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锐角三角函数 单元同步培优检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若cosA= ，tanB= ，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，AB=2，则AC长是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
4．如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个的标杆，然后他在A处测得C点的俯角β为，再测得D点的俯角α为，则两幢楼房之间的水平距离大约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
5．如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中的正切值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
7． 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
9．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点分别在边和上，且，以点为圆心，为半径的弧分别交于点和点，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，我校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离BC为30米，且距地面高度AB为2.5米，则气球顶部都离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，）.
12．如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是 米．
13．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为 米．（，结果精确到0.1）
14．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为 ．
16．如图①是一个放置在水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边CD=8cm，棱AD上标有刻度，水面与AD 交于点M，读得DM=30 cm，如图②将容器放在斜坡 OE上，此时水面分别与 AD，BC交于点 N，P(NP∥OF)，读得 DN=25 cm.若容器厚度不计，则tan∠ANP= .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】
19．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号）
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
20．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
21．如图，在一坡角40°，坡面长AC=100m的小山顶上安装了一电信基站AB，在山底的C处，测得塔顶仰角为60°，求塔的高AB。(精确到0.1m) (以下供参考：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， ≈1.73)
22．在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝5cm．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，B，E之间的距离为15cm，求连接杆DE的长度．
（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示．求在此过程中点E滑动的距离．
23．如图，某河大堤上有一棵树ED，ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿着坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，求树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，=2.236）
24．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
25．如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；
（3）如图①，若△ADE的面积为72，，请直接写出CF的长．
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锐角三角函数 单元同步培优检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若cosA= ，tanB= ，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：∵cosA= ，tanB= ，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故A符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据特殊角的三角函数值可求得∠A、∠B的度数，进而求出∠C的度数，可得出三角形的形状.
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，AB=2，则AC长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】．解：如图，
∵∠C=90°，sinA= ，AB=2，
∴BC=AB×sinA=2× = ，
由勾股定理得：AC= = ．
故答案为：A．
【分析】根据正切函数的定义，由BC=AB×sinA算出BC，然后根据勾股定理即可算出AC。
3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
4．如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个的标杆，然后他在A处测得C点的俯角β为，再测得D点的俯角α为，则两幢楼房之间的水平距离大约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：延长交水平线于点E，
则四边形是矩形，
∴，
设，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
解得：，
∴（米），
∴两座楼房之间的水平距离大约为9米，
故选：D．
【分析】
先过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E可构造和，分别解和，可得CE等于、DE等于AE，观察图形知，CE与DE的差CD已知，即得到关于AE的一元一次方程，最后解方程即可．
5．如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，
大正方形面积为100，小正方形面积为4，
AB=10，CD=2，
由图可得AC=BD，
在Rt△ADB中，
即
AC=BD，
解得AC=6或AC=-8（舍去），
故答案为：C.
【分析】先由两个正方形的面积求出两个正方形的边长，再利用勾股定理求AC，BD的值，根据锐角三角函数的定义即可求解.
6．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，
设a=x，则c=3x，b= =2 x.
即tanA= = .
故答案为：B.
【分析】设a=x，根据 c＝3a可知c=3x，利用勾股定理求出b，在Rt△ABC中，由∠A的正弦的定义即可求出tanA的值 .
7． 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
8．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【答案】A
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图：
，
设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2=1952，
解得x≈75m，
DE=75m，CE=2.4x=180m，
EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．
∵AF∥DG，
∴∠1=∠ADG=20°，
tan∠1=tan∠ADG= =0.364．
AF=EB=126m，
tan∠1= =0.364，
DF=0.364AF=0.364×126=45.9，
AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出DE的值，再根据解直角三角形AF、BE、DF的值，求出AB=FE=DE﹣DF的值.
9．如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，
∵AE=2，BE=，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴sinA==，
故选：A．
【分析】利用图形构造直角三角形，进而利用sinA=求出即可．
10．如图，在矩形中，点分别在边和上，且，以点为圆心，为半径的弧分别交于点和点，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
∵四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】本题考查垂径定理，矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质.连接，过点作于点，根据四边形为矩形，，利用矩形的性质可得：，，再根据，， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由，，可推出，，由，利用角的运算可得：，即，由垂径定理可得，又由三角函数可得，，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出，据此可得，再根据，利用三角函数可得，利用三角形的面积计算公式可求出，再根据，可求出四边形的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，我校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离BC为30米，且距地面高度AB为2.5米，则气球顶部都离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，）.
【答案】17.5
【解析】【解答】解：由题意可得四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=30米，CD=AB=2.5米，
∵∠EAD=26.566°，
而tan∠EAD=，
∴ED=30×0.5=15，
∴EC=ED+CD=15+2.5=17.5（米）
故答案为：17.5.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，CD=AB，在Rt△AED中，由锐角三角函数tan∠EAD=可求得ED的值，然后EC=ED+CD可求解.
12．如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是 米．
【答案】27
【解析】【解答】解：作PE⊥AB于点E，
在直角△AEP中，∠APE=∠α，
则AE=PE tan∠APE=30×0.45=13.5（米），
则AB=2AE=27（米）．
故答案是：27．
【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解．
13．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为 米．（，结果精确到0.1）
【答案】4.4
【解析】【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cos∠ADE＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）．
故答案为： 4.4．
【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形ADE中求得DF和DE的长，再相加即可得出EF的长。
14．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里．
【答案】25
【解析】【解答】解：根据题意，得∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°﹣30°=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故答案为：25．
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长BA交格点于点D，连接CD，
∵
∴
∴
∴∠CDB=90°，
∴.
故答案为：.
【分析】延长BA交格点于点D，连接CD，利用勾股定理的逆定理证明△CBD是直角三角形，再利用锐角三角函数的定义可求出∠ABC的正切值。
16．如图①是一个放置在水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边CD=8cm，棱AD上标有刻度，水面与AD 交于点M，读得DM=30 cm，如图②将容器放在斜坡 OE上，此时水面分别与 AD，BC交于点 N，P(NP∥OF)，读得 DN=25 cm.若容器厚度不计，则tan∠ANP= .
【答案】如图，作MQ⊥OE，交NP于点H，由题意得，两次容器中水的体积不变，即截面积DNPC不变，与MD·DC相等，又∵NP∥OP，∴△NMH≌△PQH，∴MN=PQ=5，MH=HQ=12CD=4 ，∴tan∠ANP= MHMN=45
【解析】【分析】作MQ⊥OE，交NP于点H，由题意可得截面积NDCP与MD·DC相等，结合已知条件，得△NMH≌△PQH，从而得到MH与MN的长，进而表示tan∠ANP的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：
=
=2．
【解析】【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简.先利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简可得：原式，再利用有理数的加减法进行计算可求出答案.
18．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】
【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD= ，∴ = ，解得，x≈233．答：热气球离地面的高度约为233米．
【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，在Rt△ADB中，得出AD=BD，在Rt△ADC中，根据三角形函数的定义建立方程，求解即可。
19．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号）
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
【解析】【分析】
（1）过点B作于点E，设，在中，根据勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，在中，根据锐角三角函数tan∠CDJ=求出CJ的值，然后由线段的和差CF=CJ+FJ可求解．
（1）解：如图，过点B作于点E．
设，
∵的坡度为，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：（舍去）或，
∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为；
（2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，
∴四边形，是矩形，
根据题意，得：，，
∴，，，
由（1）可知，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴日光灯C到一楼地面的高度约为．
20．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
【解析】【分析】
（1）过B作于E，由已知的坡度可设米，米，由勾股定理将BC用含x的代数式表示出来，根据的长度可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）所求得，再由锐角三角函数tan∠ADE=求得的值，然后根据线段的和差即可求解．
（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
21．如图，在一坡角40°，坡面长AC=100m的小山顶上安装了一电信基站AB，在山底的C处，测得塔顶仰角为60°，求塔的高AB。(精确到0.1m) (以下供参考：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， ≈1.73)
【答案】解：延长BA交地平线于点D，
由题意可知∠ACD=40°，∠BCD=60°，∠D=90°
在Rt△ACD中，
AD=ACsin∠ACD=ACsin40° ≈ 100×0.64=64；
CD=ACcos∠ACD=ACcos40° ≈ 100×0.77=77；
在Rt△BCD中
BD=CDtan∠BCD=77tan60° ≈ 133.21
∴BA=BD-AD=133.21-64 ≈ 69.2
答：塔的高AB约为69.2米.
【解析】【分析】延长BA交地平线于点D，由题意可知∠ACD=40°，∠BCD=60°，∠D=90°，在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出AD，CD的长，再在Rt△BCD中，利用解直角三角形求出BD的长，然后根据BA=BD-AD可求出BA的长。
22．在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝5cm．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，B，E之间的距离为15cm，求连接杆DE的长度．
（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示．求在此过程中点E滑动的距离．
【答案】（1）解：在图1中，过点D作DM⊥AB于点M
在Rt△BDM中
在Rt△DEM中
∴
（2）解：在Rt△DBE中
∴
∴在此过程中点E滑动的距离为：cm
【解析】【分析】（1）过点D作DM⊥AB于点M，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可求出DM，BM的长，在Rt△DEM中，根据勾股定理可求出DE的长，即可求出答案.
（2）在Rt△DBE中，根据勾股定理可求出DE的长，结合（1）中BE的长即可求出答案.
23．如图，某河大堤上有一棵树ED，ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿着坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，求树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，=2.236）
【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∵坡度为1：2，
∴CG：AG=1：2，
∴AG：AC=2：，
∵AC=20米，
∴AG=8米，CG=4米，
设CD=x米，
∵∠ECD=76°，
∴ED=CD tan76°=4.01x（米），
∵ED⊥CD，CD∥AB，
∴点E，D，F共线，
∵∠EAF=45°，
∴tan∠EAF=tan45°==1，
∴=1，
∴x≈2.99米，
∴ED=4.01×2.99≈12（米）．
答：树ED的高度是12米．
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，根据坡度比求出AG和CG，设CD=x米，再根据正切值表示出ED，根据∠EAF=45°，求出x的值，再把x的值代入即可得出答案．
24．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【答案】（1）解：作PD∥QB，如图，
由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中，，
即米；
（2）解：作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，
∴PH=9－a，
∵，
∴，
∴AH=QM=，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵，
∴，解得：，
∴AM=2，BM=，
∴米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为米．
【解析】【分析】（1）作PD∥QB，先根据平行线的性质得到∠PBQ=∠DPB=60°，再结合题意解直角三角形即可求解；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，进而根据矩形的性质得到HQ=AM=a，AH=MQ，从而得到PH=9－a，再结合题意解直角三角形即可求解。
25．如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；
（3）如图①，若△ADE的面积为72，，请直接写出CF的长．
【答案】（1）解：四边形BE'FE是正方形．
理由：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
，，．
，
四边形是矩形．
，
四边形BE'FE是正方形
（2）解：；
理由：如图②，过点D作DH上AE于点H，
，．
，．
∵四边形ABCD是正方形，，．
．
．
，，．
．
由旋转得：．
∵四边形BE'FE是正方形，，
，
（3）解：3
【解析】【解答】（3）解：作于，如图．
由（2）可知，Rt△AEB≌Rt△DGA，
由旋转可知，Rt△AEB≌Rt△CE’B，
∴Rt△AEB≌Rt△DGA≌Rt△CE’B，
∴DG=AE=CE’，
∵S△ADE=72=DG·AE=AE2，
∴AE=12，
∴DE=AE=CE’=12，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC=15
在Rt△ABE中，
∵AB=15，
∴BE===9，
∵四边形BE’FE是正方形，
∴BE=E’F=9，
∴CF=CE’-E’F=12-9=3.
【分析】（1）根据旋转性质得到∠E’=∠AEB=90°，∠EBE’=90，BE’=BE，再由题意可得∠FEB=90°，即可证明四边形BE’FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于点H， 证明△ADH≌△BAE（AAS），则有AH=BE=AE，再根据正方形的性质即可解决；
（3）作DG⊥AE于G，证明DG=AE=CE’，由S△ADE=72=DG·AE=AE2，求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理求得BE，再根据CF=CE’-E’F计算即可．
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