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第24章 解直角三角形 同步教材专项提分卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．4、5、10 C．3、5、1 D．5、5、1
2．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是 ，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
4．如果等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，那么它的周长为（ ）
A．17cm B．13cm C．17cm或22cm D．22cm
5．如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A． B． C．7 D．
6．如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A、B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则∠AOB等于（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知sinα=，若α是锐角，则α的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．用15根等长的火柴棒首尾相连（不能折断或叠合）拼接成一个三角形，若所得三角形的三个内角互不相等，则不同的拼法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．
12．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为 米.（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）
13．一个人从山沿30°的山坡登上山顶，他走了500米，则这座山的高度是
14．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，那么AC= ．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0)的图象如图所示，等边三角形ABC的顶点A在该反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，OB=1.若顶点C恰好落在y= (k>0)的图象上，则k= .
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
19．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数．
（1）若，，且为奇数，求的周长．
（2）化简：．
20．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m。参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
（1）求∠BCD的度数.
（2）求教学楼的高BD
21．如图，在中，是斜边上的高线．
（1） ．（填或）
（2） ．（填或）
（3）若点是线段上的一个动点，连结，则 （填或）
22．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC．（结果取整数，参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88）
23．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°（如图）．已知一梯子AB的长为6m，梯子的底端A距离墙面的距离AC为2m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）
24．在中，，点在CD上，点在AB上，点在BD的延长线上，连接．
（1）如图1，当时，求证线段AG与线段DF的数量关系
小刚同学有如下想法：解：（1）当时，，在AD上截取，连接HG，如图：（请续写证明过程）
（2）如图2，当时，请直接写出线段AD，DE和DF之间的数量关系.
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求的值．
25．如图，菱形的对角线相交于点O，且，．
（1）求的长；
（2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点．
①当时，求四边形的面积；
②记的最小值为a，的最小值为b，求的值．
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第24章 解直角三角形 同步教材专项提分卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．4、5、10 C．3、5、1 D．5、5、1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形；
B、4+5＜10，不能组成三角形；
C、1+3＜5，不能组成三角形；
D、1+5＞5，能够组成三角形.
故答案为：D.
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边。
2．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】根据三角形三边关系，4-3＜第三边＜4+3即1＜第三边＜7
故答案为：A
【分析】三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是 ，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过 作 轴于
故答案为：
【分析】过 作 轴于 根据进行解答即可.
4．如果等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，那么它的周长为（ ）
A．17cm B．13cm C．17cm或22cm D．22cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和9cm，
∴此题有两种情况：
①4cm为底边，那么9cm就是腰，则等腰三角形的周长为4+9+9=22，
②9底边，那么4cm是腰，4+4=8<9，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为22cm．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论计算求解即可。
5．如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵平分交于点，
∴
∴
∴，
又∵
∴是等边三角形，
∴
∴
设，则
∴
∵
∴
∴，
∴
解得：
∴
在中，，
∴
故答案为：A．
【分析】先得到是等边三角形，即可得到，设，然后根据求出a的值，然后在中利用勾股定理解题即可．
6．如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A、B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则∠AOB等于（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【解析】【解答】解；A在O北偏东75°，
A在O东偏北15°，
∠AOB=15°+45°+90°=150°．
故选：D．
【分析】根据A在O北偏东75°，可得A在O东偏北的度数，根据角的和差，可得答案．
7．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△EPC中，PE= PC= ×4=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=PE=2．
故答案为：B．
【分析】作PE⊥OA于E，利用平行线的性质求出∠ECP的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出PE的长，然后根据角平分线的性质，求出PD的长。
8．已知sinα=，若α是锐角，则α的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ sinα=，若α是锐角 ，
∴α=45°，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.
9．用15根等长的火柴棒首尾相连（不能折断或叠合）拼接成一个三角形，若所得三角形的三个内角互不相等，则不同的拼法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可知由题意可知，三角形的三条边互不相等，三角形的周长为15，
又因为三角形任意两边之和大于第三边，
∴最大边要小于8，
∴三角形的三边可以为7，6，2；7，5，3； 6，5，4，
∵所得三角形的三条边互不相等，
∴不同的拼法有3种．
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
10．如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作B'C'的中点，连结PD、DQ，
由平移可得，A'B'=AB=3，PD=4，
∵D、Q是中点，
∴DQ=0.5A'B'=1.5，
∵PD-DQ＜PQ＜PD+PQ，
∴2.5＜PQ＜5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得A'B'=AB=3，PD=4，再利用三角形中位线是第三边的一半得到DQ长，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到PQ的取值范围，对比选项即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，
∵∠CAE=15°，
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．
∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD=8．
故答案为8．
【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8．
12．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为 米.（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）
【答案】27
【解析】【解答】过点E作EM⊥AB，垂足为M，如图所示，
设AB为xm，
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=xm，
∴BC=BF+FC=（x+13）m，
在Rt△AEM中，AM=AB-BM=AB-CE=（x-2）m，
又tan∠AEM= ，∠AEM=22°，
∴ =0.4，
解得x≈12，
则ME=BC=BF+13≈12+13=25（m）.
在Rt△AEM中，cos∠AEM= ，
∴AE= ，
故AE的长约为27m.
故答案是：27.
【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°= ，即可求出教学楼AB的高度；再利用Rt△AME中，cos22°= ，求出AE即可.
13．一个人从山沿30°的山坡登上山顶，他走了500米，则这座山的高度是
【答案】250米
【解析】【解答】解：∵30°所对的直角边是斜边的一半，
∴山的高度=500÷2=250米，
故答案为：250米．
【分析】根据直角三角形的性质进行计算即可．
14．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，那么AC= ．
【答案】5
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵sinA==，BC=12，
∴AB=13，
∴AC==5．
故答案为5．
【分析】先根据正切的定义得到sinA==，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC的长．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0)的图象如图所示，等边三角形ABC的顶点A在该反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，OB=1.若顶点C恰好落在y= (k>0)的图象上，则k= .
【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵OB=1，△ABC是等边三角形，
∴设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∴，
∴点C，
∴
解之：k=.
故答案为：
【分析】 过点C作CD⊥x轴于点D，利用等边三角形的性质，设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，同时可证得AB∥CD，利用平行线的性质可得到∠BCD=60°；再利用解直角三角形求出BD，CD的长，可得到C的坐标，将点C的坐标代入 y=，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 ．
【答案】 或
【解析】【解答】∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，作DM⊥AB于M，如图1所示：
∵sinA＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴DM＝ ，
分三种情况：
①当DE＝DF时，
∵tan∠DFE＝ ＝ ，
∴FM＝ DM＝ × ＝ ，
∴DE＝DF＝ ＝ ＝ ；
②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，如图2所示：
由①得：DM＝ ，FM＝ ，DF＝ ；
∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝ DF＝ ，
∵tan∠EFD＝ ＝ ，
∴EN＝ FN＝ ，
∴ED＝EF＝ ＝ ；
③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G，如图3所示：
则EG＝DG，
同①得：EM＝ ，DE＝ ，
∴EG＝ ，
∵tan∠DEF＝ ＝ ，
∴GF＝ EG＝ ，
∴EF＝ ＝ ；
综上所述，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
【分析】由勾股定理得出AB＝ ＝5，作DM⊥AB于M，由三角函数得出DM＝ ，分三种情况：①当DE＝DF时，②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：
．
【解析】【分析】利用负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值先计算，再进行二次根式的乘法，最后计算加减即可.
18．为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
19．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数．
（1）若，，且为奇数，求的周长．
（2）化简：．
【答案】（1）12
（2）
20．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m。参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
（1）求∠BCD的度数.
（2）求教学楼的高BD
【答案】（1）解：过点C作CD⊥BD于点E，
则∠DCE=18°，∠BCE=20°，
所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.
（2）解：由已知得CE=AB=30（m），
在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)，
在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.
答：教学楼的高为20.4m.
【解析】【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得BE和DE，求和即可.
21．如图，在中，是斜边上的高线．
（1） ．（填或）
（2） ．（填或）
（3）若点是线段上的一个动点，连结，则 （填或）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【解答】
（1）
解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）
解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）
解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
【分析】
（1）由垂线段最短知CD
（2）由三角形的三边关系知AC+BC>AB；
（3）由垂线段最短知CDCE．
（1）解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
22．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC．（结果取整数，参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88）
【答案】解：作DE⊥AB于E，
则四边形EBCD为矩形，
∴DE=BC=80m，BE=CD
由题意得，∠ADE=50°，∠ACB=62°
在Rt中，，
则，
在Rt中，，
则，
则，
答：甲建筑物的高度AB约为156m，乙建筑物的高度DC约为55m。
【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根据矩形的性质得到DE=BC=80m，BE=CD，进而结合题意得到∠ADE=50°，∠ACB=62°，根据正切函数即可得到AE，从而根据得到，则.
23．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°（如图）．已知一梯子AB的长为6m，梯子的底端A距离墙面的距离AC为2m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）
【答案】解：这时人能够安全地攀上梯子的顶端．理由如下：
在Rt△ABC中，
∵AC=AB cosα，AB=6，
∴当α=50°时，AC=6cos50°≈6×0.64=3.84（m）；
∴当α=75°时，AC=6cos75°≈6×0.26=1.56（m）．
∴1.56＜2＜3.84，
∴人能够安全地攀上梯子的顶端．
【解析】【分析】根据三角函数的定义得在Rt△ABC中，AC=AB cosα而AB=6，然后分别计算当α=50°时或当α=75°时对应的AC的值，这样得到AC的取值范围，再判断当AC=2m时在此范围内．
24．在中，，点在CD上，点在AB上，点在BD的延长线上，连接．
（1）如图1，当时，求证线段AG与线段DF的数量关系
小刚同学有如下想法：解：（1）当时，，在AD上截取，连接HG，如图：（请续写证明过程）
（2）如图2，当时，请直接写出线段AD，DE和DF之间的数量关系.
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求的值．
【答案】（1）（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF，
∵在 ABCD中，∠ADB=90°，
∴∠A=∠ABD=45°，AB∥CD，
∴∠CDB=45°，
∴∠CDF=135°，
在AD上截取DH=DE，连接HG，
∵∠FED=∠ADG，
∴△DHG≌△EDF（SAS），
∴∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，
∴∠AHG=45°，∠AGH=90°，
∴AG=GH=DF；
（2）9AD=20DF+12DE；
（3）过点E作EN⊥BD于N，
设AG=BG=DG=4x，则BD=x，AD=x，
∴MG=3x，AM=5x，DM=AD-AM=x，
∵△DMG∽△EDF，
∴===，
∴EF=3x，DE=x，DF=x，
设DN=y，
∵EN2=EF2-FN2，EN2=DE2-DN2，
∴EF2-FN2=DE2-DN2，
∴（3x）2-（x+y）2=（x）2-y2，
∴y=x，
∴EN===x，
BN=BD-DN=x-x=x，
∴tan∠EBF===．
【解析】【解答】解：（2）过点G作GM⊥AB交AD于点M，
当k=时，
==，
设∠A=x，则∠DMG=90°+x，∠BDC=∠ABD=90°-x，
∴∠EDF=180°-（90°-x）=90°+x=∠DMG，
∵∠FED=∠ADG，
∴△DMG∽△EDF，
∴===，
∴MG=DF，DM=DE，
∵∠MAG=∠BAD，∠AGM=∠ADB=90°
∴△AMG∽△ABD，
∴，
∴
∴AM=MG=×DF=DF，
∵AD=AM+DM，
∴AD=DF+DE，
∴9AD=20DF+12DE；
故答案为：9AD=20DF+12DE；
【分析】（1）在AD上截取DH=DE，连接HG，△DHG≌△EDF（SAS），得到DF=HG，∠DHG=∠EDF，于是可求出∠AHG的度数，即可得到结论；
（2）过点G作GM⊥AB交AD于点M，先证明△DMG∽△EDF，可得=E==；再证明△AMG∽△ABD得，于是有AM=MG=×DF=DF，DM=DE，得到AD=DF+DE，整理即可得到结论；
（3）过点E作EN⊥BD于N，设AG=BG=DG=4x，根据（2）中比例，得出BD，AD，于是可求MG，AM，DM的长，根据△DMG∽△EDF可得EF，DE，DF的长，在Rt△DEN中利用勾股定理求得
EN===x，于是有BN=BD-DN=x-x=x，根据正切定义即可得到tan∠EBF的值。
25．如图，菱形的对角线相交于点O，且，．
（1）求的长；
（2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点．
①当时，求四边形的面积；
②记的最小值为a，的最小值为b，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，且，，∴，，，
．
在中，，
∴，
∴．
∴．
（2）①如图，连接，设，∵，
∴，
在中，，
∴，，
即，
解得：（舍），．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
．
∴．
∴四边形的面积是．
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．
∵，，
∴．
∴，
∴在中，．
∴．
∴当E、F、G共线时，的值最小，此时．
∴，
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
∴当A、F、H共线时，的值最小．
在中，，
∴．
∴．
∴的值为81．
【解析】【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答；
（2）①如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算；
②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答．
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