苏教版高中数学选修3-4 抽象群初步

(共14张PPT)
抽象群初步
变换群主要应用于研究集合问题，把变换群再
推广，成为抽象群，就能在数学分支理论及应用中
发挥更大的作用。
算术中的1+2=3，是从“1个人+2个人”、“1张桌
+2张桌”等具体问题中抽象概括出来的。形式抽象了，数学规律更突出了，应用也更广泛了。
将变换群概念推广，目光不限于几何变换，对
于任意一个集合，只要具备类似的性质，就得到抽
象的“群”。
思考:
究竟什么是“群”呢？
群的定义
1、设A是一个非空集合，若对A中任意两个元素a,b，通过某个法则“ ”，有A中惟一确定的元素c与之对应，则称法则“ ”为集合上的一个代数运算（algebraic operation).元素c是a,b通过运算“ ”作用的结果，我们将此结果记为a b=c.
例如
有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算，除法不是Q上的代数运算.
如果只考虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.
2、设G是一个集合，其元素记为a,b,c....
又设在G中存在一种操作（把它叫做“乘法”），
满足：
（1）封闭性—G中任意两个元素a与b的“乘积”
是G中的一个元素c，记为c=b a,简记为c=ba;
（2）结合律—G中任意三个元素的连乘积满足
结合律（cb）a=c（ab）；
（3）恒等元—G中存在一个特殊元素e，叫
做恒等元，它与G中任意元素a的乘积仍a；
（4）逆元—对于G中每个元素a，都有G中
某个相应的元素，叫做a的逆元，使它与a的
乘积等于e（元素a的逆元记为a-1）.
则称G关于运算“ ”构成一个群(group),记
作(G, ),在不致引起混淆的情况下，也把G称
为群.
这样定义的群，不管它的元素究竟是什么（可以是几何变换、字母置换、实数，或者其它任何对象），也不管叫做“乘法”的到底是什么操作，只要满足条件就行。
以上只考虑抽象的运算关系，所以又叫做“抽象群”。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象.通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质.
例1 整数集{z}及其上的加法+
单位元为0，逆元z-1=-z,构成整数加法群。
证 对任意的a,b∈Z,有a+b∈Z,所以“+”是Z上的一个代数运算.同时，对任意的a,b,c∈Z,有(a+b)+c=a+(b+c),
所以结合律成立.
另一方面0∈Z，且a∈Z,有
a+0=0+a=a,
所以0为Z的单位元，
又对每个a∈Z,有a+(-a)=(-a)+a=0,
所以-a是a的逆元.
从而Z关于“+”构成群，显然这是一个交换群.
例2 实数集R，运算为加法：
单位元e=0，逆元： a∈R,a-1=-a,构成加群.
若运算为数乘，R不构成群，0-1不存在.
不过不包含0的所有实数R/0，构成乘法群，单位元e=1,
逆元： a∈R/0,a-1=1/a.
注：
1、当群的运算用加号“+”表示时，通常将G的单位元记作0，并称0为G的零元；将a∈G的逆元记作-a,并称-a为a的负元.
2、以几何变换作为元素，变换的合成作为乘法，所得到的群就是变换群。
3、习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群.将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，结果叫做积.
4、变换群的许多有关概念，例如子群和扩群等，都能推广到抽象群。
谢谢指导！