苏教版高中选修3-3 3.4.2 球面三角形的全等

课件12张PPT。§ 3.4.2 球面三角形的全等平面三角形有全等，那么球面三角形呢？定义 如果同一个人球面（或等球面）上的两个球面三角形的三边及三角分别对应相等，称这两个球面三角形全等.定理4.3 下列情况之一成立，则两个球面三角形全等：
（1）三边对应相等；
（2）两边及夹角对应相等；
（3）两角及夹边对应相等；
（4）三角对应相等. 证 要证明三角对应相等的两个球面三角形全
等，只要证明如果一个球面三角形的三角已知，则
它的三边也确定即可，这样，如果两个球面三角形
的三角对应相等，它们是三边也对应相等，因此它
们全等.
设球面ΔABC的三内角A,B,C已知，由球面三角形的余弦定理可得
余弦函数在（0，π）是单调的，因此从上式可解得a，同理可得ΔABC的另外两边长.
在定理4.3中，（1），（2），（3）与欧氏平面上两个三角形全等的条件是一样的，而（4），即三个角对应相等的两个三角形全等这一性质，是欧氏几何没有的.思考 对于平面三角形，如果两个三角形有两角及一边对应相等，则它们全等，但球面上的两个三角形，如果它们的两角及一边对应相等，却未必全等，请举出一个例子.例题教学例1 单位球面上三角形的两角互补的充要条件是它们的对应边互补.证 设单位球面上ΔABC的两角互补，B+C=π.
如图，延长 与 交于A的对径点A'.在ΔABC与ΔA'CB中，
A=A',∠ABC=∠A'CB,∠ACB=∠A'BC,
因此ΔABC ΔA'CB.于是
这证明了条件是必要的.
另一方面，设
仍设A'是A的对径点.容易推出，ΔABC与ΔA'CB
中的三边对应相等，即
所以两个三角形全等.因此∠ABC+∠ACB=π.
因此，条件是充分的.
如图，对于球面ΔABC，如图， 是 边上的中线，A'是A的对径点，这时
是ΔA'BC的边 上的中线.因此，
如果 . 如图，对于球面ΔABC，如图， 是 边上的中线，A'是A的对径点，这时
是ΔA'BC的边 上的中线.因此，
如果 . 如图，对于球面ΔABC，如图， 是 边上的中线，A'是A的对径点，这时
是ΔA'BC的边 上的中线.因此，
如果 即，如果存在一个球面三角形，它的一条边上的中线小于另外两边和的一半，则也有一个一边上的中线大于另外两边和一半的球面三角形.
证 设 是单位球面ΔABC的 边上的中线，则
的充要条件分别是

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