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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期中试卷
1．（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
2．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？
3．求代数式的值．
（1），，；
（2），，．
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
5．如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分，
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的长度．
6．若a，b为实数，且b=，求﹣．
7．已知 和 互为相反数，且x-y+4的平方根是它本身，求x、y的值.
8．如图，长方形的两条边长分别为3、4．请画出一个直角坐标系，使轴与平行，且点的坐标是，并写出其他三点的坐标．
9．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
10． 如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上且点，点，将向右平移4个单位长度至的位置．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
11．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长。
12．三八妇女节到来之际，我校准备购进一批贺卡送给女教师们，贺卡原价8元/张，甲、乙两家商店优惠方式如下：
甲商店：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商店：一次性购买不超过20张不优惠，超过部分打八折．
设我校准备购买张贺卡，
（1）用含a的式子分别表示到甲、乙两家商店购买贺卡的费用；
（2）当我校购买多少张贺卡时，两家商店的费用相同？
（3）已知贺卡是一张面积为的正方形，另有一个长宽比为5∶3的长方形信封，面积为，请问能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？（放入时贺卡与信封的边平行）请通过计算说明你的判断．
13．一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的1000倍呢 体积变为原来的n倍呢
14．如图所示，某市决定在相距50 km的A，B两村之间的公路旁点E处修建一个樱桃批发市场，且使C，D两村到点E的距离相等.已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=30 km，CB=20 km，那么樱桃批发市场E应建在什么位置才能符合要求
15．已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
16．已知坐标平面内的三个点 ， ， ，求 的面积．
17．已知2x是36的平方根，，求x，y的值.
18．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
19．已知点P(a＋3，4－a)，Q(2a，2b＋3)关于y轴对称．求ab的值．
20．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
21．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？
22．等边△ABC的边长是4，求它的面积．
23．已知：在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，CD=13.
（1）求的长．
（2）是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
（3）求这块空地的面积．
24．如图所示，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离．
25．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？
26．如图(单位：cm)，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少
27．（1）在坐标平面内画出点P（2，3）．
（2）分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P1，P2，并写出P1，P2的坐标．
28．如图的方格中有25个汉字，如四1表示“天”，请沿着以下路径去寻找你的礼物：
（1）一1→三2→二4→四3→五1
一 二 三 四 五
1 我 力 习 天 的
2 会 上 是 学 好
3 帅 就 更 棒 努
4 优 最 行 了 可
5 能 爱 秀 明 哥
（2）五3→二1→二3→一5→三4
（3）四5→四1→一2→三3→五2．
29．如图所示，数轴上点A表示-2，过数轴上表示1的点B作垂直于数轴的BC，若BC=2，以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点P，则数轴上点P所表示的数是多少？
30．如图，∠AOB=90°，OA=45m，OB=15m，一只猫在点B处看见一只老鼠从点A出发沿路线AO匀速逃向洞口O，猫立即从点B出发沿直线匀速前进拦截老鼠，如果猫和老鼠行走的速度相等，求点C到洞口O的距离.
31．计算：
（1）（2+）（2﹣）；
（2）（2﹣3）÷．
32．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
33．已知实数x，y满足关系式，求的值．
34．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于 的最大整数，称[]为a 的根整数.例如，
（1）计算： ， .
（2）若 求满足题意的x的整数值.
（3）现我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如，对10 连续求根整数 2 次，即 这时结果为1.
①对 100 连续求根整数，求几次之后结果为1；
②求只需进行 3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值.
35．高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．
（1）求空地的面积；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
36．如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．
37．已知2a﹣1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
38．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时 的速度向北偏西60°的 方向移动，经监测得知台风中心 的范围内将会受台风影响， ．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
39．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
40．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
41．已知．
（1）化简x，y；
（2）求代数式的值；
（3）若x的小数部分为a，求的值．
42．已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）
（1）当m为何值时，点M到x轴的距离为1？
（2）当m为何值时，点M到y轴的距离为2？
43．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为 ．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为 ▲ ；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为 ▲ ；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值 ．
44． 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足，现同时将点A，B分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接．此时．
（1） ， ．
（2）在x轴上有一动点P，使，求点P的坐标；
（3）点Q分别是四边形的边上的一个动点，如图2，连接，当点Q在线段上移动（不与A、C重合）的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求出其值．
45． 如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）①的坐标为 ；②的坐标为 ．
（2）是正整数，用含的代数式表示坐标；的坐标为 ．
（3）点从点出发，沿着点，，，运动，到点时运动停止，求点运动的路程．
46．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a，b，c满足关系式。
（1）分别求出点A，B，C的坐标；
（2）若在第一象限内有一点。
①请用含有m的式子表示出四边形ABMO的面积S；
②是否存在点M，使四边形ABMO的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
47． 已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出.
（2）求的面积；
（3）设点P在坐标轴上，当与的面积相等时，直接写出点P的坐标.
48．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
②一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0左跳1个单位到PI，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点P200所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是
（2）翻折变换
①若折叠数轴，表示-4的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 ▲ 的点重台；
②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为-3和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为A1；再以点C为折点，将数轴折叠，点A1对应的点A2落在数轴上，若A2、B之间的距离为2，求点C表示的数
49．已知 + =0，求 的值.
50．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
（1） ， ；
（2）根据上述方法求值：．
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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期中试卷
1．（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；（2）
2．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？
【答案】解：设木杆断裂处离地面x米，
由题意得：x2＋52＝（25 x）2，
解得x＝12，
答：木杆断裂处离地面12米.
【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可.
3．求代数式的值．
（1），，；
（2），，．
【答案】（1）解：∵，，
∴原式
（2）解：∵，，
∴原式
．
【解析】【分析】（1）将，，代入进行代数式求值即可；
（2）将，，代入进行代数式求值即可．
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
【答案】（1）解：如图1，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=2，
∴AB= = ，
在Rt△BCF中，BF=3，CF=2，
∴BC= = ；
（2）证明：如图2，连接AC，
在Rt△ACG中，AG=5，CG=1，
∴AC= ，
结合(1)可得 =
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC=90°.
【解析】【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理求得AB，BC的长，即可求解；
（2）勾股定理求得AC，进而勾股定理的逆定理证明ABC是以AC为斜边的直角三角形，即可求解．
5．如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分，
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的长度．
【答案】（1）解：∵垂直平分，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴.
（2）解：∵垂直平分，，
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，，
在，，
则，
则．
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得DB=DC，利用等边对等角的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用垂直平分线的性质及角平分线的定义可得，再利用角的运算求出∠C=90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=2DE=4，再利用勾股定理求出BE的长，最后求出BC的长即可.
6．若a，b为实数，且b=，求﹣．
【答案】解：由题意得，a2﹣1≥0且1﹣a2≥0，所以a2≥1且a2≤1，所以a2=1，解得a=±1，又∵a+1≠0，∴a≠﹣1，所以，a=1，b==，所以，﹣=﹣=﹣=﹣3．
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出a，再求出b，然后代入代数式进行计算即可得解．
7．已知 和 互为相反数，且x-y+4的平方根是它本身，求x、y的值.
【答案】解：∵ 和 互为相反数，
∴y-1=-（3-2x），
∵x-y+4的平方根是它本身，
∴x-y+4=0，
即 ，
解得：x=6，y=10
【解析】【分析】根据已知得出方程y-1=-（3-2x），x-y+4=0，求出两方程组成的方程组的解即可.
8．如图，长方形的两条边长分别为3、4．请画出一个直角坐标系，使轴与平行，且点的坐标是，并写出其他三点的坐标．
【答案】解：如图，
点坐标为点坐标为点坐标为．
【解析】【分析】根据C点坐标画出直角坐标系，然后再由坐标系可写出其他三点的坐标.
9．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102，
在△ABC中，AB2=262，BC2=242，
而102+242=262，
即AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD= AC BC- AD CD，
= ×10×24- ×8×6=96.
所以需费用96×200=19200（元）.
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC2，由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果.
10． 如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上且点，点，将向右平移4个单位长度至的位置．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：如图，
轴，
，
，
∵，轴，
；
故三角形的面积为；
（3）①当在的上方时，
如图，将补成直角梯形，
设，
，，，，，
，
的面积为，
，
解得：，
.
②当在轴上方，的下方时，
，
此种情况不存在；
③当在的下方时，
如图，将补成直角梯形，
设，
，，，，，
，
的面积为，
，
解得：，
.
综上所述：点P的坐标为或．
【解析】【解答】解：（1）如图1：根据平移的性质知：BC∥OA，BC=OA=4，
∴将点B向右平移4个单位得到点C，
∴点C点坐标为：（4，3）.
【分析】（1）利用平移性质即可得到点C的坐标.
(2)根据图形，△PCD的底CD=3，高DE=3，根据面积公式即可求出△PCD的面积.
(3)本题分三种情况讨论：①当P在AC上方时，②当在轴上方，的下方时，③当在的下方时，分别求出点P的坐标即可.
11．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长。
【答案】解：过D作DE⊥AB，垂足为E
因为AD是角平分线，∠C=90°
所以CD=DE=15
BE= =20
设AC=x，则AE=AC=x，AB=20+x
在Rt△ABC中，x2+402=（x+20）2
解得x=30即AC=30
【解析】【分析】根据角平分线的性质，利用勾股定理，列出方程，解出AC的长度。
12．三八妇女节到来之际，我校准备购进一批贺卡送给女教师们，贺卡原价8元/张，甲、乙两家商店优惠方式如下：
甲商店：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商店：一次性购买不超过20张不优惠，超过部分打八折．
设我校准备购买张贺卡，
（1）用含a的式子分别表示到甲、乙两家商店购买贺卡的费用；
（2）当我校购买多少张贺卡时，两家商店的费用相同？
（3）已知贺卡是一张面积为的正方形，另有一个长宽比为5∶3的长方形信封，面积为，请问能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？（放入时贺卡与信封的边平行）请通过计算说明你的判断．
【答案】（1）根据题意得：甲商店的费用为：，
乙商店的费用为：
（2）解：令，解得：，
当购买40张贺卡时，甲乙商店的费用一样
（3）解：长方形信封的长宽比为5∶3，
设长方形信封的长为5x，宽为3x，根据题意得：，解得：，
，，
正方形贺卡边长为，，
长方形信封的宽，贺卡不折叠无法放入信封
【解析】【分析】（1）根据优惠方案及购买的数量，依据单价数量总价，即可求出代数式；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出长方形信封的宽和正方形卡片的边长，然后比较大小即可得出答案．
13．一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的1000倍呢 体积变为原来的n倍呢
【答案】解：设原正方体棱长为a，则体积a3，
⑴若正方体的体积变为原来的8倍，即8a3，则其棱长为，故棱长变为原来的2倍；
⑵若正方体的体积变为原来的27倍，即278a3，则其棱长为，故棱长变为原来的3倍；
⑶若正方体的体积变为原来的1000倍，即1000a3，则其棱长为，故棱长变为原来的10倍；
⑷若正方体的体积变为原来的n倍，即na3，则其棱长为，故棱长变为原来的倍.
【解析】【分析】根据正方体体积公式：V=a3进行分析即可.
14．如图所示，某市决定在相距50 km的A，B两村之间的公路旁点E处修建一个樱桃批发市场，且使C，D两村到点E的距离相等.已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=30 km，CB=20 km，那么樱桃批发市场E应建在什么位置才能符合要求
【答案】解：设樱桃批发市场E应建在离A村x km的地方，则BE=(50-x)km.
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2，
∴302+x2=DE2.
在Rt△CBE中，根据勾股定理，得
CB2+BE2=CE2，
∴202+(50-x)2=CE2.
又∵C，D两村到点E的距离相等，
∴DE=CE，
∴DE2=CE2，
∴302+x2=202+(50-x)2，
解得x=20，
∴樱桃批发市场E应建在离A村20 km的地方.
【解析】【分析】先通过设未知数x，把AE和BE表示出来，然后利用条件“ C，D两点到点E的距离相等 ”，即DE=CE，用勾股定理列出等式 302+x2=202+(50-x)2 ，然后求出x来即可。
15．已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（）如果一个x的立方等于y，则x就是y的立方根，据此建立方程可求出a的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此建立方程可求出b的值；根据估算无理数大小的方法估算出得范围，即可求出c得值；
（）把（1）所求的a、b、c的值代入 计算出结果，进而根据平方根定义求出其平方公即可.
（1）∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
16．已知坐标平面内的三个点 ， ， ，求 的面积．
【答案】解：如图，过 作 轴，过 作 轴，
两直线交于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
【解析】【分析】在平面直角坐标系中求三角形的面积，此三角形不是靠轴三角形，在解此题时，需要把不规则的图形补全成规则的，这是解这道题的关键.
17．已知2x是36的平方根，，求x，y的值.
【答案】解：∵2x是36的平方根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此可求出x值，由，可得，利用立方根的意义求出y值即可.
18．如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：
（米）．
答：长方形的周长为米．
（2）解：
（平方米）．
（元）．
答：购买地砖需要花费元．
【解析】【分析】（1）根据矩形周长，结合二次根式乘法即可求出答案.
（2）根据通道面积=大矩形面积-小矩形面积，结合二次根乘法，平方差公式计算即可取出答案.
（1）解：
（米）．
答：长方形的周长为米．
（2）解：
（平方米）．
（元）．
答：购买地砖需要花费元．
19．已知点P(a＋3，4－a)，Q(2a，2b＋3)关于y轴对称．求ab的值．
【答案】解：∵P(a＋3，4－a)，Q(2a，2b＋3)关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴ab=-1.
答：ab的值是-1.
【解析】【分析】关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据这个规律列出关于a、b的方程组，解方程组，进而求出ab的值即可.
20．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
答：AC的长为．
【解析】【分析】 设AC＝x，则AB＝10﹣x， 由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，即得x2+42＝（10﹣x）2， 解出x值即可.
21．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？
【答案】解：设旗杆高度为AC=h米，则绳子长为AB=h+2米，BC=8米，
根据勾股定理有：h2+82=（h+2）2，解得h=15米.
【解析】【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是旗杆高度、绳子长及绳子下端距离旗杆底部8米这三线段长可构成一直角三角形，解此直角三角形即可.
22．等边△ABC的边长是4，求它的面积．
【答案】解：作，垂足为D．
∵等边△ABC的边长是，
∴，
在△ABD中，由勾股定理，得
∴
．
【解析】【分析】作，垂足为D．根据等边三角形的性质可得， 在△ABD中，由勾股定理可求出AD的长，根据三角形的面积公式即可求解.
23．已知：在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，CD=13.
（1）求的长．
（2）是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
（3）求这块空地的面积．
【答案】（1）解：在中，，AB=15，
∴；
（2）解：结论：△ACD是直角三角形．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理计算可得AC的长；
（2）利用勾股定理的逆定理可判断出△ACD是直角三角形；
（3）根据四边形ABCD的面积=△ABC面积+△ACD的面积，结合直角三角形的面积列式计算即可.
24．如图所示，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离．
【答案】解：因为AB⊥l于B，AB=3千米，
AD=5千米，
所以BD2=AD2-AB2=4千米．
设CD=x千米，
则CB=(4-x)千米，所以x2=(4-x)2+ 32，
解得x=3.125．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米.
【解析】【分析】利用已知可求出AD的长，利用勾股定理求出BD2的值，设CD=x千米，可表示出CB的；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.
25．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？
【答案】解：在Rt△ABC中，∵AB=2.5米，BC=0.7米，
∴ 米，
又∵AA′=0.4米，
∴A′C=2.4-0.4=2米，
在Rt△A′B′C中， 米，
则BB′=CB′-CB=1.5-0.7=0.8米.
故：梯子底部B外移0.8米.
【解析】【分析】在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AC，根据AA′的长可得A′C的长，在Rt△A′B′C中再次运用勾股定理求出B′C，B′C的长减去BC的长即为底部B外移的距离.
26．如图(单位：cm)，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少
【答案】解：根据勾股定理，设斜边为c，
cm，
∴阴影部分的面积为：17×3=51cm2.
【解析】【分析】设斜边为c，根据勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据长×宽即可求出阴影部分面积.
27．（1）在坐标平面内画出点P（2，3）．
（2）分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P1，P2，并写出P1，P2的坐标．
【答案】解：（1）点P（2，3）如图所示；
（2）P1（2，﹣3），P2（﹣2，3）．
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义作出图形即可；
（2）根据平面直角坐标系找出点P1，P2的位置，然后写出坐标即可．
28．如图的方格中有25个汉字，如四1表示“天”，请沿着以下路径去寻找你的礼物：
（1）一1→三2→二4→四3→五1
一 二 三 四 五
1 我 力 习 天 的
2 会 上 是 学 好
3 帅 就 更 棒 努
4 优 最 行 了 可
5 能 爱 秀 明 哥
（2）五3→二1→二3→一5→三4
（3）四5→四1→一2→三3→五2．
【答案】解：（1）一1表示我，三2表示是，二4表示最，四3表示棒，五1表示的，
所以礼物为：我是最棒的；
（2）五3表示努，二1表示力，二3表示就，一5表示能，三4行，
所以礼物为：努力就能行；
（3）四5表示明，四1表示天，一2表示会，三3表示更，五2表示好，
所以礼物为：明天会更好．
【解析】【分析】（1）根据表格，分别找出一1→三2→二4→四3→五1表示的汉字，排列即可；
（2）根据表格，分别找出五3→二1→二3→一5→三4表示的汉字，排列即可；
（3）根据表格，分别找出四5→四1→一2→三3→五2表示的汉字，排列即可．
29．如图所示，数轴上点A表示-2，过数轴上表示1的点B作垂直于数轴的BC，若BC=2，以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点P，则数轴上点P所表示的数是多少？
【答案】解：由勾股定理，得
AP=AC=
因为OA=2，所以OP=AP-OA= -2，所以点P到原点的距离是、 -2．
因为点P在原点右侧，所以点P表示的数为 - 2．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，则由同圆的半径相等的性质得出AP的长，然后利用线段间的和差关系求出OP的长，结合P在原点的右侧，即可解答.
30．如图，∠AOB=90°，OA=45m，OB=15m，一只猫在点B处看见一只老鼠从点A出发沿路线AO匀速逃向洞口O，猫立即从点B出发沿直线匀速前进拦截老鼠，如果猫和老鼠行走的速度相等，求点C到洞口O的距离.
【答案】解：由题意可设AC= BC=x，
∵OA=45cm，
∴ ，
∵∠AOB=90°，OB=15cm，
∴ ，
即 ，解得： ，
∴OC=20cm.
【解析】【分析】由题意易得AC=BC，可设AC=BC=xcm，则有 ，然后根据勾股定理可求解.
31．计算：
（1）（2+）（2﹣）；
（2）（2﹣3）÷．
【答案】解：（1）原式=12﹣6
=6；
（2）原式=（8﹣9）÷
=﹣÷
=﹣；
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算；
（2）先化简合并，再算除法；
32．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB BC+AC CD=×3×4+×5×12=36．
故四边形ABCD的面积是36．
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
33．已知实数x，y满足关系式，求的值．
【答案】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴
.
【解析】【分析】根据，，求得x=3，于是可得y=-2.先计算分式除法，再把x，y代入运算.
34．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于 的最大整数，称[]为a 的根整数.例如，
（1）计算： ， .
（2）若 求满足题意的x的整数值.
（3）现我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如，对10 连续求根整数 2 次，即 这时结果为1.
①对 100 连续求根整数，求几次之后结果为1；
②求只需进行 3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值.
【答案】（1）2；5
（2）解：因为 且 所以x=1，2，3.
（3）解：①第1次： 第2次： 第3次：
故对100连续求根整数3次之后结果为1.
②因为
所以对255只需进行3次连续求根整数运算后结果为1.
因为[
所以对256只需进行4次连续求根整数运算后结果为1，
所以只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中的最大值是255.
【解析】【解答】解：(1)因为 所以 所以 故答案为2，5.
【分析】（1）估算，，然后得到最大整数即可；
（2）根据题意得到x的取值范围，即可得到整数解.
35．高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．
（1）求空地的面积；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝＝60+54＝114（m2），
答：空地的面积为114m2；
（2）解：150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的值，再求出 △ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据平均每平方米空地的绿化费用为150元，再结合（1）所求计算求解即可。
36．如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴．
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 是直角三角形， 最后根据角平分线计算求解即可。
37．已知2a﹣1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1=9，
∴a=5，
∵b﹣1的算术平方根是4，
∴b﹣1=16，
∴b=17，
∴a+2b=5+2×17=39．
【解析】【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
38．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时 的速度向北偏西60°的 方向移动，经监测得知台风中心 的范围内将会受台风影响， ．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
【答案】解：如图，过点A作 于点C，
由题得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴会受到台风影响．
以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点，
∴AD＝AG＝200千米，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得， （千米），
同理可得CG=120，
则DG＝240千米，
∴A城遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【解析】【分析】过点A作 于点C，由题得 ， ，得到会受到台风影响．以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点，得到AD＝AG＝200千米，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得CD的值，同理得CG、DG的值，即可得出A城遭受台风影响的时间。
39．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
【答案】解：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
【解析】【分析】 作AD⊥BC于D，如图所示，设BD=x，可得CD=14-x，在Rt△ABD中，由勾股定理得： ， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2， 从而可得 ，解出x的值，即得AD的长，利用三角形面积公式计算即可.
40．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴ ，
∵CD＝2，AD＝3，
∴ ，
∴∠ACD=90°，
∴ ．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形ABCD的面积=，利用三角形的面积公式计算即可.
41．已知．
（1）化简x，y；
（2）求代数式的值；
（3）若x的小数部分为a，求的值．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：∵
∴
∵x的小数部分是a，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）分母有理化即可；
（2）先根据二次根式加减法求出x-y的值，再根据二次根式乘法法则及平方差公式求出xy的值，进而将待求式子利用拆项法变形为， 整体代入求解；
（3）先估算出x的范围，从而可得，最后代入式子化简即可．
（1）解：，；
（2）解：
；
（3）解：由题意，
．
42．已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）
（1）当m为何值时，点M到x轴的距离为1？
（2）当m为何值时，点M到y轴的距离为2？
【答案】（1）解：∵|2m+3|＝1
2m+3＝1或2m+3＝﹣1
∴m＝﹣1或m＝﹣2；
（2）解：∵|m﹣1|＝2
m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2
∴m＝3或m＝﹣1
【解析】【分析】（1）点到x轴的距离=点的纵坐标的绝对值，据此求解；
（2）点到y轴的距离=点的横坐标的绝对值，据此求解。
43．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为 ．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为 ▲ ；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为 ▲ ；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值 ．
【答案】（1）4
（2）①．②
（3）解：当时，点P与点C重合，，
当时，在中，，
在中，，
，
（4）或2.5或4．（的小数1.5625）
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴由勾股定理得：AC==4，
（2）①∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP=2t，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②解：过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴PC⊥BC，
∵点P在∠ABC的角平分线上， PM⊥AB，
∴PC=PM，
又∵PB=PB，
∴Rt△PCB≌Rt△PMB，
∴ CB=MB，
∴AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2，
设PM=PC=x，则AP=4-x，
在Rt△APM中，，
∴，
解得：x=，
则
故答案为：．
（4）解：当AB作为等腰三角形ABP的底边时，如图所示：
则PA=PB，设PA=a，则PC=AC-AP=4-a，
在Rt△PCB中，，
，
解得：，
此时；
当AB作为等腰三角形ABP的腰时，如图所示：
AP1=AB=5，此时t=5÷2=；
AB=BP2时，
∵BC⊥AP2，
∴AP2=2AC=8，
此时t=8÷2=4，
综上所述，为轴对称图形时t的值为或2.5或4．（的小数1.5625）
【分析】(1)由勾股定理可求得AC的值，
（2）①点P运动的长度为：AC+CP=2t，根据线段的和差关系解答即可；
②根据角平分线的性质设PM=PC=x，则AP=4-x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分情况讨论，时 ，点P与点C重合，则，； 当时，根据勾股定理，在中，， 列出方程，解方程即可求解．
（4）当AB作为底时，PA=PB，设PA=a，则PC=AC-AP=4-a，在Rt△PCB中，勾股定理求得a的值，当AB作为腰时，AP1=AB=5，此时t=；当AP2=2AC=8，此时t=4．
44． 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足，现同时将点A，B分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接．此时．
（1） ， ．
（2）在x轴上有一动点P，使，求点P的坐标；
（3）点Q分别是四边形的边上的一个动点，如图2，连接，当点Q在线段上移动（不与A、C重合）的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求出其值．
【答案】（1）-2；3
（2）解：由（1）得：
将点A，B分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，
则
，，
设
解得：或
∴或
（3）解：如图，过Q作
∴
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴b=3.
∴
故答案为：-2，3.
【分析】（1）根据“”，求出a，b；
（2）设点P（x，0），先根据A、B的坐标，求出C、D的坐标，再根据三角形PAC的面积与四边形ABCD的面积的关系，求出三角形PAC的面积，根据三角形的面积公式列出关于x的方程，求出x，从而可得P点的坐标；
（3）作QT∥AB，根据C、D的坐标，可得出CD//AB，再利用平行线的性质解答．
45． 如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）①的坐标为 ；②的坐标为 ．
（2）是正整数，用含的代数式表示坐标；的坐标为 ．
（3）点从点出发，沿着点，，，运动，到点时运动停止，求点运动的路程．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：观察图形可得：的长度为一个周期，
，且，
点运动的路程．
【解析】【解答】解：（1）①观察图形可得：
点坐标为（3，-1），点的坐标为（7，-1），点的坐标为（11，-1），点的坐标为（15，-1），
∴点的坐标为（19，-1），
故答案为：（19，-1）；
②点的坐标为（4，0），点的坐标为（8，0），点的坐标为（12，0），点的坐标为（16，0），
∴点的坐标为（2024，0），
故答案为：（2024，0）；
（2）由图可得：点的横坐标为4n，纵坐标为0；点的横坐标为4n+1，纵坐标为1；点的横坐标为4n+2，纵坐标为0；点的横坐标为4n+3，纵坐标为-1；点的横坐标为4n+4，纵坐标为0；
∴点的坐标为 （4n+3，-1），
故答案为：（4n+3，-1）.
【分析】（1）①根据所给的平面直角坐标系找出点的坐标规律求解即可；
②根据所给的平面直角坐标系找出点的坐标规律求解即可；
（2）观察平面直角坐标系求点的坐标即可；
（3）先求出的长度为一个周期， 再计算求解即可。
46．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a，b，c满足关系式。
（1）分别求出点A，B，C的坐标；
（2）若在第一象限内有一点。
①请用含有m的式子表示出四边形ABMO的面积S；
②是否存在点M，使四边形ABMO的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：因为.
所以，，，
所以，，，
所以，，
（2）解：①由（1）知，，所以，，
所以；
②存在
因为，，，
所以，所以。
因为四边形ABMO的面积与的面积相等，
所以，
由①知，，
所以，
所以，
所以点
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出，，，得出点A，B，C的坐标；
（2）①求出，，根据；
②先求出， 根据四边形的面积与的面积相等，得出，求出m的值即可得出答案．
47． 已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出.
（2）求的面积；
（3）设点P在坐标轴上，当与的面积相等时，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图所示：为所求，
（2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、.
四边形的面积，的面积，
的面积，的面积
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
（3）的坐标为或或或
【解析】【解答】解：（3）当点在轴上时，的面积，
即：，解得：，
所以点的坐标为或；
当点在轴上时，的面积，
即，解得：.
所以点的坐标为或.
所以点的坐标为或或或.
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标在坐标系中描出各点，即可画出；
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、，分别求出四边形、、以及的面积，根据的面积四边形的面积的面积的面积的面积，即可得到答案；
（3）分情况讨论，当点在轴上时与当点在轴上时，分别根据的面积与的面积相等，即可求出点P的坐标.
48．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
②一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0左跳1个单位到PI，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点P200所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是
（2）翻折变换
①若折叠数轴，表示-4的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 ▲ 的点重台；
②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为-3和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为A1；再以点C为折点，将数轴折叠，点A1对应的点A2落在数轴上，若A2、B之间的距离为2，求点C表示的数
【答案】（1）3；；1923；
（2）解： ① -5；
②因为点A表示的数是-3，点A和点A1关于折点对称，
且折点表示的数是-1，
所以点A1表示的数是1．
又点A2和点B之间的距离是2，且点B表示的数是2，
所以点A2表示的数是0或4．
又点A1和点A2是以点C为折点折叠重合的，
且=，=，
所以点C表示的数是或．
【解析】【解答】解：（1）①因为当点沿数轴向负方向运动时，点所表示的数变小，
当点沿数轴向正方向移动时，点所表示的数变大，
且笔尖放在数轴的原点处，
所以笔尖先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度时，
点所表示的数是：0-5+8=3．
故答案为：3．
②令点P0所表示的数为m，
则根据点的运动方式可知，
点P1表示的数是：m-1；
点P2表示的数是：m-1+2=m+1；
点P3表示的数是：m+1-3=m-2；
点P4表示的数是：m-2+4=m+2；
…
由此可见，当n为奇数时，点Pn表示的数是：m-；
当n为偶数时，点Pn表示的数是：m+；
则n=200时，点P200表示的数是：m+100，
又点P200所表示的数恰好是2023，
所以m+100=2023，
解得m=1923．
即点P0所表示的数是1923．
故答案为：1923．
（2）①因为数轴折叠后，表示-4的点与表示2的点重合，
且=-1，
所以折点所表示的数是-1．
又3-（-1）=-1-（-5），
则表示3的点与表示-5的点重合．
故答案为：-5．
【分析】（1）①当点向负方向移动时，点所表示的数减小，点向正方向移动时，点所表示的数变大，据此可解决问题．
②令P0表示的数为m，再根据点P200所表示的数是2023建立关于m的方程即可解决问题．
（2）①由表示-4的点与表示2的点重合，可得到折点位置，进而可解决问题．
②先求出点A1所表示的数，再根据点A2与点B表示的数之间的距离为2，可得出点A2所表示的数，最后根据点A2和点A1关于点C对称即可解决问题.
49．已知 + =0，求 的值.
【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
50．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
（1） ， ；
（2）根据上述方法求值：．
【答案】（1）；
（2）解：
．
【解析】【解答】解：（1）；
.
故答案为： ；.
【分析】（1）根据例题中的化简方法先将被开方数变形为两个实数的和或差的完全平方，再根据化简即可；
（2）根据例题中的化简方法化简每一个式子，并找出规律，然后对同类二次根式进行合并即可得到答案.
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