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第二十四章 圆 单元知识巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．11
2．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（ ）
A．8 B．6 C． D．
3．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
4．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，是的直径，点A和点C都在上，若，则的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
7．如图，点C，D在上，直径且，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．如图，点 为 上一点， 弦 于点 ，如果 ， ，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．如图，在平面直角坐标系 中 ，若在直线 上存在点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．正五边形的一个内角是 度。
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A= .
13．如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1：2：3：4，则甲、乙、丙、丁四个扇形中圆心角度数最大的是 度．
14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，已知⊙O半径为2，且∠APB=60°，则AB= ．
15．如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
16．如图，边长为 的正方形 的顶点 、 在一个半径为 的圆上，顶点 、 在圆内，将正方形 沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点 第一次落在圆上时，点 运动的路径长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O 的直径AB=8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点 P，连结PC 交⊙O 于点 D，
（1）求 CD 的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
18．如图，的直径为，弦为的平分线交于点D．
（1）求的度数；
（2）求阴影部分的面积．
19．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．
20． 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.
（1）求证：∠AOB=2∠BOC；
（2）若AB=4，BC= ，求⊙O的半径.
21．如图，已知 ， 分别与 相切于点A，B，C为 上一点．若 ，求 的大小．
22．如图所示，在以 AB 为直径的⊙O中，弦CD⊥AB 于点 H，与弦 AE 交于点 F，连结 BE，已知CD=8，AH=2.
（1）求⊙O 的半径；
（2）若 求 BE 的长.
23．如图，为的直径，C是上一点，过点C的直线交的延长线于点于点E，交于点平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
24．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图1，若，求阴影部分面积；
（3）如图2，若，求的值．
25．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．
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第二十四章 圆 单元知识巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．11
【答案】D
【解析】【解答】解：∵半径为5的圆，直径为10，
∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0
∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故答案为：D
【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求出答案.
2．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作于，作直径，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，
又，
为的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】作于，作直径，连接，再求出，再证出为的中位线，最后利用三角形中位线的性质求出AH的长即可.
3．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形与其外接圆的关系，⊙O的半径为a，根据圆的面积公式即可算出圆的面积，空白正六边形为六个边长为a的正三角形，根据三角形的面积等于两邻边积与其夹角正弦值的积的一半，得出一个证三角形的面积，从而用圆的面积减去正六边形的面积再除以6，即可得出阴影部分的面积。
4．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设A、E、F分别是 各边中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】设A、E、F分别是△ABC各边中点，由AB=AC=BC=8，得DE=DF=EF=4，则∠EDF =∠DFE=∠DEF=60°，结合 ，据此回答即可.
5． 如图，是的直径，点A和点C都在上，若，则的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】是的直径，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得从而得到，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
【答案】C
【解析】【解答】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，
∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，
∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点.
故答案为：C.
【分析】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD是BC的中垂线，由BC是圆的切线，可得AD必过圆心及AE的中垂线必过圆心，据此判断即可.
7．如图，点C，D在上，直径且，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
∵点C，D在上，直径且，
∴，，
∴，
∴弧的长为；
故答案为：B．
【分析】先求出，，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可。
8．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】【解答】解：
∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是 的中点，OC过O，
∴OA=OB，
∴∠BOC= ∠AOB=40°，
故选A．
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC= ∠AOB，代入求出即可．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
9．如图，点 为 上一点， 弦 于点 ，如果 ， ，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可得∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵ ，
∴BD=CD，
在Rt 中，BD= OD= ，
∴BC=2BD=2 ．
故答案为：C．
【分析】先求出∠OBC=∠OCB=30°，再求出BD= OD= ，最后计算求解即可。
10．如图，在平面直角坐标系 中 ，若在直线 上存在点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
当 时，此时以 所对的圆心角等于 ，
即 ，
只有直线 与圆 相切的时候，此时取最值，
此时 ，
设
根据勾股定理可以求出 ， ，
与y轴夹角为 ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
的最大值为 ，
同理在y轴负半轴和其对称最小值为 ，
，
故答案为：D.
【分析】根据题意可以知道当 时，此时以 所对的圆心角等于 ，而且圆心在AB的垂直平分线上，只有直线 与圆 相切的时候，此时取最值，所以根据如图所示可以求出结果.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．正五边形的一个内角是 度。
【答案】108°
【解析】【解答】五边形的内角和为540°，所以正五边形一个内角为108°
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）可得五边形的内角和为540°，所以根据正五边形的定义可得正五边形一个内角==。
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A= .
【答案】24°
【解析】【解答】解：如图，以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，
∵点B，C，D对应的读数分别为160°、52°、40°，
∴∠BOA=160°-40°=120°，∠BOF=180°-160°=20°，∠COE=52°，
∴∠COM=52°+20°=72°，
∴∠ABO= ∠COM=36°，
∴∠A=180°-∠ABO-∠AOB=180°-120°-36°=24°.
故答案为：24°.
【分析】以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M， 连接OC．根据量角器的信息可得点B，C，D对应的读数分别为160°、52°、40°，由角的和差和三角形内角和定理即可求解．
13．如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1：2：3：4，则甲、乙、丙、丁四个扇形中圆心角度数最大的是 度．
【答案】144
【解析】【解答】解；设甲、乙、丙、丁的圆心角分别为α、β、γ、δ，
∴S甲=，S乙=，S丙=，S丁=，
∵S甲：S乙：S丙：S丁=1：2：3：4，
∴：：：=1：2：3：4，
∴α：β：γ：δ=1：2：3：4，
∴α=，β=2α=72°，γ=3α=108°，δ=4α=144°，
故甲、乙、丙、丁四个扇形中圆心角度数最大的是144°．
故答案为：144．
【分析】设甲、乙、丙、丁的圆心角分别为α、β、γ、δ，先求出 甲、乙、丙、丁四个扇形的面积 ， 根据甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1：2：3：4， 可求出α：β：γ：δ=1：2：3：4，然后求出扇形丁的圆心角。
14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，已知⊙O半径为2，且∠APB=60°，则AB= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：连接PO，AO，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠APO=30°，
在直角△APO中，AP= = =2 ，
∴AB=AP=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】连接PO，AO，根据切线长定理，即可证得PA=PB，则△PAB是等边三角形，在直角△APO中求得AP，即可．
15．如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理和垂径定理可得。
16．如图，边长为 的正方形 的顶点 、 在一个半径为 的圆上，顶点 、 在圆内，将正方形 沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点 第一次落在圆上时，点 运动的路径长为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，
∵AB= ，AO=BO= ，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∠DAF=120°-90°=30°，即旋转角为30°，
∴∠EAC=30°，∠GFE=∠FAD=120°-90°=30°，
∵AD=AB= ，
∴AC=2，
∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 =（ ）π；
故答案为：（ ）π
【分析】先求出△AOB是等边三角形，△FAO是等边三角形，再利用弧长公式求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O 的直径AB=8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点 P，连结PC 交⊙O 于点 D，
（1）求 CD 的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，作 于点E，连接OC、OD.
由垂径定理，得CE=DE.
在 中，
∵直径AB=8，
∴半径OD=4.
在 中，
（2）解：
即图中阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）作 于点E，连接OC、OD，根据垂径定理得到CE=DE，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出DE即可解答；
（2）先求出∠COD的度数，然后根据解答即可.
18．如图，的直径为，弦为的平分线交于点D．
（1）求的度数；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得，由角平分线的定义以及圆周角定理即可求得答案；
（2）连接，利用勾股定理得，，由含30°的直角三角形的性质得，从而得，进而根据圆周角定理求得，然后利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可．
（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
即阴影部分的面积为．
19．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．
【答案】解：方法一：连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴BD⊥AD．
又∵CF⊥AD，
∴BD∥CF，
∴∠BDC=∠C．
又∵∠BDC= ∠BOC，
∴∠C= ∠BOC．
∵AB⊥CD，
∴∠C=30°，
∴∠ADC=60°．
方法二：设∠D=x，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A，
∴△AFO∽△AED，
∴∠D=∠AOF=x，
∴∠AOC=2∠ADC=2x，
∴x+2x=180，
∴x=60，
∴∠ADC=60°．
【解析】【分析】连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得∠BDC= ∠BOC，则∠C= ∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
20． 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.
（1）求证：∠AOB=2∠BOC；
（2）若AB=4，BC= ，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：圆周角定理可得，
∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，
∵∠ACB=2∠BAC，
∴ ∠AOB=2∠BOC
（2）如图，作OM⊥AB，连接AM，BM，
由垂径定理，得M为弧AB中点，且AN=2
又由（1）得，∠AOM=∠MOB=∠BOC，
∴弧AM=弧MB=弧BC，
∴AM=MB=BC=，
在Rt△ANM中，
，
设半径OA=OM=r，
在Rt△OAN中，
，
解得x=，
故圆O的半径为
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，结合∠ACB=2∠BAC可证明结论；
（2）过点O作半径OM⊥AB于点N，可得AN=BN，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BM=BC=AM，即可求得BE=N，MB＝，利用勾股定理可求解MN=1，再利用勾股定理可求解圆的半径.
21．如图，已知 ， 分别与 相切于点A，B，C为 上一点．若 ，求 的大小．
【答案】解：连接OA、OB
∵ ， 分别与 相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵
∴∠AOB=360°－∠OAP－∠OBP－∠P=110°
∴∠C= ∠AOB=55°．
【解析】【分析】连接OA、OB， 根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可得∠AOB=
360°－∠OAP－∠OBP－∠P，据此计算即可.
22．如图所示，在以 AB 为直径的⊙O中，弦CD⊥AB 于点 H，与弦 AE 交于点 F，连结 BE，已知CD=8，AH=2.
（1）求⊙O 的半径；
（2）若 求 BE 的长.
【答案】（1）解：如图， 连接OD，
设圆的半径是r，
AB是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为5
（2）解：
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂径定理求出DH的值，然后根据勾股定理求出半径的值即可；
（2）根据垂径定理得到然后得到即可得到AE=CD=8，然后根据勾股定理解答即可.
23．如图，为的直径，C是上一点，过点C的直线交的延长线于点于点E，交于点平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C在圆O上，为圆O的半径，
是圆O的切线；
（2）解：在直角三角形中：
又
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定定理得出OC∥AE，从而得出∠OCD=∠E，再根据垂直的定义得出∠E=90°，从而得出OC⊥CD，即可证出DE是 是的切线；
（2）先求出△OCD和扇形OBC的面积，利用，即可得出图中阴影部分的面积.
24．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图1，若，求阴影部分面积；
（3）如图2，若，求的值．
【答案】（1）证明：，，
，即∠DEO=90°，
为的半径，
直线与相切。
（2）解：如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
。
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
【解析】【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质．
（1）根据“两直线平行、同旁内角互补”即可得出∠DEO=90°，然后根据切线的判定可得结论；
（2）根据“四个角都是直角的四边形是矩形”即可先证明四边形为矩形，此时即可得出，进而确定△ACO是等边三角形，即，并利用勾股定理求出OF的长，最后由即可得出；
（3）放到直角三角形CME和OFA中，根据勾股定理，用含的式子表达出，再根据求出即可．
（1）证明：，
为的半径
直线与相切；
（2）如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
25．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】（3）解：连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1）连接、，根据矩形性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得ED，根据直线平行性质可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，交于点O，连接，，根据矩形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，则点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，即可求出答案.
（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
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