苏教版高中选修3-3 3.4.3 球面直角三角形

课件15张PPT。§ 3.4.3 球面直角三角形定义
球面上至少有一个角是直角的三角形叫做球面直角三角形（sphercal right triangle).
球面三角形可以有两个甚至三个直角.另一方面，球面直角三角形的直角也不一定是最大角.
定理4.4 设ΔABC中， 则
（1）
（2）
（3）
球面直角三角形的勾股定理证
可以直接从定理4.1得到.从球面余弦定理

及
得
这怎么了（1）中后一式.
由
及类似公式

这些公式中，cosc=cosacosb给出了球面直角三角形的三边长的关系，称为球面直角三角形的勾股定理。 如果直角三角形的斜边c>π/2,则cosc=cosacosb<0,因此直角边中有一条大于π/2,另一边小于π/2,如果斜边c=π/2,则直角边中至少有一条也等于π/2.
球面上，一点到一个大圆的距离是连结此点与大圆上点的曲线长的最小值.如果P是取定大圆的一个极点，则连结P与此大圆上点的劣弧长都是π/2,它们所在的大圆与给定的大圆都垂直，因此P到此大圆的距离是π/2.定理4.5 设点A不是大圆的极点，如果连结
A与大圆上点C的劣弧 垂直于大圆，则点A
到大圆的距离是 的长.证 我们已证明连结球面上两点的曲线以大圆弧最短.如图，设A是大圆Γ外一点，A不是大圆的极点.设过A与Γ垂直的大圆的两交点中靠近A的是C.设B是大圆Γ上另一点，A,B,C构成一个球面直角三角形，则
公式 sinb=sinBsinc,0说明c≥b,如果b=c，则
sinB=1,B=
这与过A垂直于给定的大圆Γ只有一条垂线矛盾，因此，c>b.
定理4.5也可以表示为：球面上，一点到直线（大圆）上点的距离以垂线最短.球面三角公式的应用 球面上到定点距离是定长r的点的轨迹是球面上的圆，当r=π/2时，轨迹是大圆，即球面上直线；当r<π/2时，轨迹是小圆.例题例1 设在单位球面ΔABC中，C= S是ΔABC的面积，则
证 单位球面上ΔABC的面积是S=A+B-π/2,从定理4.4可得到 如图，设ΔABC是平面上圆的内接三角形，圆心是P，由于ΔPBC，ΔPAB，ΔPAC都是等腰三角形，它们的底角分别相等，记为θ1，θ2，θ3.于是
π-2A=B+C-A=2θ1,A=π/2-θ1,
如果B,C取定，这证明了平面圆上弧 上的圆周角相等，设ΔABC是一个球面三角形，如果它的三个顶点在球面的一个小圆上，我们称它是这个小圆的内接三角形.将上面的方法用到球面上，得：
设ΔABC是球面上一个小圆的内接三角形，如果两顶点B,C取定，顶点A可以在边 一侧的小圆上变动，则B+C-A是定值. 能否看成是平面上圆的同弧上的圆周角相等的推广？ 如果三角形的角A在顶点A时变动为定角，即如果球面上也有同一圆弧上的圆周角相等这一性质，则由B+C-A为定值可得B+C也是定值，从而 ΔABC的面积A+B+C-π也是定值，显然这不可能，这说明球面上小圆的同弧上的圆周角不一定相等.1、球面直角三角形；
2、球面直角三角形的勾股定理；
3、定理4.5;
4、应用.谢谢指导！