苏教版高中选修3-3 3.3.1 球面三角形的面积

课件14张PPT。§3.3.1球面三角形的面积单位球面：半径为1的球面称为单位球面.
S球面积=4πR2.
球面二角形：设AA'是单位球面的一条直径，B,C是垂直于AA'的大圆上两点，θ=∠BOC.由过点A, B，A'；A,C,A'的两个半平面构成一个二面角，此二面角在球面上划出的图形叫做球面二角形（也称月形）.相关概念顶点A,A'处的角叫做二角形的角，
大小θ=∠BOC.
此二角形的面积= =2θ.
如果记二角形的角为A，则S=2A. 1、 把单位球面分成8个全等的三角形，其中一个是球面ΔABC，它的面积是球面积的 ，即
SΔABC= ·4π= .
注意到ΔABC的各边所在大圆互相垂直，内角都是 ，这样就有
特殊到一般： 2、把单位球面分成12个全等的球面三角形，使过北极的每一角都是θ= ,这样的球面三角形的面积都是 ，我们也发现
,定理3.1 单位球面上ΔABC的三个内角分别为A,B,C那么ΔABC的面积是SΔABC=A+B+C-π.证 如图，设A',B',C'分别是点A,B,C的对径点，
ΔA'B'C'是ΔABC关于球心O对称的两个三角形，它们的面积相等.球面ΔABC与ΔA'BC构成球面上一个三角形，这两个三角形的面积和是2A，
即 SΔABC+SΔA'BC=2A.
同理有
SΔABC+SΔAB'C=2A.
SΔABC+SΔABC'=2A.将这三个等式两边相加，得
3SΔABC+SΔA'BC+SΔAB'C+SΔABC'=2(A+B+C). （*）
因为四个三角形ΔABC，ΔA'BC，ΔAB'C，
ΔABC'拼成一个半球面，又SΔABC'=SΔA'B'C,从而
SΔABC+SΔA'BC+SΔAB'C+SΔABC'
=SΔABC+SΔA'BC+SΔAB'C+SΔA'B'C
=2π.
代入（*），可得SΔABC=A+B+C-π.
因为SΔABC>0恒成立，这一定理说明，球面三角形的三个内角和大于π.类似可得，半径是R的球面上ΔABC的面积是R2（A+B+C-π）. 平面三角形中，任一外角等于另两个内角之和，故平面三角形的任一外角大于任一不相邻的内角，
在球面ΔABC中，也有类似的结论吗？ 前面，我们说明存在球面ΔABC，使A+B=π,对这一三角形，顶点A处的外角等于角B.同时，我们也说明存在球面ΔABC，使A+B>π,即B>π-A.对这一三角形，顶点A处的外角小于角B. 例1 证明：球面ΔABC中，任一角的外角小于另外两个内角的和.
证 不妨考察角C，因为A+B+C>π,所以A+B>π-C,这说明角C的外角小于另外两个内角之和.例2 计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积。
解 根据地理知识，北京位于北纬39°56′、东经116°20′，上海位于北纬31°14′、东经121°29′，重庆位于北纬29°30′、东经106°30′的经纬度，
地球半径为R=6400km，
如图所示，设N为北极点，B为北京，S为上海，C为重庆，
在球面三角形NBC中，

弧度，
，
.
解球面三角形NBC，有
即 ，
同理 ，
解球面三角形BSC，有 ，
即 弧度，
同理 弧度， 弧度，
所以球面三角形BSC的面积为 。
谢谢指导！