苏教版高中选修3-3 3.3.2 欧拉公式

课件19张PPT。§3.3.2欧拉公式探索研究有三个多面体，请找出它们的顶点数（vertex）V、面数（face）F、 棱数（edge）E，填入下表，并观察V、F、E之间的规律，归纳出你发现的规律. 平面三角形可以推广到多边形，那么，球面三角形能推广到球面多边形吗？
设A1,A2,...An是球面上n个点，任意相邻三点（如A1,A2,A3;An,A1,A2）不在一个大圆上.依次用劣弧或取定的半大圆（当相邻两点为对径点时）连结相邻两点，得球面上线段弧 .这些线段在内部不相交，它们所形成的图形叫做球面多边形(spherical polygon).球面多边形 进一步，如果多边形A1A2...An总在它的每一边 所在大圆划分球面所成的一个半球面内，称此多边形是凸多边形.
如：球面二角形，球面三角形都是球面凸多边形. 把n边形分成（n-2）个球面三角形，由定理3.1可得：定理3.2 单位曲面上n边形A1A2...An的面积是
A1+A2+...+An-(n-2)π. 凸多面体是四面体、立方体等图形的自然推广，我们以V,E,F表示多面体顶点数、棱数、面数.
例如，对于四面体，有V=4,E=6,F=4,
对于平行六面体，有V=8,E=12,F=6.
因此，两种情况都有V-E+F=2.
定理应用——证明凸多面体的欧拉公式定理3.3（欧拉公式） 对于任一个凸多面体，都有
V - E + F = 2,
其中V,E,F分别表示这个多面体的顶点数，棱数，面数.证 以凸多面体内一点O为球心作一个球面，使得此凸多面体完全在球面内.由于要证明的公式与凸多面体的大小无关，不妨设R=1.
设想在O处有一光源，它把多面体表面上的点一一投影到球面上.不难知道，这一映射把多面体的棱变成球面上一条劣弧，因此它把多面体的每一个面投影成球面上一个多边形，多面体的两个面的公共棱成为球面上多边形的公共边.
这样我们从凸多面体得到球面的一个剖分：球面由球面多边形拼成.球面多边形的个数、总边数、顶点数分别是多面体的面数F、棱数E、顶点数V.
图中画出了正八面体的
情形.这些多边形分别记为D1,
D2,...DF.球面多边形Di的面积
为Si，边数记为Ei，顶点数也是Ei，其内角和记为Ai.由于球面多边形Di的每一条边也是另一个多边形的一条边（i=1，2，...F)，因此
E1+E2+...+EF=2E.
显然， S1+S2+...+SF=4π.
另一方面，所有球面多边形的内角和是2πV，即
A1+A2+...+AF=2πV.
由定理3.2得S1=A1-(E1-2)π,
S2=A2-(E2-2)π,
...
SF=AF-(EF-2)π,
两边相加得，
S1+S2+...+SF=A1+A2+...+AF-(E1+E2+...+EF)π+2πF.
于是 4π=2πV-2πE+2πF,
即 V-E+F=2 用欧拉公式可以证明正多面体有五种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体与正二十面体，它们分别是用正三角形、正方形、正三角形、正五边形与正三角形拼起来的.例 观察下面的球面三角剖分，记录它们的顶点数V，三角形边数E和三角形个数F，说明它们满足什么关系？解 在左图中，顶点为A、B、C、D，顶点数V=4，
三角形的边为AB、AC、AD、BC、BD、CD，边数E=6，
三角形为ABC、ABD、ACD、BCD，三角形个数F=4，
所以 ；
在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F，顶点数V=6，
三角形的边为AB、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，边数E=12，
三角形为ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形个数F=8，
所以 ；
在右图中，顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，顶点数V=8，
三角形的边为AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE，FG、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE，边数E=18，
三角形为ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED，FGC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE，三角形个数F=12，
所以 .足球多面体假设足球多面体共有 x个五边形，y个六边形，那么

联立上述方程我们就可以解出所有未知数。 1.一个凸多面体的棱数为30,面数为12,则它的各面多边形的内角总和为( B )
A.5400° B.6480°
C.7200° D.7920°【解】由欧拉公式V=E－F+2=20∴内角总和为6480°，选B例题： 2.一个正多面体的每个面都是三角形,从每个顶点引出的棱都有4条,则该正多面体为( C )
A.正四面体 B.正六面体
C.正八面体 D.正十二面体解：认识欧拉数学奇才欧拉
欧拉---瑞士人（Euler,L. 1707---1783）；
欧拉---16 岁获得硕士学位；
欧拉---数学史上“高产”的数学家。在世发表论文700多篇，
去世后还留下100多篇待发表；
欧拉---首先使用f(x)表示函数，用e表示自然对数的底，用a、
b、c 表示△ABC，用∑表示求和，用i表示虚数单位等；
欧拉---目前数学中有欧拉公式、欧拉常数、欧拉猜想、欧拉
方法、欧拉方程、欧拉定理。谢谢指导！