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【决战期中·50道填空题专练】北师大版数学九年级上册期中试卷
1． 如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足 ．
2．已知x=2是关于x的方程的一个根，则m(2m+1)= ．
3．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片沿折痕翻折，使点落在的中点处，则的长为 .
4．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是 ．
5．以下说法中正确的是 （填序号）
①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形
⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形
6．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为 .
7．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ．
8．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为52，则正方形的边长为 ．
9． 已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ．
10．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP=3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为 。
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A'B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ．
12．时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 ．
13．已知a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
14．如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，若是直角三角形，则线段的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
16．某超市有A，B，C三种型号的甲种品牌饮水机和D，E两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室．如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率是 ．
17．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 .
18．一个长方形的周长为10cm，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为 .
19． 已知关于x的方程，若该方程的一个根是－1，则另一个根是 .
20．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 米.
21．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-322．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是 ．
23．如图在菱形 中， 是对角线 上一动点过点 作 于 ． 于点 ．若菱形 的周长为 ，面积为 ，则 的值为 ．
24．如图， 在矩形 中， ， 点 在边 上， 连结 ， 将四边形 沿直线 翻折， 得到四边形 ， 点 的对应点分别为点 ． 当 恰好经过点 时， 的长为 .
25．如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ．
26．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC'F的周长之和为 ．
27．如图，在正方形中，，点分别在线段上，且，过点作与边交于点．当时，的长为 ．
28．已知方程的两根为，则 ．
29．设m、n分别为方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
30．如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．
31．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB于点F．
（1）若CD=6，BC=10，则BE= ；
（2）若CD=15，BE：EC=1：4，则BF=
32．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
33．如图，在矩形ABCD中，AB= 4，AD= 8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE= 3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A' 恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B' ，则线段BF的长为 ；
第二步，分别在EF，AB' '上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
34．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
35．如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为，则还需将 个三角形涂黑．
36．某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平均增长率为x，则可列出方程为 ．
37．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝ .
38． 如图所示，在矩形ABCD 和矩形AFCE 中， 则四边形 AGCH 的面积为 .
39．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则 ．
40．如图，在菱形 中， ，点 在 上，若 ，则 ．
41．在半径为 的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP= ．
42．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
43．对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
44．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
45．如图， 和 都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上， 与 、 分别交于点F、M， 与 交于点N．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
46．如图，正方形中，点E在上，点F在上，，连接交于点G，若，则的长是 ．
47．如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在 上的点N处，折痕 与 相交于点Q；再次展平，连接 ，延长 交 于点G；P为线段 上一动点．有如下结论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ ；⑤H是 的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
48．如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
49．在菱形ABCD中，已知 点E，F，G，H 分别在边AB，BC，CD，DA 上，且AE =BF=CG=DH.若线段AE 与AB 的比值为k(050．如图，直线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将 沿 翻折，使点O落在点C处，点D是线段AB的中点，射线OD交线段AC于点E，若 为直角三角形，则k的值为 .
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【决战期中·50道填空题专练】北师大版数学九年级上册期中试卷
1． 如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，，即可求解.
2．已知x=2是关于x的方程的一个根，则m(2m+1)= ．
【答案】2
【解析】【解答】解： ∵x=2是关于x的方程的一个根，
∴22-2m-4m2=0，
∴2m2+m=2，
∴m(2m+1)=2.
故答案为：2.
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入方程x2-mx-4m2=0，整理后即可求解.
3．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片沿折痕翻折，使点落在的中点处，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设DE=x，由折叠的性质得：DE=EG=x，作EM⊥AB于M，如图所示：
∵G是AB中点，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，AB=1，
∴AD=AB=1，
∴AE=1-x，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠MAE=60°，
∵∠MEA=90°-∠MAE=30°，ME⊥AB，
∴，，
在Rt△GME中，EG2=GM2+ME2，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】设DE=x，作EM⊥AD于M，由直角三角形的性质得出，，由在Rt△GME中由勾股定理得出EG2=GM2+ME2，解得EG即可.
4．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意得： α＋β=-1，αβ=-2，
∴α＋β－αβ=-1+2=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出α＋β和αβ的值，将其代入原式计算，即可求出结果.
5．以下说法中正确的是 （填序号）
①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形
⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形
【答案】①
【解析】【解答】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形，说法正确，符合题意；
②一组对边相等，一组邻角相等的四边形可以是等腰梯形，说法错误，不符合题意；
③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，所以不可能是矩形，说法错误，不符合题意；
④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，说法错误，不符合题意；
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，说法错误，不符合题意；
⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
综上所述：说法正确的是①，
故答案为：①.
【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法对每个说法一一判断即可。
6．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为 .
【答案】24
【解析】【解答】解：x2-8x+15=0，
（x-3）（x-5）=0，
x-3=0或x-5=0，
∴x1=3，x2=5，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长=2× =6，
∴菱形的面积= ×6×8=24.
故答案为：24.
【分析】先利用因式分解法解方程得x1=3，x2=5，根据菱形的对角线互相垂直平分，则可判断出菱形的边长为5，再利用勾股定理计算出另一条对角线长，再计算出菱形的面积即可.
7．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，
∴第四个顶点的坐标为，
故答案为：
【分析】根据题意运用矩形的性质即可得到点的坐标。
8．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为52，则正方形的边长为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：设b的边长为x，则a的边长为2x，c的边长为3x，d的边长为5x，
∴2×（5x+8x）=52，
解得x=2，
∴d的边长5x=10，
故答案为：10
【分析】设b的边长为x，再根据正方形的性质即可得到a的边长为2x，c的边长为3x，d的边长为5x，再结合题意即可列出方程，进而即可求解。
9． 已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，将方程两边同时除以得，
∵，
∴，
∴a和为一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：.
【分析】将方程变形得到，得到a和为一元二次方程的两根，利用根与系数的关系得到，，代入代数式进行计算，即可得到答案.
10．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP=3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为 。
【答案】3
【解析】【解答】解：连接CP，
∵正方形ABCD，
∴∠C=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45° 连接CP，
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP（SAS）
∴AP=CP=3
∵PF⊥CD，PE⊥BC，
∴∠PFC=∠PEC=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF=PC=3.
故答案为：3.
【分析】利用正方形的性质可证得∠C=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45° ；再利用SAS证明△ABP≌△CBP，利用全等三角形的性质可求出CP的长；然后证明四边形CEPF是矩形，利用矩形的对角线相等，可求出EF的长.
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A'B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ．
【答案】15°
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
∴，，
，
垂直平分，，
，
，
∵将沿着折叠得到，的对应点为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质可得，从而可证是等边三角形，进而得，，根据等腰三角形“三线合一”性质可得垂直平分，，于是根据垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”的性质得，然后由折叠的性质可得，则，最后根据角的和差关系即可求解．
12．时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：列树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率，
故答案为：．
【分析】画出树状图得出所有灯可能结果数，再得出两人同坐2号车的结果数，再根据概率公式计算即可。
13．已知a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
【答案】2023
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，
∴a2+3a-1=0，
∴a2+3a=1，
∴2a2+6a+2021=2（a2+3a）+2021=2×1+2021=2023.
故答案为：2023.
【分析】由题意将a代入一元二次方程，变形可得a2+3a=1，然后整体代换可求解.
14．如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，若是直角三角形，则线段的长为 ．
【答案】4或
【解析】【解答】解：分两种情况，
（1）当点F落在矩形内部时，如下图所示，连接AC，
在中，，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
，
当是直角三角形时，只能得到，
点A，F，C共线，即点B落在对角线AC上的点F处，
，，
；
（2）当点F落在矩形的AD边上时，如下图所示，
由题意，，，
为正方形，
，，
，
综上，CF的长为4或，
故答案为：4或．
【分析】分两种情况：（1）当点F落在矩形内部时，（2）当点F落在矩形的AD边上时，再分别画出图形并求解即可。
15．如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
16．某超市有A，B，C三种型号的甲种品牌饮水机和D，E两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室．如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，列出表格如下：
A B C
D （A，D） （B，D） （C，D）
E （A，E） （B，E） （C，E）
一共有6种等可能结果，其中A型号饮水机被选中的有2种情况，
∴A型号饮水机被选中的概率是．
故答案为：
【分析】先列表，再求出一共有6种等可能结果，其中A型号饮水机被选中的有2种情况，最后求概率即可。
17．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是 .
【答案】63
【解析】【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为x2－3，
由题意得10(x2－3)＋x－(10x＋x2－3)＝27 ，
整理得 ，解得 (不合题意，舍去)，
∴十位数字为 ，
则原来的两位数为63.
故答案为：63.
【分析】设个位数字为x，则十位数字为x2-3，由题意得10(x2-3)＋x-(10x＋x2-3)＝27，求出x，进而可得原来的两位数.
18．一个长方形的周长为10cm，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵一个长方形的周长为10cm，其中一条边长为，
∴另一条边长为
长方形面积为，
则.
故答案为：.
【分析】先求出长方形的另一条边长为5-x，根据长方形的面积=长×宽即得关系式.
19． 已知关于x的方程，若该方程的一个根是－1，则另一个根是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x，
由根与系数的关系可得，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】设方程的另一个根为x，利用根与系数的关系可得，再求出x的值即可.
20．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝ 米.
【答案】30
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴，
∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，
∴，
∴AB=30.
故答案为：30.
【分析】易证△OCD∽△OAB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
21．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-3【答案】x2-4=0
【解析】【解答】解：根据题意选出一组符合条件的解：
故符合条件的方程为x2-4=0（答案不唯一）
故答案为：x2-4=0（答案不唯一）
【分析】根据题意选出一组符合条件的解，符合条件的方程为。
22．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BD，连接DE，如下图：
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求点P， PE＋PB的最小值是DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴
故答案为：.
【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后判断出是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+ PB的最小值= DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解.
23．如图在菱形 中， 是对角线 上一动点过点 作 于 ． 于点 ．若菱形 的周长为 ，面积为 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
连接BP，四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA=BC=5，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴PE+PF= ．
故答案为： ．
【分析】连接BP，根据菱形得性质得出BA=BC=5， ，在利用三角形面积公式，由 ，得出 ，再整理即可得出答案。
24．如图， 在矩形 中， ， 点 在边 上， 连结 ， 将四边形 沿直线 翻折， 得到四边形 ， 点 的对应点分别为点 ． 当 恰好经过点 时， 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：
如图，设CE=EC'=x，则DE=1-x，
∵∠ADB'+∠EDC' =90°，∠B'AD+∠ADB'=90°，
∴∠B'AD ∠EDC’，
∵∠B'=C'=90°，AB'=AB=1，，
∴，
∴△ADB'∽△DEC'，
∴，
∴，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】如图，设CE=EC'=x，则DE=1-x，由△ADB'∽△DEC'，可得，列出方程即可解决问题.
25．如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：连接EB，EA，如图所示：
由题意得AE=EB=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=15°，
故答案为：15
【分析】连接EB，EA，先根据等边三角形的判定与性质即可得到∠EAB=60°，进而根据正方形的性质即可得到∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，进而得到∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质即可得到∠ADE=∠AED=75°，进而结合题意即可求解。
26．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC'F的周长之和为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：EB=ED，C'F=CF，
△ABE和△BC'F的周长之和=AB+AE+BE+BC'+C'F+BF
=AB+AE+ED+BC'+CF+BF
=AB+AD+DC+BC
=2（AB+BC）=6，
故答案为：6．
【分析】
根据折叠的性质得到EB=ED，C'F=CF，由矩形的对边相等得到AD=BC=2，根据三角形的周长公式计算即可．
27．如图，在正方形中，，点分别在线段上，且，过点作与边交于点．当时，的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作于点，连接，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=5，
∵DE=2，
∴.
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴，
∴在中，.
∵四边形ABCD为正方形，AB=AD=5，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据三角形全等求出EF=AE的长度，再利用等腰直角三角形的性质求出DH的长度，根据勾股定理求出FH长度，即可求出BF长度.
28．已知方程的两根为，则 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据配方法化简代数式，再整体代数即可求出答案.
29．设m、n分别为方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
【答案】2022
【解析】【解答】解：∵m、n分别为方程： 的两个实数根，
∵m、n分别为方程： 的两个实数根，
2024+(-2)=2022，
故答案为： 2022.
【分析】根据方程的解的定义得出 求出 根据根与系数的关系得出m+n=-2，变形后代入，即可求出答案.
30．如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意展开正方形，连接CO，如图所示：
则CO的长为蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体盒子的棱长为，O为的中点，
∴∠Q=90°，，，
由勾股定理得，
∴蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：
【分析】根据题意展开正方形，连接CO，则CO的长为蚂蚁需爬行的最短路程，进而根据正方形的性质即可得到∠Q=90°，，，进而根据勾股定理求出OC即可求解。
31．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB于点F．
（1）若CD=6，BC=10，则BE= ；
（2）若CD=15，BE：EC=1：4，则BF=
【答案】（1）2
（2）
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：2.
（2）设，，则，
∵ABCD为矩形，
∴，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，解得：，
即，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据折叠的性质求出，利用勾股定理求出CE的长，最后利用线段的和差求出BE的长即可；
（2）设，，则，利用勾股定理可得，解得：，即，再设，则，利用勾股定理可得，解得：，即可得到。
32．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为 的一个根是2，将x=2代入方程，可得a=8，
所以一元二次方程为，
方程配方可得：（x-2）（x+4）=0，
故方程的两个根为2、-4，
故答案为：-4.
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的根，先根据已知的一个根求出a=8，再使用配方法求出另一个根即可.
33．如图，在矩形ABCD中，AB= 4，AD= 8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE= 3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A' 恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B' ，则线段BF的长为 ；
第二步，分别在EF，AB' '上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
【答案】1；
【解析】【解答】解：如图，过点作于，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于．
四边形ABFT是矩形，
四边形ABCD是矩形，
设，
垂直平分线段EF，
故答案为：．
【分析】过点作于，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC，再根据角之间的关系可得，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，设，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据勾股定理即可求出答案.
34．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵方程，
∴，
∵方程可以配方成的形式，
∴9-q=7，
解得：q=2，
∵方程 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】掌握配方法解题的步骤是关键，先求出q=2，再求出，最后配方求解即可。
35．如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为，则还需将 个三角形涂黑．
【答案】6
【解析】【解答】解：设黑色区域的个数为x个，
∵正十二边形一共有12个三角形
∴针扎到黑色区域的概率==
∴解得x=8
图中已经涂黑2个三角形，还需要涂黑6个三角形.
故答案为：6.
【分析】根据概率的定义，设未知数，列一元一次方程，解方程即可.
36．某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平均增长率为x，则可列出方程为 ．
【答案】100（1+x）2＝121
【解析】【解答】解：设该商场二、三月利润的平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
故答案是：100（1+x）2＝121．
【分析】根据“当月利润=前一个月的利润×（1+增长率）”即可列出方程100（1+x）2＝121．
37．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝ .
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0一个根为0，
∴m-1≠0，且m2-1=0，
解之得，m=-1.
故答案为：-1.
【分析】由题意可得m-1≠0，且m2-1=0，求解即可.
38． 如图所示，在矩形ABCD 和矩形AFCE 中， 则四边形 AGCH 的面积为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：设GC=a， 则BG=7-a，
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B = ∠F = 90°， AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠AGB =∠CGF， ∠B=∠F，
∴△ABG∽△CFG，
即
解得： AG=2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
解得： a=3或 (不合题意舍去)，
∴CG=3，
∴S3平行四边形AGCH=CG·AB=3×2 =6
故答案为：6.
【分析】设GC =a， 则BG=7-a， 证四边形AGCH是平行四边形， 再证△ABG∽△CFG， 得AG=2a，然后由勾股定理得出方程，得CG=3，即可解决问题.
39．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO，
又∵AB=12，
∴，
∴AO=BO=CO=DO=10，
∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=S矩形ABCD=×12×16=48，
∵S△BOC=S△BOE+S△COE，
∴×OB×GE+×OC×EF=48，
∴×10×GE+×10×EF=48，
即5GE+5EF=48，
∴GE+EF=.
故答案为：.
【分析】 连接OE，由矩形的性质得出∠ABC=90°，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO，由勾股定理得出AC=20，推出AO=CO=BO=DO=10，由等底同高三角形面积相等得S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=S矩形ABCD=×12×16=48，然后根据S△BOC=S△BOE+S△COE，建立方程，求解即可.
40．如图，在菱形 中， ，点 在 上，若 ，则 ．
【答案】115°
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形， ，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE= ∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【分析】先根据已知条件∠B=50°求出∠BCD=130°，再根据菱形每一条对角线平分一组对角的性质求出∠ACE=65°，再根据等腰三角形底角相等求出∠AEC=65°，最后因为两直线平行，同旁内角互补求出∠BAE=115°。
41．在半径为 的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP= ．
【答案】 或 或
【解析】【解答】如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，
∴AE=BE= =2，DF=CF= =2，
在 中，
∵OB= ，BE=2，
∴OE=1，
同理可得OF=1，
∵AB垂直于CD，
∴四边形OEPF为矩形，
又∵OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
又∵ 有如图四种情况，
∴（1） = AP CP= ×1×3= ，（2） = AP PC= ×1×1= ，（3） = PC PA= ×3×3= ，（4） = AP PC= ×3×1= ，
故答案为： 或 或
【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.
42．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
43．对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；
②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题；
③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°，
则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题.
故答案为：②③④.
【分析】 ① 举一个反例即可否定； ② 用反证法证明，推出假设和三角形内角和定理相矛盾；③ 配方，可用完全平方式的非负性来验证；④用反证法证明，推出假设和平角的定义或三角形内角和定理相矛盾.
44．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
45．如图， 和 都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上， 与 、 分别交于点F、M， 与 交于点N．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
① ；② ；③ ；④
【答案】①③④
【解析】【解答】：①∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，找不出全等的条件；
③∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
④∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
两边同时除 得 ，
∴ ．
故答案为①③④
【分析】根据“SAS”可证△ACD≌△BCD，可得AD=BE，再根据"ASA"可证△DMC≌△ENC，可得DM=EN，CM=CN，利用等式性质可求出AM=BN，据此判断①；根据两角分别相等可证△ABF∽△DNF，据此判②；利用角的和差求出∠AFB=60°，继而可得∠MFN=120°，由∠MCN=60°，根据四边形的内角和等于360°可判断③；先求出△MCN是等边三角形，可得∠CNM=60°，从而判定MN∥AE，利用平行线分线段成比例定理可得，结合已知，并变形即可判断④.
46．如图，正方形中，点E在上，点F在上，，连接交于点G，若，则的长是 ．
【答案】25
【解析】【解答】解：如图，连接DF，把△BCF绕点B逆时针旋转90°得到△BAM，连接MG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=45°，AB=AD，∠BAD=90°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴BF=DF，∠ABF=∠ADF；
∵∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠BAD=90°，
∵∠ABF+∠AEF+∠BFE+∠BAD=360°，
∴∠ABF+∠AEF=180°，
又∵∠DEF+∠AEF=180°，
∴∠DEF=∠ABF，
∴∠DEF=∠ADF，
∴EF=DF，
∴EF=BF，
∵∠BFE=90°，
∴∠EBF=∠BEF=45°；
由旋转可知：∠BAM=∠BCF=45°，AM=CF，BM=BF，∠MBF=∠ABC=90°，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=45°+45°=90°，
在Rt△AMG中，根据勾股定理得：；
∵AM=CF=CG-GF=32-GF，AG=24，
∴；
∵∠MBF=90°，∠EBF=45°，
∴∠MBG=90°-∠EBF=90°-45°=45°，
∴∠MBG=∠FBG=45°，
在△MBG和△FBG中，
，
∴△MBG≌△FBG，
∴.MG=FG，
∴，
整理得：64GF=1600，
解得GF=25，
故答案为：25．
【分析】连接DF，把△BCF绕点B逆时针旋转90°得到△BAM，连接MG，由正方形的性质易证△ABF≌△ADF，可得BF=DF，∠ABF=∠ADF，利用补角的性质可得∠DEF=∠ABF=∠ADF， 从而得出EF=BF，即得∠EBF=∠BEF=45°，由旋转可求出∠MAG=∠BAM+∠BAC=45°+45°=90°，在Rt△AMG中，根据勾股定理可得，根据SAS证△MBG≌△FBG，可得MG=FG，从而求出FG的长.
47．如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在 上的点N处，折痕 与 相交于点Q；再次展平，连接 ，延长 交 于点G；P为线段 上一动点．有如下结论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ ；⑤H是 的中点，则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④⑤
【解析】【解答】解：如图，连接AN，根据折叠的性质，得直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA=NB=BA，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴①符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，∠ABM=∠NBM=30°，
∴BM=2AM，
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴AM= ，
∴②不符合题意；
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠NBG=30°，
根据折叠的性质，得BN⊥MG，
∴∠BMG=∠MBG=∠MGB=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴③符合题意；
∵QN∥BG，
∴∠MQN=∠MBG=∠MNQ=∠MGB=60°，
∴△MNQ是等边三角形，
∴QN=MN=AM= ，
∴④符合题意；
根据点A、N关于直线BM对称，只需过点A作AR⊥BN，垂足为R，AR就是所求的最小值，
∵△ABN是等边三角形，
∴R是BN的中点，
∴R与H重合，
∵AB=2，∠BAH=30°，
∴BH=1，根据勾股定理，
∴AH= = ，
∴⑤符合题意；
故正确答案为：①③④⑤．
【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理对每个结论一一判断求解即可。
48．如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，
∵AD=1，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=2，
∴BD==.
∵点O是线段BD的中点，
∴OC=OB=OD=BD=.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵DE∥AB，
∴∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，
∴CE=CD=2，
∴NE=2-=.
∵ON==1，
∴OE==.
当点D在CA的延长线上时，则CD=AD+AC=4，
∵O是BD的中点，∠BCD=90°，
∴OC=OB=OD=BD.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵OB=OD，
∴ON=CD=2.
∵DE∥AB，
∴∠CBA=∠CED=45°，∠CAB=∠COE，
∴CE=CD=4，
∴NE=4-=，
∴OE==.
故答案为：或.
【分析】当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，由已知条件可得CD=AC-AD=2，根据勾股定理可得BD的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OC=OB=OD=BD=，根据等腰三角形的性质可得CN=BN=BC=，由平行线的性质可得∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，则CE=CD=2，然后求出NE、利用勾股定理可得ON、OE；当点D在CA的延长线上时，同理进行解答.
49．在菱形ABCD中，已知 点E，F，G，H 分别在边AB，BC，CD，DA 上，且AE =BF=CG=DH.若线段AE 与AB 的比值为k(0【答案】2k2-2k+1
【解析】【解答】解：如图，过点H作HN⊥AB于N，延长NH交CD延长线于点M，
∴∠HNA=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠M=∠HNA=90°，
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH，
∴，
∴，
∴，
设AB=BC=CD=AD=1，
又∵，
∴AE=BF=CG=DH=k，
∴BE=CF=DG=AH=1-k，
∵∠A=30°，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠MDH=∠A=30°，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形EFGH与菱形ABCD的面积比为：，
故答案为：2k2-2k+1.
【分析】过点H作HN⊥AB于N，延长NH交CD延长线于点M，得∠HNA=90°，根据菱形的性质，利用全等三角形判定定理“SAS”易证出，从而得，设AB=BC=CD=AD=1，得AE=BF=CG=DH=k，进而有BE=CF=DG=AH=1-k，根据含30°的直角三角形的性质求出MH、HN的值，得MN=HN+MH，接下来利用三角形面积公式求出的面积，从而求出四边形EFGH与菱形ABCD的面积，最后再求两者的面积比即可.
50．如图，直线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将 沿 翻折，使点O落在点C处，点D是线段AB的中点，射线OD交线段AC于点E，若 为直角三角形，则k的值为 .
【答案】 1或
【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的中点，
∴OD＝BD＝DA，
∵△AED为直角三角形，
∴∠ADE＝90°或∠AED＝90°，
当∠ADE＝90°时，∵BD＝AD，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
B点坐标为（0， ），∴OB= ，
OA=OB= ，
∴A点坐标为（ ，0），
∴ ，
解得k=-1；
当∠AED＝90°时，∵∠OAB＝∠CAB，
∴∠ADE＝∠ABO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴∠OBD＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴OA=6，
∴A（6，0）
∴
k=-
综上，k的值为 1或
故答案为： 1或 .
【分析】根据一次函数解析式可得B点坐标为（0， ），所以得出OB= ，再由△AED 为直角三角形得出∠ADE为直角或∠AED是直角，结合D是直角三角形斜边AB的中点进一步得出BD=OD=AD，所以△AOB为等腰直角三角形或∠BAO=30°，进而得出OA的长，求出A点坐标，将其代入解析式即可得出k的值.
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