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第二十五章 概率初步 单元专题测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是轴对称图形
B．这两个图形都不是轴对称图形
C．这两个图形都是中心对称图形
D．这两个图形都不是中心对称图形
2．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻
B．明天会下雨
C．小明今天至少走了 100 米
D．太阳从东方升起
3．一个布袋内装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出1个球后放回并搅匀，再随机摸出1个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 ( )
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件
B．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件
C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适
D．某种彩票的中奖概率为 ，是指买7张彩票一定有一张中奖
5．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在白色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．从数字2，3，4中任取两个不同的数字，其积不小于8，发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
9．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．射击运动员射击一次，命中靶心
10．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为
12． 三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， 从中随机抽取一张， 则所得卡片上函数的图象在第一象限内随 的增大而增大的概率是 .
13．用m、n、p、q四把钥匙去开A、B两把锁，其中仅有钥匙m能打开锁A，仅有钥匙n能打开锁B，则“取一把钥匙恰能打开一把锁”的概率是 ．
14．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是
15．一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小．
16．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
18．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率．
19．在4张同样的纸片上各写一个正整数，从中随机抽取2张，并将这两张纸片上的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．
（1）请你猜想并验证后，直接写出这4张纸片上的正整数；
（2）若2，3，4，4或2，3，3，5从这4张纸片中随机抽取3张，求抽到的纸片上的数的和是9的概率．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 ；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
21．如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
22．如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
23．如图是一个可以自由转动的转盘，小明跟小红分别转动一次转盘，然后记下转盘停止时指针所指的颜色（指针压线时重转），若两次颜色相同则小明获胜，否则小红获胜，请你用树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果，并判断游戏是否公平.
24．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（Ⅰ）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（Ⅱ）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
25．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
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第二十五章 概率初步 单元专题测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是轴对称图形
B．这两个图形都不是轴对称图形
C．这两个图形都是中心对称图形
D．这两个图形都不是中心对称图形
【答案】B
【解析】【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；
B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；
C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；
D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由于等腰三角形与等腰梯形是轴对称图形、不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形、不是轴对称图形；矩形是轴对称图形、也是是中心对称图形，再根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，进行逐一判断即可.
2．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻
B．明天会下雨
C．小明今天至少走了 100 米
D．太阳从东方升起
【答案】D
【解析】【解答】.解：A、打开电视机，正在播“新冠肺炎”相关新闻是随机事件，不符合题意；
B、明天会下雨是一种预测，也是随机事件，不符合题意；
C、小明今天至少走了 100 米 ，这是一种估计，是随机事件；
D、 因为太阳一定从东方升起，所以是必然事件；
故答案为：D.
【分析】可能出现也可能不出现的事件是随机事件，一定条件下重复进行试验，每次必然发生的事件叫必然事件，根据定义逐项分析即可判断.
3．一个布袋内装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出1个球后放回并搅匀，再随机摸出1个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：列表得：
黑 白 白
黑 (黑， 黑) (黑， 白) (黑， 白)
白 (黑， 白) (白， 白) (白， 白)
白 (黑， 白) (白， 白) (白， 白)
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为
故选： D.
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，得到符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
4．下列叙述正确的是（ ）
A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件
B．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件
C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适
D．某种彩票的中奖概率为 ，是指买7张彩票一定有一张中奖
【答案】B
【解析】【解答】A.是必然事件，故A不符合题意；
B.“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件，故B符合题意；
C.了解炮弹的杀伤力，数量较多，且具有破坏性，故适宜采用抽样调查的方法，故C不符合题意；
D.彩票的中奖概率为 ，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 不确定事件就是随机事件，可能发生，也可能不发生，事先无法判断；据此可判断选项A与B；对于数量较多，且破坏性较强的不适合做普查 ，据此可判断选项C，根据概率的意义可判断选项D。
5．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在白色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵地面被等分成15份，其中白色部分占10份，
∴根据几何概率的意义，落在白色区域的概率==．
故选：D．
【分析】首先确定在图中白色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出停在白色方砖上的概率．
6．从数字2，3，4中任取两个不同的数字，其积不小于8，发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】列表得：
（2，4） （3，4） ﹣
（2，3） ﹣ （4，3）
﹣ （3，2） （4，2）
∴一共有6种可能性，其积不小于8的为（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4种，∴其积不小于8发生的概率是=．故选B．
【分析】这是一个由两步完成，无放回的实验，可以用列表法把所有情况都表示出来，然后根据概率公式即可解得．
7．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．
男1 男2 男3 女1 女2
男1
一 一 √ √
男2 一
一 √ √
男3 一 一
√ √
女1 √ √ √
一
女2 √ √ √ 一
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
8．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【答案】B
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
B、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为≈0.33，故此选项正确；
C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误．
故选：B．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
9．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常加热到100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【解析】【解答】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件；
B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
故选：B．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
10．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =3，∴S△ABC= AC BC= ×12×9=54，
S圆=9π，
∴小鸟落在花圃上的概率= = ，
故选B．
【分析】由AB=15，BC=12，AC=9，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =3，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为
【答案】
【解析】【解答】解：由题可得：
共有9种情况，两次摸到红球的情况有4种，
∴两次都摸到红球的概率为；
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有9种情况，两次摸到红球的情况有4种，从而根据概率公式即可算出答案.
12． 三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， 从中随机抽取一张， 则所得卡片上函数的图象在第一象限内随 的增大而增大的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：函数y=2x、、y=x2的图象的草图如图所示，
由图可知，图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数是=2x、y=x2，
故，
故答案为：.
【分析】先求出函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数的个数，再根据概率公式即可得出答案.
13．用m、n、p、q四把钥匙去开A、B两把锁，其中仅有钥匙m能打开锁A，仅有钥匙n能打开锁B，则“取一把钥匙恰能打开一把锁”的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中取一把钥匙恰能打开一把锁”的结果数为2，
所以取一把钥匙恰能打开一把锁”的概率= = ，
故答案为： ．
【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出取一把钥匙恰能打开一把锁”的结果数，然后根据概率公式求解．
14．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有12种情况，
∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是：=．
故答案为：．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽出的卡片所标数字不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
15．一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小．
【答案】红；白
【解析】【解答】解：由题意可得：摸出红球的可能性为：，
摸出黄球的可能性为：，
摸出白球的可能性为：，
∵，
∴摸出红球的可能性最大，摸出白球的可能性最小，
故答案为：红；白.
【分析】根据题意求出摸出红球、黄球和白球的可能性，再比较大小求解即可。
16．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点A(x，y)横、纵坐标满足的条件：“－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数”，并且点A与点O(0，0)和B(1，1)能构成三角形，
∴这样的点有20个，其中能构成直角三角形的有8个（如图所示），
即：（－2，－2），（－1，－1），（0，1），（0， 2），（1，0），（2，0），（2，－1），（2，－2），
∴所求概率为
故答案为：
【分析】先由A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)， 在平面直角坐标系中确定出所有的A点有25个，再结合O(0，0)，B（1，1）可知能构成△AOB的A点有20个，而是直角三角形的只有8个，据此由概率的意义即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），，
补全频数分布直方图如图所示，
（2）；
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）画树状图，得出所有等可能的结果数，求出恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
18．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率．
【答案】（1）解：画树状图如下：
则所有可能出现的结果为
（2）解：把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，
则共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个，
则这个两位数大于20的概率为：，
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，进而即可求解；
（2）根据树状图结合题意得到共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个，再根据概率公式即可求解。
19．在4张同样的纸片上各写一个正整数，从中随机抽取2张，并将这两张纸片上的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．
（1）请你猜想并验证后，直接写出这4张纸片上的正整数；
（2）若2，3，4，4或2，3，3，5从这4张纸片中随机抽取3张，求抽到的纸片上的数的和是9的概率．
【答案】（1）2，3，3，5或2，3， 4，4；
（2）或．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 ；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.25
（2）解：，，
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：需要往盒子里再放入个白球．
【解析】【解答】解：（1）∵摸到白球的频率定于，
∴摸到白球的概率：
故答案为：0.25.
【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率；
（2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可.
21．如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解： A区域内的小方格踩中地雷的概率=；A区域外的小方格踩中地雷的概率=；
∵
∴小明的第二步应踩在A区域外的小方格上。
【解析】【解答】解：（1）9×9的正方形中有81个小方格，其中有10个小方格中有地雷，
∴ 踩中地雷的概率 =。
故答案为：；
（2）在8个小方格中埋藏着2个地雷，
∴ 踩中地雷的概率 =。
故答案为：；
【分析】（1）根据概率计算公式可直接球的答案；
（2）根据概率计算公式可直接球的答案；
（3）可分别计算 A区域内的小方格踩中地雷的概率和A区域外的小方格踩中地雷的概率，通过比较概率的大小，即可得出答案。
22．如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
【答案】（1）解：共有四个开关，，，，当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是（A，D），(B，D)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，共有6种等可能的结果，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
【解析】【分析】（1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.
（1）解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
23．如图是一个可以自由转动的转盘，小明跟小红分别转动一次转盘，然后记下转盘停止时指针所指的颜色（指针压线时重转），若两次颜色相同则小明获胜，否则小红获胜，请你用树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果，并判断游戏是否公平.
【答案】解：依题意把白色部分分成白1与白2，依题意列表得：
由上表可得，共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中颜色相同的有5种，即P（颜色相同）= ，颜色不同的有4种，
即P（颜色不同）= .
由于P（颜色相同）≠P（颜色不同），故这个游戏不公平.
【解析】【分析】由于白色部分扇形的圆心角是红色部分扇形圆心角的2倍，故白色部分可看成白1与白2两部分。用列表法可列出指针指向白色或红色的所有可能结果有9种，其中两次颜色相同的有5种，不同的4种，故它们出现的概率不同，可用判断游戏不公平。
24．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（Ⅰ）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（Ⅱ）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
【答案】解：（Ⅰ）∵ = =63，
∴s甲2= ×[（63﹣63）2×2+（66﹣63）2+2×（61﹣63）2+（64﹣63）2]=3；
∵ = =63，
∴s乙2= ×[（63﹣63）2×3+（65﹣63）2+（60﹣63）2+（64﹣63）2]= ，
∵s乙2＜s甲2，
∴乙种小麦的株高长势比较整齐；
（Ⅱ）列表如下：
63 66 63 61 64 61
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
65 63、65 66、65 63、65 61、65 64、65 61、65
60 63、60 66、60 63、60 61、60 64、60 61、60
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
64 63、64 66、64 63、64 61、64 64、64 61、64
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
由表格可知，共有36种等可能结果，其中两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的有6种，
∴所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率为 = ．
【解析】【分析】（Ⅰ）先计算出平均数，再依据方差公式即可得；
（Ⅱ）列表得出所有等可能结果，由表格得出两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的结果数，依据概率公式求解可得．
25．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】解：（1）“3点朝上”的频率为：，
“5点朝上”的频率为：；
（2）王勇的说法是错误的
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，
只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率．
李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次．
（3）列表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个，
∴P（点数之和为3的倍数）= ．
【解析】【分析】（1）利用概率公式结合表格中数据直接求出即可；
（2）利用频率估计概率的意义分析得出即可；
（3）利用列表法求出所有的可能，进而得出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
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