苏教版高中选修3-3 3.2 球面上的直线

课件17张PPT。§ 3.2 球面上的直线 空间或平面内的两点决定一条线段，这条线
段是连结这两点的最短曲线，那么对于球面上的
两点，连结这两点的什么样的球面曲线最短？
准备一条足够长的细绳、一支铅笔、一块橡皮、一个皮球、一把剪刀.
（1）制作一段长度等于大圆周长的细绳；
（2）给定皮球上两点，利用长度等于大圆周长的那段细绳画出过这两点的大圆劣弧，再过这两点画一条别的曲线，分别用细绳丈量，比较它们的长度；
（3）与同学交流. 如图，从北京到纽约，选择什么线路才能使路程最短？是从北京乘飞机向东飞？还是经过北极地域？
上述飞行航线问题可以转化为下面的数学问题： 例1、如图，设A，B是半径为R的球面上的两点，∠AOB= ,小圆D是以AB为直径的圆，且所在平面垂直于OD.试比较连结A,B两点的劣弧 与小圆D上连结A,B两点的圆弧的长短.解：A,O,B构成一个等边三角形，连结A,B两点的劣弧 = R.线段AB长是R，因此小圆D的半圆周长是 R.由于 R 解：A,O,B构成一个等边三角形，连结A,B两点的劣弧 = R.线段AB长是R，因此小圆D的半圆周长是 R.由于 R< R,所以连结A,B的劣弧比连结A,B两点的这一段小圆弧短.
即从A点出发向东飞行到点B，与经过北极沿着大圆弧飞行到点B的路线相比，后一种飞法要好.地球半径R=6400千米，这时行程缩短了

R - R= R≈3350（千米） 如图，过线段AB的圆很多，把这些圆都放在同一平面内，半径较大的圆上由A,B决定的同一侧的弧较短，而且半径越大，连结A,B的劣弧与弦AB越接近.因为地球近似于球体，在地面两点之间的最短航线应该是大圆的一段劣弧，沿它飞行的航线叫做直航线.
对于球面上的一对对径点，
连结它们的大圆弧很多，它们
的长度都是πR. 结论球面三角形 设A,B,C是球面上不在同一个大圆上的三点，它们两两不是对径点，我们把这三点及连结它们的大圆的三条劣弧 ， , 构成的图形叫做球面三角形（spherical triangle),记作ΔABC.三边的弧长叫球面三角形的三边长. 例2 是否存在球面ΔABC,使A+B=π或A+B>π?
解：如图(1)，OC⊥OA,OC⊥OB,则 , 与 都垂直，A=B= , 自然，也可以取球面ΔABC，使此三角形三边所在平面两两垂直，即OC⊥OA,OC⊥OB,
OA⊥OB，这时球面ΔABC的三个内角都是直角.如图(2)，球面ΔA'BC是三内角都是 的三角形，在 上取点A，过A作大圆交 于C，使得∠BAC> =∠ABD.这样的球面ΔABC满足A+B=π. 球面ΔABC的任意两边之和大于第三边
定理2.1证 我们以证明 为例，由于

因此 成立的充要条件是∠AOC+∠COB>∠AOB.
证明如下：
不妨设∠AOB>∠AOC.如图，考虑四面体
O-ABC，在AB上取点D，使∠AOD=∠AOC，
在线段OC上取点C',使OC'=OD,
于是ΔAOD与ΔAOC'全等，AD=AC'.
在ΔABC',
AB因而 DB在ΔODB与ΔOC'B中，OD=OC',OB=OB,
于是从 DB可得 ∠COB=∠C'OB>∠DOB.
所以 ∠AOC+∠COB>∠AOB.定理2.2 设A,B不是对径点，则在连结A,B的所有可求长曲线中，大圆劣弧是最短的，且最短曲线只有这一条. 球面上的曲线有的可求长度，也有不可求长度.我们有 球面直线：球面上的大圆是球面上的直线.大圆弧是球面上的线段.
如果A,B是球面上的一对对径点，在连结A,B的所有可求长曲线中，半大圆是最短的，连结A,B的半大圆有许多，它们的长相同，都是最短曲线.
球面距离：过圆上不是对径点的A,B的大圆上劣弧的长.
极点：设大圆Γ 所在平面垂直与AA'，则 Γ与Γ1，Γ2都垂直，称A,A'是Γ的两个极点.
定义： 平面上到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
球面上到定点的距离等于r( ,且是一个正常数)的点的轨迹是圆.这个圆是一个平面与球面的交线.它的半径是 ,圆周长是 .1、球面三角形的概念；
2、球面直线、球面距离的概念；
3、定理2.1
4、定理2.2
谢谢指导！