苏教版高中选修3-3 3.3.4 球面极三角形

课件15张PPT。§ 3.3.4球面极三角形球面三角形的内角和在什么范围？ 由球面三角形的面积公式SΔABC=A+B+C-π>0,可知
A+B+C>π,
那么A+B+C小于多少？球面极三角形 设ΔABC是一个球面三角形，如图，A*是球面ΔABC的边 所在大圆的一个极点，即OA*垂直于 所在的大圆，且A, A*同在由 给出的一个半球内，我们称 A*是球面ΔABC的边 的一个极点.
类似可给出边 的极点C*, B* . 可以证明A*,B*,C*也构成一个三角形，我们称ΔA*B*C*为ΔABC的球面极三角形（spherical polar triangle)由A*是 的极点，可得
OA*⊥OB,OA*⊥OC.
同理，由C*,B*是 的极点，可得
OC*⊥OA,OC*⊥OB.
OB*⊥OA,OB*⊥OC.例题教学例1 如图，ΔABC是单位球上三内角都是 的三角形，试求ΔABC的极三角形.
解 ΔABC的三边互相垂直，
因此A,B,C分别是ΔABC的
边 的 极点，
ΔABC的极三角形就是自身.例2 如图，已知ΔABC是单位球面上三内角分别是 , ,的三角形，求它的极三角形的三个内角.
解： 因此A就是ΔABC的边 的极点.不难知道边 的极点B*在 的延长线线上靠近B的一侧，并且 . 同理可确定 的极点C*.
因此，ΔABC的极三角形的三内角分别是
.
定理3.4 若ΔABC的球面极三角形是ΔA*B*C*，则ΔA*B*C*的球面极三角形是ΔABC.因此球面极三角形总是成对出现的.由例1、例2可得 设ΔABC的三边长为a,b,c,三内角为A,B,C;
ΔA*B*C*的三边长为a*,b*,c*,三内角为A*,B*,C*.我们把a,A*;A,a*等叫做ΔABC与它的极三角形ΔA*B*C*的一对对应元素.定理3.5 在单位球面上，ΔABC与它的极三角形
ΔA*B*C*的对应元素满足

a*=π-A，b*=π-B，c*=π-C;
a=π-A*, b=π-B*, c=π-C*.问题解决: 设ΔA*B*C*是ΔABC的极三角形，则
A=π-a*,B=π-b*,C=π-c*,
A+B+C=3π-(a*+b*+c*)<3π.
因此，对于球面ΔABC的三内角A,B,C,满足
π2.球面极三角形总是成对出现（定理3.4）；
3.球面极三角形对应元素的关系;
4.球面三角形内角和.课堂小结作业布置P26习题3.3 4，7谢谢指导！