x
2 x1 x
2 x x
x x 2 1 1 2 2 1
……………………………………………………………14 分
x x t x不妨设 ，令 2
x1 0 t t2 1 ，考虑函数G t e e 2t，2
则G t et e t 2 2 et e t 2 0，又 t 0，故不等式取等号不成立，则G (t) 0．函数
G t 在区间 0, 上单调递增，故G(t) G(0) 0．…………………………………………16 分
x x x2 x1 x2 xG 2 1 0 1于是 ，即 e 2 e 2 x x 0． 2 2 1
又 a 0，因此
x1 x2
x x 2 x2 x1 x2 x1g 1 2
g x
1
g x2 ae
e 2 e 2 x x 0,
2 x1 x
2 1
2 x2 x1
不等式得证． ……………………………………………………………17 分
19.【解析】（1）因为
sin 3x sin x 2x sin x cos 2x cos x sin 2x
sin x 1 2sin2 x 2sin x cos2 x
sin x 1 2sin2 x 2sin x 1 sin2 x 3sin x 4sin3 x,
……………………………………………………………2 分
f x sin x sin 3x故 2 2sin x
4
sin3 x 2 sin x 3 2sin2 x ．……………………………3 分
3 3 3
因为3 2sin2 x 3 2 1 0，则由 f2 x 0可得 sin x 0，解得 x k , k Z．
故函数 f2 (x)的所有零点为{x∣x k , k Z}．………………………………………………5 分
（2）因为
4
sin 5x sin(2x 3x) sin 2x cos3x cos 2x sin 3x
2sin x cos x 4cos3 x 3cos x 1 2sin2 x (3sin x 4sin3 x)
2
2sin x 2 2 2 3 4 1 sin x 3 1 sin x 1 2sin x 3sin x 4sin x
16sin5 x 20sin3 x 5sin x.
……………………………………………………………7 分
故
f sin 3x sin 5x3 x sin x 3 5
sin x 1 3sin x 4sin3 x 1 16sin5 x 20sin3 x 5sin x
3 5
3sin x 16 16 sin3 x sin5 x,
3 5
……………………………………………………………8 分
令 t sin x [ 1,1]
16 3 16 5
，函数 F t 3t t t ，则F t 3 16t2 16t4 4t2 1 4t2 3 ．
3 5
……………………………………………………………9 分
由 F( t) F(t)
1 3
可知 F (t)为奇函数，只需考虑区间 [0,1]上的情形．当 0 t 或 t 1时，
2 2
F (t) 0，函数 F (t) 1 t 3单调递增；当 时， F (t) 0，函数 F (t)单调递减．
2 2
……………………………………………………………10 分
F 0 0 F 1 14
3 F 2 3 F 1 13而 ， ， ， ．
2 15
2 5 15
14 14
于是函数 f3(x)的值域为 , ．…………………………………………………11 分 15 15
（3）利用
2sin x cos 2k 1 x sin 2k 1 x x sin 2k 1 x x sin 2kx sin 2k 2 x
可知当 x k ， k N 时，
f x cos x cos3x cos 2n 1 x sin 2x 0 sin 4x sin 2x sin 2nx sin 2n 2 x sin 2nxn ,2sin x 2sin x 2sin x 2sin x
………………………………………………………………12 分
k
令 fn (x) 0可得 x ，2n k N
．…………………………………………………………13 分
为了求 fn (x)的最大值，由(2)及 f ( x) f (x)可知只需考虑0 x 的情形．2
(k 1) 2k 1
设 k N ，当 x
时， f (x) 0，函数 f (x)单调递增；
n 2n n n
5
2k 1
当 x k 时， f
2n n n
(x) 0，函数 fn (x)单调递减．
f (x) 2k 1x 故 n 的极大值点为 ， k N ． …………………………………14 分2n
1 k n 1 k x 2k 1
2k 1
当 和 时，令 g x k fn x f
n x
f
n f2 2n n n
，
n 2n 2n
则
sin 2n x
g x f x f x sin 2nx 2n n n
2n 2sin x 2sin x
2n
sin 2nx sin x sin 2n
x
sin x
2n 2n sin 2nx sin x
sin x 0,
2sin x sin x 2sin x 2n
2n 2n
sin x
g(x) k 2k 1 2k 1 故 在区间 ,
k
上单调递减，故 g g
0，
n 2n
2n n
2k 1 2k 1
即 fn fn f
2n 2n n 2n
．
因此 fn (x)在区间[0, 2 ]
(2n 1)
上的最大值为 fn 或 fn ． ………………………15 分
2n 2n
2n 1
故集合M m∣m 2 k 或 2 k , k 0,1,2, , 49 ，共100个元素．……16 分
2n 2n
对于集合M 中的每个元素m，含有元素m的子集有 299个，于是集合M 中的所有非空子集的元素
之和为
49
99 2n 1 492 2k 2k 299 4k 299 4950 2100 2475
k 0 2n 2n k 0
…………………………………………………………17 分
6机密★启用前
试卷类型A
山东名校考试联盟
2025一2026学年高三年级上学期期中检测
数学试题
2025.11
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2一2x-3≤0}，B={x0A.{x|一1≤x≤0或2≤x≤3}
B.{x|-1≤x≤0或2C.{x|-1≤x<0或2≤x≤3}
D.{x|-1≤x<0或22.已知复数z十为定致单位，侧1：1=
A.5
B.√5
29
0哈
3.已知向昼a,b不共线，m=xa+ba∈R0,a=a+2b,则“X=是”是“m∥”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分又不必要条件
4.函数f(x)=
5sinlx
x2+1
的图象大致是
高三数学试题第1页（共4
5若函数f(x)-snc十cos(z十p5(~受<<受)的最大值为1，则常数p的值为
A-号
B.一6
c
6.已知函数f(z)=(x十3)3十4，等差数列{am}的前n项和为Sm,且a1=1,S4=一2，则
f(a1)十f(a2)十f(ag)十…十f(ag)=
A.18
B.20
C.36
D.40
7.如图所示，在平面四边形ABCD中，BC=2AB=2,∠ABC=120°，
∠ACD=90°，∠ADC=60°，则BD的长度为
A5
B4⑧
3
C.5
、23
0.3
第7题
一x2-2x十2，x≤0
8.已知函数f(x)=
,若函数g(x)=f(x)一af(x)十6有8个不同的零
Inzx>0
点，则实数a的取值范围是
A.(2√6,5]
B.(2√6,5)
C.(4,5]
D.(4,5)
二、选择题：本题共：3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sin(2ax十p)(知>0，lp<受)的最小正周期为，且fx)≤f(g),则
A.w=2
Bp=女
4
Cy-fx)的图象关于(-吾，0)对称
Dfx)在（受，受）单调递诚
10.已知向量a,b满足a|=2b|=2,且对任意的实数t,a十b|≥|a一b|恒成立，则下列结
论正确的是
A.la+b|=√7
B.a·（4b-a)=0
C.a在b上的投影向量为2b
D,当4幼-a+2b-Aa取最小值时，A=号
高三数学试题第2页（共4页）机密★启用前 试卷类型 A
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２０２５－２０２６学年高三年级上学期期中检测
数 学 试 题 ２０２５．１１
注意事项:
１．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
２．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
３．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
１．已知集合A＝{x|x２－２x－３≤０},B＝{x|０＜x≤２},则 AB＝
A．{x|－１≤x≤０或２≤x≤３} B．{x|－１≤x≤０或２＜x≤３}
C．{x|－１≤x＜０或２≤x≤３} D．{x|－１≤x＜０或２＜x≤３}
已知复数 １＋２i２． z＝ (i为虚数单位),则３－４i |z|＝
２５ ５
A．５ B．５ C．５ D．５
１
３．已知向量a,b不共线,m＝λa＋b(λ∈R),n＝a＋２b,则“λ＝ ”是“２ m∥n
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
５sin|x|
４．函数f(x)＝ ２ 的图象大致是x ＋１
A． B． C． D．
高三数学试题 第 １页 (共４页)
５．若函数
π π
f(x)＝sinx＋cos(x＋φ)(－ ＜φ＜ )的最大值为１,则常数φ 的值为２ ２
π π π π
A．－３ B．－６ C．６ D．３
６．已知函数f(x)＝(x＋３)３＋４,等差数列 {an} 的前n 项和为Sn,且a１＝１,S４＝－２,则
f(a１)＋f(a２)＋f(a３)＋ ＋f(a９)＝
A．１８ B．２０ C．３６ D．４０
７．如 图 所 示,在 平 面 四 边 形 ABCD 中,BC ＝２AB ＝２,∠ABC ＝１２０°,
∠ACD＝９０°,∠ADC＝６０°,则BD 的长度为
５３ ４３
A．３ B．３
２３
C．３ D．３
－x２－２x＋２,x≤０
８．已知函数f(x)＝{ ,若函数g(x)＝f２(x)－af(x)＋６有８个不同的零|lnx|,x＞０
点,则实数a 的取值范围是
A．(２６,５] B．(２６,５) C．(４,５] D．(４,５)
二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分.
９．已知函数f(x)
π π
＝sin(２ωx＋φ)(ω＞０,|φ|＜ )的最小正周期为π,且f(x)２ ≤f
( ),则
８
π
A．ω＝２ B．φ＝４
C．y＝f(x)的图象关于(
π
－ ,０)对称
π π
８ D．f
(x)在( , )单调递减４ ２
１０．已知向量a,b满足|a|＝２|b|＝２,且对任意的实数t,|a＋tb|≥|a－b|恒成立,则下列结
论正确的是
A．|a＋b|＝ ７ B．a (４b－a)＝０
C．a 在b上的投影向量为２b D．当
２
|４b－λa|＋|２b－λa|取最小值时,λ＝３
高三数学试题 第 ２页 (共４页)
１１．已知数列{an}满足a１＝a,a ２ n＋１＝３an－an－１(n∈N ),则下列说法正确的是
A．若a≠１且a≠２,则{an}单调递减
B．若存在无数多个n 使得an＋１＝an,则a＝１或a＝２
C．当
５
a＞２时,存在k∈N 使ak＝４
D．当a＝３时,
１ １ １ １
＋ ＋ ＋ ∈( ,]a１－２ a２－２ an－２ ２ １
三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分.
１２．已知
４ １
０＜x＜１,则函数y＝ ＋ 的最小值为x １－x ．
１３．若直线l 为曲线f(x)＝ex －１与g(x)＝lnx＋１的公切线,则直线l 的方程可以为
．(写出符合条件的一个方程即可)
１４．若存在x∈(０,＋∞),使ax２≥ex＋axlnx 成立,则a 的取值范围为 ．
四、解答题:本题共５小题,共７７分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
１５．(１３分)
若函数f(x)的定义域为R,且f(a＋b)＋f(a－b)＝f(a)f(b),f(１)＝１．
(１)求f(０)的值;
(２)判断f(x)的奇偶性并证明;
(３)若f(x)在[０,＋∞)上单调递减,求不等式f(x＋１)＋f(x－１)＜f(２－x)的解集．
１６．(１５分)
已知Sn 为数列{an}的前n 项和,且满足Sn＝２an－２n－２(n∈N )．
(１)证明:数列{an＋２}为等比数列;
(２)设数列{ ２
n
}的前n 项和为Tn,证明: １a a Tn＜ ．n n＋１ １２
１７．(１５分)
在锐角三角形ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c２＝b(b＋a)．
(１)求证:C＝２B;
(２)若a＝２,求三角形ABC 面积的取值范围．
高三数学试题 第 ３页 (共４页)
１８．(１７分)
已知函数 ( ) １ ３ ３f x ＝ ２ x( )３x －４x －ae a∈R ．
(１)若a＝０,讨论f(x)的单调性;
(２)若f(x)有两个极值点,求实数a 的取值范围;
(３)当
１
a＞０时,设函数g(x)＝f(x)－ x３,g′(３ x
)为g(x)的导函数．证明:对任意的x１,
x１＋x２ g(, ( ) x１
)－g(x )
x２∈R 有
２
g′ ２ ＞ x －x ．１ ２
１９．(１７分)
设函数 sin３x sin
(２n－１)x
fn (x) ＝sinx＋ ＋ ３ ＋
, ,
２n－１ x∈Rn∈N
．
(１)求函数f２(x)的所有零点;
(２)求函数f３(x)的值域;
(３)对于给定的大于１的正整数n,设集合 M＝{m|对任意x∈R,均有fn(x)≤fn(m),
且０≤m≤１００π}．求集合M 中所有非空子集的元素之和．
高三数学试题 第 ４页 (共４页)
