24.4解直角三角形
【题型1】解直角三角形 5
【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 6
【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 8
【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 9
【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 11
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D．
2.（2025 新抚区模拟）如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若，则这条射线是（ ） A．OAB．OBC．OCD．OD
【知识点2】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 九台区三模）如图，某汽车车门的底边长为0.95m,车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（ ）m. A．0.95B．0.95sin72°C．0.95cos72°D．0.95tan72°
2.（2024秋 宁德期末）如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知OA=OB=m,夹角∠AOB=2α，则圆规画出的圆的半径AB长是（ ） A．2msinαB．2mtanαC．msin2αD．mtan2α
【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2025春 良庆区校级月考）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度AB为13米，坡度i=1：2.4，则大厅两层之间的距离BC为（ ） A．12B．10C．7D．5
【知识点4】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 罗湖区校级模拟）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=5：12的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米
2.（2024 和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a,则楼房BC的高为（ ） A．50tana米B．米C．50sina米D．米
【知识点5】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024 杭州模拟）如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（ ） A．60米B．45米C．30米D．45米
2.（2024秋 肥城市期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为（ ） A．20海里B．海里C．海里D．海里
【题型1】解直角三角形
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos A＝，则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
【举一反三2】已知在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB的长是______________．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.
【举一反三4】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)∠B＝60°，a＝4；
(2)a＝－1，b＝-3；
(3)∠A＝60°，c＝2＋.
【举一反三5】解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°.
【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题
【典型例题】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图所示，李鑫老师利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6 cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐(即PA＝PC)，水平线l与OC夹角a＝8°(点A在OC上)，则铅锤P处的水深h为( )(参考数据：sin 8°≈，cos 8°≈，tan 8°≈)
A.150 cm B.144 cm C.111 cm D.105 cm
【举一反三2】如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__________米．(sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
【举一反三3】某电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m则该车大灯照亮地面的宽度BC是________m．(不考虑其它因素)
(参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)
【举一反三4】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)
【举一反三5】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题
【典型例题】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是( )
A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.3
【举一反三1】如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE＝8 m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB的高度是( )
A.(8＋8) m B.(8＋8) m C.(8＋) m D.(8＋) m
【举一反三2】如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的正确式子是( )
A.CD＝bsin33°＋a
B.CD＝bcos33°＋a
C.CD＝btan33°＋a
D.CD＝＋a
【举一反三3】如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414, ≈1.732)
【举一反三4】小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73)
【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题
【典型例题】如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1 000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是( )
A.366 B.650 C.634 D.700
【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为( )
A.40海里 B.40tan37°海里 C.40cos37°海里 D.40sin37°海里
【举一反三2】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4)
【举一反三3】如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，它们行驶的时间为__________h．(结果保留根号)
【举一反三4】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题
【典型例题】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为( )
A.3米 B.3米 C.3米 D.2米
【举一反三1】在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )
A. B. C.m·tanα D.m·cosα
【举一反三2】如图，市规划局准备修建一座高AB＝6 m的过街天桥，已知天桥的坡面AC的坡度i＝3∶4，则坡面AC的长度为( )
A.10 m B.8 m C.6 m D.63 m
【举一反三3】如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i＝________.
【举一反三4】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.
(1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)；
(2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732)
【举一反三5】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)24.4解直角三角形
【题型1】解直角三角形 9
【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 11
【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 14
【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题 17
【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 20
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D．
【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC==，
故选：B． 2.（2025 新抚区模拟）如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若，则这条射线是（ ） A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】B 【分析】根据锐角三角函数定义即可判断． 【解答】解：∵点B的坐标为（3，4），
∴OB==5，
∴sina=，
则这条射线是OB．
故选：B． 【知识点2】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 九台区三模）如图，某汽车车门的底边长为0.95m,车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（ ）m. A．0.95B．0.95sin72°C．0.95cos72°D．0.95tan72°
【答案】B 【分析】过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，根据三角函数作答即可． 【解答】解：过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，
在Rt△OMN中，
ON=0.95m,∠NOH=72°，
∴NH=ON sin∠NOH=0.95sin72°，
故选：B． 2.（2024秋 宁德期末）如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知OA=OB=m,夹角∠AOB=2α，则圆规画出的圆的半径AB长是（ ） A．2msinαB．2mtanαC．msin2αD．mtan2α
【答案】A 【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠AOC=α，AB=2AC，然后在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出AB的长，即可解答． 【解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵OA=OB=m,OC⊥AB，
∴，
在Rt△AOC中，AC=OA sinα=msinα，
∴AB=2AC=2msinα，
∴圆规能画出的圆的半径AB长度为2msinα，
故选：A． 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2025春 良庆区校级月考）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度AB为13米，坡度i=1：2.4，则大厅两层之间的距离BC为（ ） A．12B．10C．7D．5
【答案】D 【分析】设大厅两层之间的距离为x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的铅直高度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设大厅两层之间的距离BC为x米，
∵扶梯的坡度i=1：2.4，
∴扶梯的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，
∴大厅两层之间的距离为5米，
故选：D． 【知识点4】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 罗湖区校级模拟）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=5：12的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米
【答案】D 【分析】如图：延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，先解直角三角形Rt△CDE，求出CE、DE，再根据锐角三角函数求出AF即可． 【解答】解：如图：延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，
由题意得：CD=26米，BC=EF=9米，BF=CE，
在Rt△CDE中，i=5：12，CD=26米，
∴BF=CE=10米，ED=24米，
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，FD=EF+ED=33米，∠ADF=52°，
∴AF=FD tan52°≈33×1.28=42.24（米），
∴AB=AF-BF=42.24-10≈32.2（米），即建筑物AB的高度为32.2米；
故选：D． 2.（2024 和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a,则楼房BC的高为（ ） A．50tana米B．米C．50sina米D．米
【答案】A 【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题． 【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=50tanα．
故选：A． 【知识点5】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024 杭州模拟）如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（ ） A．60米B．45米C．30米D．45米
【答案】B 【分析】分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用PC分别表示出AC、BC，利用两线段的差等于90列出关于线段PC的式子，求得PC即可． 【解答】解：∵在Rt△PBC中，，
∴BC==PC，
∵在Rt△PAC中，，
∴AC==PC，
∵AB=AC-BC=90，
∴PC-PC=90，
解得：PC=45．
故选：B． 2.（2024秋 肥城市期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为（ ） A．20海里B．海里C．海里D．海里
【答案】B 【分析】过点B作BN⊥AM于点N．根据三角函数求BN的长，从而求BM的长． 【解答】解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．
由题意得，AB=40×=20海里，∠ABM=105°．
作BN⊥AM于点N．
在直角三角形ABN中，BN=AB sin45°=10．
在直角△BNM中，∠MBN=60°，则∠M=30°，
所以BM=2BN=20（海里）．
故选：B．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，
∵cosA＝，AB＝6，∴AC＝AB＝2，故选B.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos A＝，则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
【答案】A
【解析】如图：∵cosA＝＝，AB＝10，∴AC＝8，
由勾股定理，得BC＝＝＝6.故选A．
【举一反三2】已知在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB的长是______________．
【答案】8
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝，即＝，
解得AB＝8.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.
【答案】18
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sinA＝＝，∴AB＝3×6＝18.
【举一反三4】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)∠B＝60°，a＝4；
(2)a＝－1，b＝-3；
(3)∠A＝60°，c＝2＋.
【答案】解 (1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
由tan B＝，得b＝atan B＝4tan 60°＝4.
由cos B＝，得c＝＝＝8.
(2)由tan B＝＝＝，
∴∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°，
由sin A＝，得c＝＝＝2－2.
(3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
由sinA＝，得a＝csin A＝(2＋)×＝＋，
由cos A＝，得b＝ccosA＝(2＋)×＝1+.
【举一反三5】解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°.
【答案】解 ∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30，
∵c＝8，∴b＝4，∴a＝＝＝12.
【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题
【典型例题】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设PA＝PB＝PB′＝x，在Rt△PCB′中，sin α＝，
∴＝sinα，∴x－1＝xsinα，∴(1－sinα)x＝1，∴x＝.故选A.
【举一反三1】如图所示，李鑫老师利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6 cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐(即PA＝PC)，水平线l与OC夹角a＝8°(点A在OC上)，则铅锤P处的水深h为( )(参考数据：sin 8°≈，cos 8°≈，tan 8°≈)
A.150 cm B.144 cm C.111 cm D.105 cm
【答案】B
【解析】∵l∥BC，∴∠ACB＝α＝8°，
在Rt△ABC中，∵tan α＝，∴BC＝＝＝42(cm)，
根据题意，得h2＋422＝(h＋6)2，∴h＝144(cm)．故选B.
【举一反三2】如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__________米．(sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
【答案】60
【解析】∵∠B＝56°，∠C＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°，BC＝BD＋CD＝100米，
∴BD＝，CD＝，∴＋＝100，解得AD≈60.
【举一反三3】某电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m则该车大灯照亮地面的宽度BC是________m．(不考虑其它因素)
(参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)
【答案】1.4
【解析】作AD⊥MN于点D，如图所示，
由题意可得，AD＝1m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝＝1÷＝7(m)，CD＝＝1÷＝＝5.6(m)，
∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4(m).
【举一反三4】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)
【答案】解 (1)如图，作AD⊥BC于D.则AD＝10 m，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10 m，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴tan30°＝，
∴BD＝AD＝10 m，
∴BC＝BD＋DC＝(10＋10)m.
(2)结论：这辆汽车超速．理由：
∵BC＝10＋10≈27 m，
∴汽车速度＝27÷0.9＝30 m/s＝108 km/h，
∵108＞80，∴这辆汽车超速．
【举一反三5】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
【答案】解 过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝，
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.∴132＋x＝xtan 65°，
∴解得x≈115.8，∴DE≈248(米)．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
【题型3】解直角三角形的应用——仰角俯角问题
【典型例题】如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是( )
A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.3
【答案】C
【解析】如图，过D 作CD⊥AD于D，
在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD.在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD.
设CD＝x(米)，∵AB＝20，∴AD＝x＋20.∴x＋20＝x，
∴x＝＝10(＋1)≈27.3.即铁塔CD的高为27.3米．故选C.
【举一反三1】如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE＝8 m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB的高度是( )
A.(8＋8) m B.(8＋8) m C.(8＋) m D.(8＋) m
【答案】D
【解析】在△EBC中，有BE＝EC×tan45°＝8，
在Rt△AEC中，有AE＝EC×tan30°＝8×＝，
则AB＝AE＋BE＝8＋(米)．故选D.
【举一反三2】如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的正确式子是( )
A.CD＝bsin33°＋a
B.CD＝bcos33°＋a
C.CD＝btan33°＋a
D.CD＝＋a
【答案】C
【解析】由题意知，AE＝BD，即AE＝b.
在直角△AEC中，∠CAE＝33°，CE＝AEtan33°＝btan33°.
则CD＝CE＋ED＝btan33°＋a.故选C.
【举一反三3】如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414, ≈1.732)
【答案】54.6
【解析】作AD⊥BC于点D.∵∠DAC＝45°，∴CD＝AD＝20.
∵∠BAD＝60°，∴BD＝AD×tan60°＝20≈34.6(米)．
∴BC＝BD＋CD＝34.64＋20≈54.6(米)．
【举一反三4】小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73)
【答案】解 ∵在Rt△CBE中，
∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，
∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1(m).
答：风筝离地面的高度是19.1 m.
【题型4】解直角三角形的应用——方向角问题
【典型例题】如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1 000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是( )
A.366 B.650 C.634 D.700
【答案】C
【解析】如图：过点M作MN⊥AC于点N，
根据题意，得∠MAN＝60°－30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，
∴∠MCN＝180°－75°－60°＝45°，
设MN＝x米，在Rt△AMN中，AN＝＝x(米)，
在Rt△CMN中，CN＝＝x(米)，
∵AC＝1000米，∴x＋x＝1000，解得x＝500(－1)，
∴AN＝x≈634(米)．
故选C.
【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为( )
A.40海里 B.40tan37°海里 C.40cos37°海里 D.40sin37°海里
【答案】D
【解析】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，∴BP＝AP·sin37°＝40sin37°海里，
故选D.
【举一反三2】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4)
【答案】102
【解析】过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，
∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin∠PAD＝86×＝43，
∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°.
在Rt△BDP中，BP＝＝43＝43×≈102(n mile)．
【举一反三3】如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，它们行驶的时间为__________h．(结果保留根号)
【答案】(9－9)
【解析】设出发t小时后甲船在乙船的正东方向，
连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q，
在Rt△PQC中，∠CPB＝60°，∴PQ＝PBcos60°＝×18t＝9t，
在Rt△PQB中，∠APQ＝45°，∴PQ＝APcos45°＝(81－9t)，
则(81－9t)＝9t，解得t＝9－9，
答：当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为(9－9)h.
【举一反三4】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】解 (1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.
(2)作PH⊥AB于H.∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50，
在Rt△PBH中，PH＝PB·sin 60°＝50×＝25，
∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡角问题
【典型例题】某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为( )
A.3米 B.3米 C.3米 D.2米
【答案】A
【解析】由题意如图，AB＝6，∠BAC＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3，
∴某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为3米．故选A.
【举一反三1】在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )
A. B. C.m·tanα D.m·cosα
【答案】B
【解析】作AB⊥BC于B，cosα＝，
∴斜坡上相邻两棵树的坡面距离AC= ＝，
故选B.
【举一反三2】如图，市规划局准备修建一座高AB＝6 m的过街天桥，已知天桥的坡面AC的坡度i＝3∶4，则坡面AC的长度为( )
A.10 m B.8 m C.6 m D.63 m
【答案】A
【解析】∵坡面AC的坡度i＝3∶4，∴＝，又AB＝6 m，∴BC＝8 cm，
由勾股定理，得AC＝＝10 cm，故选A.
【举一反三3】如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i＝________.
【答案】1∶2.4
【解析】设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，
根据勾股定理，得x2＋52＝132，解得x＝12，故该斜坡坡度i＝5∶12＝1∶2.4.
【举一反三4】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.
(1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)；
(2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732)
【答案】解 (1)作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，
∴EF＝BC＝10米，
∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米，
∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，
∴DF＝＝20≈35米，
∴AD＝AE＋EF＋FD＝95米；
(2)建筑这个大坝需要的土石料：12×(95＋10)×20×100＝105 000米3.
【举一反三5】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)
【答案】解 过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB·sin ∠BAC＝12×0.515≈6.2(米)．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
