人教版数学九年级上册第22章二次函数单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册第22章二次函数单元测试（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-16 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=3x B． C．y=x2 D．
2．在抛物线y=2x2-3x+1上的点是（ ）
A．（0，-1） B． C．（-1，5） D．（3，4）
3．将抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到抛物线解析式为（ ）
A．y=3x2+2 B．y=3x2-2
C．y=3（x+2）2+2 D．y=3（x-2）2
4．抛物线y=x2-3x+5一次项的系数是（ ）
A．-3 B．1 C．5 D．3
5．已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
6．对于二次函数y=x2-2x+1的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．最小值是1
7．水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止
B．小球滑行12秒停止
C．小球向前滑行的速度不变
D．小球向前滑行的速度越来越大
8．关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（ ）
A．0或2 B．2或4 C．0或4 D．0或2或4
9．如图，抛物线y=ax2-c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a-b+c＞0；⑤若+bx1=+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax2-x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-1或 B．-1≤a＜0或
C．或 D．a≤-1或
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a-b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜-1，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．将抛物线y=-2x2向上平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ______．
14．抛物线y=ax2+bx+c与y=3-2x2的形状完全相等，只是位置不同，则a=______．
15．将抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ______．
16．若二次函数y=x2-4x+3在x=a或x=b（a≠b）时，函数值相等，则当x=a+b时，函数值为 ______．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；③若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=ax2-3ax-4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
19．如图，二次函数y=ax2-4ax+3（a≠0）的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C．经过点A的直线y=kx+b（k≠0）与二次函数图象交于另一点B，点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
（1）求一次函数表达式；
（2）点P在二次函数图象的对称轴上，当△ACP的周长最小时，请求出点P的坐标．
20．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交点为C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）．
（1）当a=1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点（1，4），求该函数的表达式．
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：．
（2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m-n=4，请比较n与p的大小．
22．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y=kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版九年级上第22章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、A 8、C 9、D 10、C 11、A 12、C
二．填空题（共5小题）
13、y=-2x2+1； 14、-2； 15、y=-2x2+3； 16、3； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）抛物线的对称轴方程为x=-=；
（2）y=ax2-3ax-4a=a（x+1）（x-4），
当（x+1）（x-4）=0，即x=-1或4时y=0，
∴抛物线一定经过（-1，0），（4，0）；
19、解：（1）二次函数y=ax2-4ax+3的对称轴是直线x=-=2，
而点C的坐标为（0，3），
∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
∴点B的坐标（4，3），
把A（1，0）和B（4，3）代入y=kx+b得，解得，
∴一次函数表达式为y=x-1；
（2）连接AB交直线x=2于点P，如图，
∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
∴PC=PB，
∴PC+PA=PB+PA=AB，
∴此时PC+PA的值最小，△ACP的周长最小，
当x=2时，y=x-1=2-1=1，
∴满足条件的P的坐标（2，1）．
20、解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1，
所以A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）抛物线y=x2-2x-3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y=x2-2x-3+t,
则Δ=（-2）2-4（-3+t）=0，
解得t=4．
21、解：（1）①∵a=1，
∴该函数解析式为y=x2+bx+c.
∵该函数图象的对称轴为直线x=2，
∴x=-=-=2，
解得：b=-4．
∵该函数图象过点（1，4），
∴4=12-4+c,
解得：c=7，
∴该函数解析式为y=x2-4x+7；
②∵该函数解析式为y=x2+bx+c,且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2+bx+c=0有两个相等的实数解，
∴Δ=b2-4×1×c=0，
整理得：b2-4c=0，即4c=b2，
∴b+4c=b2+b=（b+）2-，
∵（b+）≥0，
∴（b+）2-≥-，
∴；
（2）由题可知，m=a+b+c,n=9a+3b+c,p=25a+5b+c,
∵m-n=a+b+c-9a-3b-c=-8a-2b=4，
∴b=-4a-2，
∴p-n=25a+5b+c-（9a+3b+c）
=16a+2b
=16a-8a-4
=8a-4，
∵a＞，
∴8a＞4，
∴8a-4＞0，
∴p-n＞0，
即n＜p.
22、解：（1）把A（3，0），B（-1，0）代入y=-x2+bx+c,
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴C点为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y=-x+3；
（2）存在，理由如下：
①当P点与B点重合时，此时DP=DA，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∴P（-1，0）；
②过B点作BP∥AC交抛物线于点P，
∵AB=2AD，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∵直线AC的解析式为y=-x+3；
∴直线BP的解析式为y=-x-1，
联立方程组，
解得x=-1，y=0或x=4，y=-5，
∴P（4，-5）；
综上所述：点P的坐标为（-1，0）或（4，-5）；
（3）存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴直线AC解析式y=-x+3与对称轴的交点M（1，2），如图所示，
∴BD=2，DM=2，DA=2，
∴∠MBD=∠MAD=45°，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴M点即Q点，
∴Q（1，2）；
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0，
∵线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，
∵∠DQA+∠DAQ=90°，∠DQA+∠EQA1=90°，
∴∠EQA1=∠DAQ，
∵∠ADQ=∠QEA=90°，AQ=A1Q，
∴△ADQ≌△QEA1（AAS），
∴AD=QE=2，DQ=EA1=-m,
∴A1（1-m,m-2），
∵点A1恰好落在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴m-2=-（1-m）2+2（1-m）+3，
解得m=-3或m=2（舍），
∴Q（1，-3），
综上所述：Q点坐标为（1，2）或（1，-3）．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=3x B． C．y=x2 D．
2．在抛物线y=2x2-3x+1上的点是（ ）
A．（0，-1） B． C．（-1，5） D．（3，4）
3．将抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到抛物线解析式为（ ）
A．y=3x2+2 B．y=3x2-2
C．y=3（x+2）2+2 D．y=3（x-2）2
4．抛物线y=x2-3x+5一次项的系数是（ ）
A．-3 B．1 C．5 D．3
5．已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
6．对于二次函数y=x2-2x+1的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．最小值是1
7．水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止
B．小球滑行12秒停止
C．小球向前滑行的速度不变
D．小球向前滑行的速度越来越大
8．关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（ ）
A．0或2 B．2或4 C．0或4 D．0或2或4
9．如图，抛物线y=ax2-c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a-b+c＞0；⑤若+bx1=+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax2-x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-1或 B．-1≤a＜0或
C．或 D．a≤-1或
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a-b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜-1，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．将抛物线y=-2x2向上平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ______．
14．抛物线y=ax2+bx+c与y=3-2x2的形状完全相等，只是位置不同，则a=______．
15．将抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ______．
16．若二次函数y=x2-4x+3在x=a或x=b（a≠b）时，函数值相等，则当x=a+b时，函数值为 ______．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；③若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=ax2-3ax-4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
19．如图，二次函数y=ax2-4ax+3（a≠0）的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C．经过点A的直线y=kx+b（k≠0）与二次函数图象交于另一点B，点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
（1）求一次函数表达式；
（2）点P在二次函数图象的对称轴上，当△ACP的周长最小时，请求出点P的坐标．
20．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交点为C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）．
（1）当a=1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点（1，4），求该函数的表达式．
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：．
（2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m-n=4，请比较n与p的大小．
22．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y=kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版九年级上第22章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、A 8、C 9、D 10、C 11、A 12、C
二．填空题（共5小题）
13、y=-2x2+1； 14、-2； 15、y=-2x2+3； 16、3； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）抛物线的对称轴方程为x=-=；
（2）y=ax2-3ax-4a=a（x+1）（x-4），
当（x+1）（x-4）=0，即x=-1或4时y=0，
∴抛物线一定经过（-1，0），（4，0）；
19、解：（1）二次函数y=ax2-4ax+3的对称轴是直线x=-=2，
而点C的坐标为（0，3），
∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
∴点B的坐标（4，3），
把A（1，0）和B（4，3）代入y=kx+b得，解得，
∴一次函数表达式为y=x-1；
（2）连接AB交直线x=2于点P，如图，
∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．
∴PC=PB，
∴PC+PA=PB+PA=AB，
∴此时PC+PA的值最小，△ACP的周长最小，
当x=2时，y=x-1=2-1=1，
∴满足条件的P的坐标（2，1）．
20、解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1，
所以A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）抛物线y=x2-2x-3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y=x2-2x-3+t,
则Δ=（-2）2-4（-3+t）=0，
解得t=4．
21、解：（1）①∵a=1，
∴该函数解析式为y=x2+bx+c.
∵该函数图象的对称轴为直线x=2，
∴x=-=-=2，
解得：b=-4．
∵该函数图象过点（1，4），
∴4=12-4+c,
解得：c=7，
∴该函数解析式为y=x2-4x+7；
②∵该函数解析式为y=x2+bx+c,且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2+bx+c=0有两个相等的实数解，
∴Δ=b2-4×1×c=0，
整理得：b2-4c=0，即4c=b2，
∴b+4c=b2+b=（b+）2-，
∵（b+）≥0，
∴（b+）2-≥-，
∴；
（2）由题可知，m=a+b+c,n=9a+3b+c,p=25a+5b+c,
∵m-n=a+b+c-9a-3b-c=-8a-2b=4，
∴b=-4a-2，
∴p-n=25a+5b+c-（9a+3b+c）
=16a+2b
=16a-8a-4
=8a-4，
∵a＞，
∴8a＞4，
∴8a-4＞0，
∴p-n＞0，
即n＜p.
22、解：（1）把A（3，0），B（-1，0）代入y=-x2+bx+c,
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴C点为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y=-x+3；
（2）存在，理由如下：
①当P点与B点重合时，此时DP=DA，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∴P（-1，0）；
②过B点作BP∥AC交抛物线于点P，
∵AB=2AD，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∵直线AC的解析式为y=-x+3；
∴直线BP的解析式为y=-x-1，
联立方程组，
解得x=-1，y=0或x=4，y=-5，
∴P（4，-5）；
综上所述：点P的坐标为（-1，0）或（4，-5）；
（3）存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴直线AC解析式y=-x+3与对称轴的交点M（1，2），如图所示，
∴BD=2，DM=2，DA=2，
∴∠MBD=∠MAD=45°，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴M点即Q点，
∴Q（1，2）；
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0，
∵线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，
∵∠DQA+∠DAQ=90°，∠DQA+∠EQA1=90°，
∴∠EQA1=∠DAQ，
∵∠ADQ=∠QEA=90°，AQ=A1Q，
∴△ADQ≌△QEA1（AAS），
∴AD=QE=2，DQ=EA1=-m,
∴A1（1-m,m-2），
∵点A1恰好落在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴m-2=-（1-m）2+2（1-m）+3，
解得m=-3或m=2（舍），
∴Q（1，-3），
综上所述：Q点坐标为（1，2）或（1，-3）．
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