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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，光明社区要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余荒地（阴影部分）绿化种草皮，尺寸如图所示（单位：米）．
（1）求草皮的种植面积（结果保留π，用含a的代数式表示）；
（2）当a＝25，计算草皮种植面积的值（π取3）．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.
（1）求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
3．非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，求的值．
4．解方程
（1）
（2）
5．杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：A.大莲花奥体中心，B.黄龙体育中心，C.化蝶游泳馆.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.
（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率.
6．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕．若B'M=1，求CN的长．
7．在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
8．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
9．已知m是方程x2﹣x-2=0的一个根，求代数式 的值.
10．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 使点D落在 边的点F处，已知 ， ，求 的长.
11．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程，
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____；
（2）请用“平均数法”解方程：．
12． 三边长a、b、c满足 ， ，试问 是什么三角形
13．如图，在矩形中，，点是上与不重合的任意一点，设，点到的距离为，求出关于自变量的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
14．一个不透明的袋中装有2个白球，1个红球.这些球除颜色外，没有任何其他区别，有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是白球的概率记为；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率记为.
试猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想.
15．如图，是的斜边上的中线，．
（1）求的度数．
（2）若，求的周长．
16．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
17．某商场销售一批某品牌衬衫，衬衫进货单价为80元，销售单价为120元时，每天可售出20件．为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天就可多售出2件，若商场销售这种衬衫平均每天盈利1200元，售价应定为多少元？
18． 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点．
（1）如图，连接，于点，图中有 ▲ 对“勾股三角形”；分别是哪几对？
（2）如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接）
19．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
20．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1、2、3，先任取一张，再从剩下的两张中任取一张.请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两张卡片上的数字之和为5的概率.
21．如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长．
22．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______；
（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
23．一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数．
24．某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，日销售量为50件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为______元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
25．为响应垃圾分类处理、改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类，并设置了相应的四个垃圾箱， ：可回收物垃圾箱， ：有害垃圾箱， ：餐厨垃圾箱， ：其它垃圾箱．甲、乙两人分别投放了一袋垃圾，请用列表或画树状图的方法求甲、乙投放到不同垃圾箱的概率．
26．在一副扑克牌中取3张牌，牌面数字分别是3、4、5，洗匀后正面朝下放在桌面上．小明随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再随机抽取一张牌，记下牌面数字，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率．
27．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
28．如图，已知四边形四边形.
（1） .
（2）求边x，y的长度.
29．在学习一元二次方程的根与系数的关系一课时，老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根分别为x ，x ，若(求m的值，波波同学的解答过程如下：
解：由题意，得
解得
波波的解法是否正确 若错误，请写出你的解答过程.
30．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
31．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD=
（1）求证：；
（2）求 ABCD的面积．
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作，过点D作交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若，，求四边形AODE的面积．
33．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在平行墙的一边留下一个宽1米的门．所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？
34．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行道的宽度为多少米？
35．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票．
36． 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边．
（1）若花园的面积为平方米，求的长；
（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
37．新年游园会中有一款电子飞镖的游戏. 如图， 靶被等分成2个区域，分别涂上红色和蓝色， 靶被等分成3个区域，分别涂上红色、蓝色、和白色. 小彬向 靶、小颖向 靶分别投掷一枚电子飞镖，飞镖随机落在靶盘的某一位置，若两枚飞镖命中部分的颜色恰好配成紫色，小彬获得奖品，否则，小颖获得奖品（若飞镖落在边界线上时，重投一次，直到落在某一区域）.这个游戏公平吗？说明理由.
38．已知关于x的方程（k-1）x2-k2x-1＝0的一个根是-1，求k的值；如果方程还有其他的根，请予求出．
39．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长．
40． 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
41．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用.甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸.”你认为谁说的有道理，请证明.（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha，hb，hc）
42．在中，，是边上的中线，点D在射线上．
（1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ．
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值：
43． 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为，出油率为即每花生可加工出花生油现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率．
44．如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5，5)，射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B.若∠APB=45°，则△AOB的周长是否会发生变化 若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由.
45．如图1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形，点P为边BC上任意一点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）那么∠MPN= ，并求证PM+PN=3a；
（2）如图2，联结OM、ON．求证：OM=ON；
（3）如图3，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由．
46．在正方形ABCD中，，E，F为对角线BD上不重合的两个点（不包括端点），，连结AE并延长交BC于点G，连结FG，CF．
（1）求证：．
（2）设BE的长为x，的面积为y．
①求y关于x的函数表达式．
②当时，求x的值．
47．如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若MF=AB，求∠DAF的度数．
48．如图， 在四边形 中， ， 平分 ， 作 交 于点 ， 连结 ．
（1） 求证： 四边形 是菱形．
（2） 若 ， ， 求 的长．
49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形GFED，连接AG，
（1）求证：矩形GFED是正方形。
（2）求AG+AE的值。
50．太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业.如图①所示为太阳能电板，如图②所示为其截面示意图，其中 GF 为太阳能电板，AE，CD 均为钢架且垂直于地面DE，AB 为水平钢架且垂直于CD，测得 AG=CF=0.4m，BC=0.6m，AC=0.75 m.若某一时刻的太阳光线GE，FH 垂直照射GF.求：
（1） 钢架AE 的长.
（2）太阳能电板GF 的影子EH 的长(结果精确到0.01m).
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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，光明社区要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余荒地（阴影部分）绿化种草皮，尺寸如图所示（单位：米）．
（1）求草皮的种植面积（结果保留π，用含a的代数式表示）；
（2）当a＝25，计算草皮种植面积的值（π取3）．
【答案】（1）解：如图所示：
∵四边形ABCD和是四边形EFGC均为长方形，
∴AB＝CD，CE＝FG＝（a﹣6）米，BC＝AD＝14米，CG＝EF＝6米，
又∵DE＝6，
∴CD＝CE﹣DE＝a﹣6﹣6＝（a﹣12）米，BG＝BC+CG＝14+6＝20米，
∴半圆的半径为10米，
∴S阴影＝S长方形ABCD+S长方形EFGC﹣S半圆，
即S阴影＝14（a﹣12）+6（a﹣6）﹣π×102＝（20a﹣132﹣50π）平方米；
（2）解：当a＝25米，π取3时，
S阴影＝20×25﹣132﹣50×3＝218（平方米）．
【解析】【分析】（1）先根据长方形的性质得到AB＝CD，CE＝FG＝（a﹣6）米，BC＝AD＝14米，CG＝EF＝6米，进而结合题意即可得到CD和GB，从而根据S阴影＝S长方形ABCD+S长方形EFGC﹣S半圆即可求解；
（2）将a=25代入即可求解。
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.
（1）求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）解：证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE＝∠DBE，
∠FEA＝∠BED，
AE＝DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．
②由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
（2）解：四边形ADCF是矩形．理由如下：
证明：∵在△ABC中，AB=AC， AD是斜边BC上的中线，
∴AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【解析】【分析】（1）①根据AAS可证明△AEF≌△DEB；②由①知△AEF≌△DEB，从而得出AF=BD=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠ADC=90°，由（1）知四边形ADCF是平行四边形，故而得出四边形ADCF是矩形。
3．非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，求的值．
【答案】解：∵非零实数a，b（a≠b）满足，，
∴实数a、b是方程的两根．
由根与系数的关系可知a+b＝1，ab=-2013．
∴．
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b＝1，ab=-2013，再利用，最后将数据代入计算即可。
4．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）先移项、然后根据提取公因式法解一元二次方程即可求出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
5．杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：A.大莲花奥体中心，B.黄龙体育中心，C.化蝶游泳馆.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.
（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率.
【答案】（1）解：小明被分配到 A(大莲花奥体中心)做志愿者的概率是
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到 B(黄龙体育中心)做志愿者的结 果有1种，
∴小明和小颖都被分配到 B(黄龙体育中心)做志愿者的概率是
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有1种，再由概率公式求解即可.
6．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕．若B'M=1，求CN的长．
【答案】解：连结AC，BD，如图，
点O为菱形ABCD的对角线的交点，
∴OC=AC=3，OB=OD=BD=4，∠COD= 90° ，
在Rt△COD中， CD==5．
∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO．
在△OBM和△ODN中， ，∴OBM≌△ODN( ASA)，∴DN=BM．
∵过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕，∴BM= B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD-DN=5-1=4．
【解析】【分析】利用菱形的性质求得CD=5，再通过ASA判定OBM≌△ODN，进而证得DN=BM，故可计算出CN的长度.
7．在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点，
∴AD＝BC=BD＝CD.
∵AE＝BD，
∴AE＝DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵平行四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC＝S△AEC，
∵D是BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABD，
∴
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得AD＝BC=BD＝CD.证明AE=CD，即可判定四边形ADCE是平行四边形，再由AD=CD，即可得到结论；
（2）由菱形的性质得S△ADC＝S△AEC，由中心的性质得S△ADC＝S△ABD，于是可得菱形ADCE的面积即△ABC的面积，再利用三角形的面积公式即可得到结论.
8．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
【答案】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再求出所有可能的结果数及其中两人之中至少有一人直行的可能数，然后利用概率公式计算。
9．已知m是方程x2﹣x-2=0的一个根，求代数式 的值.
【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，m2-2=m，
∴
=
把m2-m=2，m2-2=m代入
原式=2×(1+1)=4.
【解析】【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2-m和m2-2，分别代入所求的式子中即可求出值.
10．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 使点D落在 边的点F处，已知 ， ，求 的长.
【答案】解：
∴由勾股定理得 ， .
设 ，则 .
∴由勾股定理得
∴
解得
∴EC的长为3.
【解析】【分析】设 ，根据折叠的性质得出AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出BF；在Rt△CEF中用勾股定理求得EC的长度.
11．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程，
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____；
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
解得：．
【解析】【解答】（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
解得：．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：.
【分析】参照题干中的定义及计算方法和步骤分析求解即可.
（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
直接开平方并整理，得．
12． 三边长a、b、c满足 ， ，试问 是什么三角形
【答案】解： 是等腰三角形
由 得 ，代入 得
，
∴
，
所以 且 ，即 ， ，
把 代入 得
∴ ，因此 是等腰三角形
【解析】【分析】由 得 ，代入 中，求得 ，然后利用完全平方式的非负性求得 ， ，进而求得 ，使问题得解.
13．如图，在矩形中，，点是上与不重合的任意一点，设，点到的距离为，求出关于自变量的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
【答案】解：连接，如图所示：
为矩形，点是上与不重合的任意一点，
，，
，，，
，点到的距离为，
，整理得，
点是上与不重合的任意一点，即，
又，
，即．
综上所述，有．
【解析】【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形面积公式.根据矩形的性质可知点是上与、不重合的任意一点，可推出，又，利用等面积法可列出等式，进而可得到关于自变量的函数关系式，再利用勾股定理可求出的长，根据即可求出自变量的取值范围．
14．一个不透明的袋中装有2个白球，1个红球.这些球除颜色外，没有任何其他区别，有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是白球的概率记为；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率记为.
试猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想.
【答案】解：活动1：
白球1 白球2 红球
白球1 （白1，白2） （白1，红）
白球2 （白2，白1） （白2，红）
红球 （红，白1） （红，白2）
∵共有6种等可能的结果，摸到两个白球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是白球的概率记为
活动2：
白球1 白球2 红球
白球1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，红）
白球2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，红）
红球 （红，白1） （红，白2） （红，红）
∵共有9种等可能的结果，摸到两个白球的有4种情况，
∴摸出的两个球都是白球的概率记为
∴
【解析】【分析】根据活动1、活动2列出表格，找出所有可能的情况数以及摸到两个白球的情况数，根据概率公式求出相应的概率，然后进行比较即可.
15．如图，是的斜边上的中线，．
（1）求的度数．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：，，
.
（2）解：是的斜边边上的中线，且，
，
，
是等边三角形，
的周长为15
【解析】【分析】（1）利用∠B=90°－∠A即可得到答案：
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD=CD=5，再根据∠B=60°得等边三角形，从而可得周长.
16．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根，
∴4a2﹣4b＞0，即a2＞b
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，
∴方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．
【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，再由概率公式求解即可。
17．某商场销售一批某品牌衬衫，衬衫进货单价为80元，销售单价为120元时，每天可售出20件．为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天就可多售出2件，若商场销售这种衬衫平均每天盈利1200元，售价应定为多少元？
【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得：2x2﹣60x+400=0，
解得：x1=20，x2=10，
因为要减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元；
【解析】【分析】根据题意可知价格是变动的，所以设价格为未知数，根据数量关系列出方程即可。
18． 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点．
（1）如图，连接，于点，图中有 ▲ 对“勾股三角形”；分别是哪几对？
（2）如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接）
【答案】（1）解：图中由对“勾股三角形”，分别是和，和，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∵，即 ，
∴，
根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；
∵于点，
∴在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得， ，
∴，
根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；
故答案为： ；
（2）解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
设，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵和是一对“勾股三角形”，
∴，
即，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，AD=BC，根据勾股定理可得即可判断出，再根据勾股三角形定义即可求得；同理根据勾股定理分别在Rt△CDH和Rt△CGH，可得，即可求得；
（2）连接DG，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理可得BG进而得到AG，再根据勾股定理求得DG，设DE为x，根据矩形的性质可得DF为（5-x），再根据和是一对“勾股三角形”列出方程，即可求得.
19．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
【答案】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得（2x+6）（2x+8）=80．
整理得：x2+7x﹣8=0，
∴（x﹣1）（x+8）=0，
解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
答：金色纸边的宽为1分米．
【解析】【分析】设金色纸边的宽为x分米，则矩形挂图的长为（2x+8）分米，矩形挂图的宽为（2x+6）分米，根据矩形挂图的面积=矩形挂图的长矩形挂图的宽得出方程求解检验即可。
20．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1、2、3，先任取一张，再从剩下的两张中任取一张.请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两张卡片上的数字之和为5的概率.
【答案】解：依题意画出树状图如下：
P（数字之和为5）= = .
【解析】【分析】根据题意画出树状图列出所有等可能出现的结果数，再找出两张卡片上的数字之和为5的结果数，最后求概率即可.
21．如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连接DE．若小吴测得DE的长为400米，根据以上信息，请你求出AB的长．
【答案】解：∵CD=AC，CE=BC，
∴=，
∵∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴=，
∴AB=800，
答：AB的长为800m．
【解析】【分析】根据题意结合相似三角形的判定方法得出，△ABC∽△DEC，进而求出AB的长．
22．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______；
（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种，
所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
【解析】【解答】（1）解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率；
故答案为：.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率；
故答案为：；
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种，
所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．
23．一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【答案】解：设原来的两位数的十位数字为，
，
整理得：
解得：，不符合题意，舍去
，故原来的两位数为．
答：原来的两位数为．
【解析】【分析】根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可。
24．某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，日销售量为50件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为______元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
【答案】（1）32
（2）解：设该产品的售价每件应定为y元，电商每天可盈利600元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该产品的售价每件应定为30元，电商每天可盈利600元．
【解析】解：（1）设产品的售价为x元/件，
由题意得：，
解得：，
故答案为：32；
【分析】（1）设产品的售价为x元/件， 则销售量增加 2（35-x）件，现在的销售量=50+销售量增加的件数；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，根据总利润=每件利润（售价-进价）×销售量，列出一元二次方程求解．
（1）设产品的售价为x元/件，
由题意得：，
解得：，
故答案为：32；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，电商每天可盈利600元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该产品的售价每件应定为30元，电商每天可盈利600元．
25．为响应垃圾分类处理、改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类，并设置了相应的四个垃圾箱， ：可回收物垃圾箱， ：有害垃圾箱， ：餐厨垃圾箱， ：其它垃圾箱．甲、乙两人分别投放了一袋垃圾，请用列表或画树状图的方法求甲、乙投放到不同垃圾箱的概率．
【答案】解：列表如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙投放到不同垃圾箱（记作事件 ）有 种，
．
【解析】【分析】先列表求出 共有16种等可能结果，其中甲、乙投放到不同垃圾箱（记作事件 ）有 种， 再求概率即可。
26．在一副扑克牌中取3张牌，牌面数字分别是3、4、5，洗匀后正面朝下放在桌面上．小明随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再随机抽取一张牌，记下牌面数字，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率．
【答案】解：画树状图如图．
∵由树状图知共有9种可能的结果，其中抽到的两张牌牌面数字相同的有3种情况
∴抽到的两张牌牌面数字相同的概率
【解析】【分析】画出树状图，得出共有9种等可能的结果，找出抽到的两张牌牌面数字相同的有3种情况，再根据概率公式列式进行计算，即可得出答案.
27．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－2k)＝4＞0
无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时
x＝10必定是方程的一个根
当x＝10时，102－20(k－1)＋k2－2k＝0
解得k＝10或12
①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0
得x＝10或8
△ABC的周长为10＋10＋8＝28
②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0
得x＝10或12
△ABC的周长为10＋10＋12＝32
（3）解：解一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－2k＝0
x＝，
x1＝k，x2＝k－2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴k2＋(k－2)2＝102
解得k＝8或－6
当k＝－6时，AB，AC即x1，x2＜0(舍去)
∴k＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
【解析】【分析】（1）计算放方程根的判别式Δ并证明其恒为正即可；
（2）由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时，x＝10必定是方程的一个根，进而求出k＝10或12，进而分两种情况讨论，①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0；②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0，分别解方程即可；
（3）解方程得到x1＝k，x2＝k－2，利用勾股定理逆定理列出方程k2＋(k－2)2＝102，解此方程即可求解.
28．如图，已知四边形四边形.
（1） .
（2）求边x，y的长度.
【答案】（1）
（2）解：∵四边形四边形，
∴
解得，.
【解析】【解答】解：（1）∵已知四边形四边形
∴∠C=∠C'=135°
∴
故答案为：
【分析】（1）根据相似图形性质可得∠C=∠C'=135°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）根据相似图形的相似比性质即可求出答案.
29．在学习一元二次方程的根与系数的关系一课时，老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根分别为x ，x ，若(求m的值，波波同学的解答过程如下：
解：由题意，得
解得
波波的解法是否正确 若错误，请写出你的解答过程.
【答案】解：波波的解法不正确，
方程有实数根，
∴，
解得：
由根与系数的关系得，
解得
∵，∴m的值为-3.
【解析】【分析】先利用根的判别式，求出，然后由根与系数得关系可得，代入已知条件得解得，结合m的取值范围可得答案.
30．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，由题意得
256(1+x)2=400
解得x1=0.25，x2=-1.25(舍去)
故平均增长率为25%.
（2）设降价a元，则销量增加20a件，由题意得
(58-a-35)(400+20a)=8400
解得：a1=8，a2=-5(舍去)
58-8=50元，故定价为50元时，利润可达8400元.
【解析】【分析】(1)设增长率为x，由题意可列出方程256(1+x)2=400，解方程即可；
(2)设降价为a元，表示出对应的销量，即可列出方程(58-a-35)(400+20a)=8400，解方程即可.
31．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD=
（1）求证：；
（2）求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵△ADF∽△DEC，
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，
∴AE＝3（cm），
（cm2）
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，进而代入化简即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合勾股定理得到AE，进而根据三角形的面积即可求解。
32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作，过点D作交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若，，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；菱形的对角线互相垂直；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
（2）根据菱形对角线互相平分，且垂直，菱形的四条边都相等；有一个角是60度角的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得OD的值，即可求解.
33．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在平行墙的一边留下一个宽1米的门．所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？
【答案】解：长为米，宽为米
【解析】【解答】
解：设宽为x米，则长为(27-2x+1)米，即(28-2x)米，根据题意得，
(28-2x)x=90
解方程
当x=5时，长为18米；因为18＞12，所以此情形不合题意，舍去。
当x=9时，长为10米。因为10＜12，所以此情形符合题意。
答：当长为10米，宽为9米时， 鸡舍面积为90平方米 。
【分析】长中包含了一个门的宽度，所以两个宽加上一个长等于材料长27米加上门宽1米。设宽为x米，则长为(27-2x+1)米，即(28-2x)米，根据面积为90平方米可列方程求出x，再结合长不能超过12米，选择符合题意的解即可。
34．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行道的宽度为多少米？
【答案】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18-3x）（6-2x）=60，
整理得，（x-1）（x-8）=0．
解得：（不合题意，舍去）．
即：人行道的宽度是1米．
【解析】【分析】 设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），可得两块绿地合成一个长为（18-3x）米，宽为（6-2x）米的矩形，根据矩形的面积，列出方程并解之即可.
35．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票．
【答案】解：∵150×25=3750＜4800，∴购买的团体票超过25张，设共购买了x张团体票，由题意列方程得x×[150﹣2（x﹣25）]=4800，x2﹣100x+2400=0，解得x1=60，x2=40，当x1=60时，超过25人的人数为35人，票价降70元，降价后为150﹣70=80元＜100元，不符题意，舍去，x2=40符合题意，∴x=40，答：共购买了40张团体票
【解析】【分析】首先判断阳光旅行社购买的团体票所在的的范围，再根据题意得出每张票的价格为[150-2（x﹣25）]元，由团体票张数×每张票的单价=阳光旅行社支付团体票总价列方程即可求解。
36． 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边．
（1）若花园的面积为平方米，求的长；
（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长为米，则的长为米，
由题意得：，
解得：，，
即的长为米或米；
（2）解：花园的面积不能为米，
理由如下：
设的长为米，则的长为米，
由题意得：
，
解得：，
当时，，
即当米，米米，
花园的面积不能为米．
【解析】【分析】（1）设的长为米，则的长为米，根据“花园的面积为平方米”列出方程，再求解即可；
（2）设的长为米，则的长为米，根据题意列出方程，再求解并判断即可.
37．新年游园会中有一款电子飞镖的游戏. 如图， 靶被等分成2个区域，分别涂上红色和蓝色， 靶被等分成3个区域，分别涂上红色、蓝色、和白色. 小彬向 靶、小颖向 靶分别投掷一枚电子飞镖，飞镖随机落在靶盘的某一位置，若两枚飞镖命中部分的颜色恰好配成紫色，小彬获得奖品，否则，小颖获得奖品（若飞镖落在边界线上时，重投一次，直到落在某一区域）.这个游戏公平吗？说明理由.
【答案】解：根据题意列表如下：
由列表可知，共有6种可能出现的情况，恰好配成紫色的有两种情况，
∴恰好配成紫色的概率= = ，
∴配不成紫色的概率=1- = ≠ ，
∴这个游戏不公平.
【解析】【分析】列表分别求出恰好配成紫色和配不成紫色的概率，比较即可得答案.
38．已知关于x的方程（k-1）x2-k2x-1＝0的一个根是-1，求k的值；如果方程还有其他的根，请予求出．
【答案】解：由题意，（k-1）x2-k2x-1＝0的一个根是-1，
k-1+k2-1＝0，即k2+k-2＝0，
解得k1＝-2，k2＝1，
当k＝-2时，原方程化为：3x2+4x-1＝0，
∴x2＝-1，x2＝-，
∴另一根是x2＝-．
【解析】【分析】根据方程的根求出 k2+k-2＝0， 再求出k的值，最后计算求解即可。
39．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：延长HF、AD交于G，如图：
由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形DCHG是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴DF的长是．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，可得，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（2）延长HF、AD交于G，先证出四边形DCHG是矩形，可得，，利用线段的和差求出FG的长，再利用勾股定理求出DF的长即可.
40． 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质准备条件，根据AAS证明，根据全等三角形的性质求证即可；
（2）延长EB到M，使得BM=DN，连接AM，先根据SAS证明，再根据SAS证明，根据全等三角形的性质即可求证．
41．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用.甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸.”你认为谁说的有道理，请证明.（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha，hb，hc）
【答案】设△ABC的三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa，xb，xc，
易得：△APN~△ABC，
∴ ，
∴xa＝ ，
同理xb＝ ，xc＝ ，
又设三角形ABC面积为s
∴xa﹣xb＝
=
=
= (
= )
∵a＞b，ha＜b，
∴（b﹣a）（1﹣ ）＜0，
即xa﹣xb＜0，
∴xa＜xb，
同理：xb＜xc，
∴xa＜xb＜xc.
∴乙同学说的正确.
【解析】【分析】设△ABC的三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa，xb，xc，利用相似三角形性质可得 ，进而表示出xa＝ ，同理xb＝ ，xc＝ ，然后将它们作差，与0比较，进而得出xa，xb，xc，的大小关系.
42．在中，，是边上的中线，点D在射线上．
（1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ．
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值：
【答案】（1）
（2）解：∴．解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则．设，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点A作，交的延长线于点F，设，则．根据直线平行性质可得，子啊根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
43． 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为，出油率为即每花生可加工出花生油现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率．
【答案】解：设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：新品种花生产量的增长率为．
【解析】【分析】设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为 根据种植新品种花生后每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，可列出关于x的一元二次方程，解出来取符合条件的值即可.
44．如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5，5)，射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B.若∠APB=45°，则△AOB的周长是否会发生变化 若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由.
【答案】解：作PC垂直x轴于点C，PD⊥y轴于点D，在x轴上截取CE=BD，
∵点P的坐标为 (5，5)
∴四边形OCPD为正方形，
∴OC=OD=PC=PD=5，
∴∠APB=45°，∠APE=45°，
在△APB和△APE中，PB=PE
∠APB=∠APE，PA=PA
∴△APB≌△APE(SAS)，∴AB=AE，
∴△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE
=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值
【解析】【分析】如图，点P的坐标为 (5，5) ，向两条坐标轴引垂线后，形成正方形PDOC，已知∠BPA=45°，常见的解题方法是将△DPB逆时针旋转90°（或将△PAC顺时针旋转90°），得△APB≌△APE(SAS)，于是AB=AE，△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值.
45．如图1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形，点P为边BC上任意一点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）那么∠MPN= ，并求证PM+PN=3a；
（2）如图2，联结OM、ON．求证：OM=ON；
（3）如图3，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由．
【答案】（1）60°
（2）解：证明：由（1）得：六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，
在△OMA和△ONE中，
，
∴△OMA≌△ONE（SAS）
∴OM=ON．
（3）解：四边形MONG是菱形；理由如下：
由（2）得，△OMA≌△ONE，
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，
，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴OG=ON，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．
【解析】【解答】（1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形
∴六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，
故答案为：60°；
作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，如图所示：
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM= AM，HP= BP，PL= PC，NK= ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．
【分析】（1）根据PM∥AB易知∠BPM=60°，同理∠NPC=60°，再由∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC可得∠MPN=60°；分别作AG⊥MP、BH⊥MP、CL⊥PN、DK⊥PN于点G、H，L、K，易知四边形ABHG为矩形，故GH=AB=a，在Rt△AGH中，∠AMG=60°，GM= AM，再由线段之间的等量代换MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN进行求解；（2）由SAS证明△OMA≌△ONE，根据全等三角形对应边相等的性质易得OM=ON；（3）根据SAS证明△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON，再根据ASA证明△GOE≌△NOD，得出OG=ON，由△ONG和△MOG是等边三角形可得MO=ON=NG=MG，可判定四边形MONG是菱形。
46．在正方形ABCD中，，E，F为对角线BD上不重合的两个点（不包括端点），，连结AE并延长交BC于点G，连结FG，CF．
（1）求证：．
（2）设BE的长为x，的面积为y．
①求y关于x的函数表达式．
②当时，求x的值．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AG∥FC
（2）解：①连接CE，AC交BD于点H．
∵AB=4，
在正方形ABCD中，AB=BC=4，
故，
在正方形ABCD中，，，
，
，
，
．
②过F作于点I，作于点J，
，
，
，
，
解得
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应角相等得出∠AEB=∠CFD，推得∠AED=∠CFB，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）①连接CE，AC交BD于点H，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AC的值，根据正方形的对角线互相垂直且平分，求出CH的值，根据三角形面积公式及S△CFG=S△CFE即可求解；
②过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，根据等腰直角三角形的定义和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据三角形的面积，建立方程，解方程求出x的值即可.
47．如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若MF=AB，求∠DAF的度数．
【答案】解：如图，连接DM，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．∵M是AC的中点，∴DM=AM=CM，
∴∠FAD= ∠MDA，∠MDC= ∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF=DC，∴∠DFC= ∠DCF．
∵MF=AB，AB= CD，DF=DC，
∴MF=FD，
∴∠FMD=∠FDM
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，∴∠DFC=2∠FMD．∵∠DMC=∠FAD+ ADM，
∴∠DMC=∠FAD．
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC= 180° ．
∴2x+4x+4x= 180，
∴x=18，
∴∠DAF=18°．
【解析】【分析】连接DM，根据矩形的性质和"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，即可得到：即根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到然后根据三角形外角的性质得到进而得到，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，进而根据三角形内角和定理列方程进而即可求解.
48．如图， 在四边形 中， ， 平分 ， 作 交 于点 ， 连结 ．
（1） 求证： 四边形 是菱形．
（2） 若 ， ， 求 的长．
【答案】（1）证明： 连结 交 于点 ， 如图 1 ．
∴△ABD 是等腰直角三角形．
又 平分
，．
在 和 中，
，
．
．
在 和 中，
．
∴ 四边形 是平行四边形．
∴ 平行四边形 是菱形．
（2）解：过点 作 于点 ， 如图 2 ．
四边形 是菱形，
，BD⊥CE，CF=EF=1
．
又
，
在Rt△AEH中，∠DAC=45°，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点F，易得△ABD是等腰直角三角形，由角平分线的定义得∠DAC=∠BAC=45°，由等腰三角形的三线合一得BF=DF，然后用SAS判断出△AED≌△AEB，由全等三角形的对应边相等得DE=BE；由二直线平行，内错角相等得∠CBF=∠EDF，再由ASA判断出△BCF≌△DEF，由全等三角形的对应边相等得BC=DE，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形DEBC是联系四边形，进而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；
（2）过点E作EH⊥AD于点H，由菱形性质得∠CDE=2∠EDB，BD⊥CE，CF=EF=1，结合已知推出∠BDE=∠ADE，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EF=EH=1；易得△AEH是等腰直角三角形，从而可得AH=HE=1，再由勾股定理可算出AE的长，进而得到AF的长，易得△ADF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质可求出AD的长.
49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形GFED，连接AG，
（1）求证：矩形GFED是正方形。
（2）求AG+AE的值。
【答案】（1）证明：作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N.
四边形ABCD是正方形，
∠EAD＝∠ EAB.
EM⊥AD，EN⊥AB
∴EM= EN.
∵∠EMA＝ ∠ENA＝∠DAB=90°，
∴四边形ANEM是矩形，.
∴∠MEN＝∠DEF= 90°，
∴∠DEM＝∠C FEN.
∠EMD=∠ENF=90°
EM=EN，
. △EMD≌△ENF，
ED= EF.
四边形GFED是矩形，.
四边形GFED是正方形.
（2）解：.四边形GFED是正方形，四边形ABCD是正方形，
DG＝ DE，DC＝ DA＝AB＝4.
∠GDE＝ ∠ADC =900，
∠ADG＝∠CDE，
AG=CE
AG+AE＝EC+AE＝AC＝
【解析】【分析】(1)如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N.只 要证明△EMD≌△ENF即可解决问题：根据正方形的性质得 ∠EAD＝∠ EAB.，AC是角平分线，所以 EM= EN；根据矩形的判定定理得：四边形ANEM是矩形 ，因为 EF⊥DE ， ∠DEM+∠FEM＝∠FEN+∠FEM，得 ∠DEM＝∠FEN，根据”ASA"可证明 △EMD≌△ENF ，即可解得。
(2)由（1）得DG＝ DE，DC＝ DA＝AB ， ∠GDE＝ ∠ADC，所以∠ADG＝∠CDE 可证明△ADG≌△CDE，可得AG = EC即可解决问题.
50．太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业.如图①所示为太阳能电板，如图②所示为其截面示意图，其中 GF 为太阳能电板，AE，CD 均为钢架且垂直于地面DE，AB 为水平钢架且垂直于CD，测得 AG=CF=0.4m，BC=0.6m，AC=0.75 m.若某一时刻的太阳光线GE，FH 垂直照射GF.求：
（1） 钢架AE 的长.
（2）太阳能电板GF 的影子EH 的长(结果精确到0.01m).
【答案】（1）解：如图，由题意，得 AE⊥DE，CD⊥DE， AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，
∴∠AED=∠BDE=∠ABD=90°，∠AGE=∠GFH=90°.
∴ 四边形ABDE 是矩形.
∴∠BAE=90°.
∴∠1+∠2=90°.
又∵在 Rt△AEG中，∠AGE=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠2=∠3.
又∵∠AGE=∠ABC=90°，
∴ △AEG∽△CAB.
∵ AG=0.4m ，BC=0.6m ，AC=
0.75m，
∴ 钢架AE 的长为0.5m.
（2）解：如图，过点 E 作 EM⊥FH 于点M，
∴∠EMF=90°.
∴∠AGE=∠GFH=∠EMF=90°.
∴ 四边形 EGFM 是矩形.
∴∠GEM=90°，EM=GF=AG+AC+CF=0.4+0.75+0.4=1.55(m).
∴∠3+∠4=90°.
又∵∠AED=90°，
∴∠4+∠5=90°.
∴∠3=∠5.
又∵∠AGE=∠HME=90°，
∴△AEG∽△HEM.
在 Rt△AEG 中，由勾股定理，得 0.3(m).
2.58(m).
∴ 太阳能电板 GF 的影子EH 的长约为2.58m
【解析】【分析】(1)由题意， 得AE⊥DE， CD⊥DE， AB⊥CD，GE⊥GF， FH⊥GF， 易证四边形ABDE是矩形，由矩形的性质得出∠BAE=90°，进而得出∠1+∠2 = 90°.在Rt△AEG中， 由∠AGE=90°，进而得∠1+∠3 =90°， ∠2 =∠3.根据相似三角形的判定可证△AEG∽△CAB，由相似三角形的性质得出 把数值代入即可得出结果；
(2)过点E作EM⊥FH于M， 易证四边形EGFM是矩形，由矩形的性质得出∠GEM =90°，即∠4+∠3=90°， 再根据∠AED=90°， 得出∠4+∠5 =90°，进而得出∠3 =∠5，根据相似三角形的判定可证△AEG∽△HEM，由相似三角形的性质得出 在Rt△AEG中，由勾股定理可得EG的长，进而得出EH的值.
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