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北师大版2025—2026学年九年级上册期中复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A． B．6 C． D．9
3．在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）．
A．菱形是对角线互相垂直的四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形
D．平行四边形是对角线互相平分的四边形
5．若，则的值是（ ）.
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
①平行四边形的对角线互相平分；
②菱形的四个内角相等；
③矩形的对角线相等且互相垂直；
④正方形具有矩形和菱形的所有性质.
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
7．在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
9．下列各组数中，不成比例的是（ ）
A．1，-2，3，-6 B．，，，
C．1，2，3，4 D．2，，1，
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=48°，则∠B=
13．如图，P是正方形 内一点， ， ，则 的 值为 .
14． 如图，在中，，过B作于点M，点N为AC边上一点，点P为BC边中点，连接BN，PN，若，，则 .
15．在菱形中，，，则菱形的边长等于 ，面积等于 .
16．设关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，且则实数a 的取值范围是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）x2+7x﹣18=0；
（2） ﹣（ ﹣ ）．
18．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
19．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为，
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？
20．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（ + ）．
易知，S△ADC=S△ABC， = ， = ．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
21．已知一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
22．如图，在中，E点为AC的中点，且有，，，.求DE的长.
23．已知关于x的方程 有两个相等的实数根？求k的值及这时方程的根．
24．如图，在四边形中，和相交于点，，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，，，分别是，，的中点，连接、、、，和相交于点，当和满足什么样的数量关系时才能使四边形为菱形，并说明你的理由．
25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。
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北师大版2025—2026学年九年级上册期中复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ，
又∵AD＝4，BC＝DF＝3，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求得CE长即可.
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】根据根的性质，列出关于字母参数的不等式求解．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
3．在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的中点，
，
．
故选：D．
【分析】证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可得到，再利用勾股定理求出长解题即可．
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）．
A．菱形是对角线互相垂直的四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形
D．平行四边形是对角线互相平分的四边形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可.
5．若，则的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据，设a=3k，b=2k，代入即可求解.
6．下列说法正确的是（ ）
①平行四边形的对角线互相平分；
②菱形的四个内角相等；
③矩形的对角线相等且互相垂直；
④正方形具有矩形和菱形的所有性质.
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，故①正确.
菱形的四个内角不相等，故②错误.
矩形的对角线相等且互相平分，但不垂直，故③错误.
正方形具有矩形和菱形的所有性质，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可判断①；根据菱形的四边相等，对角相等，可判断②；根据矩形的对角线互相平分且相等，可判断③；根据正方形是有一个角是直角的菱形，也是有一组邻边相等的矩形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，可判断④.
7．在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：列表，如图所示：
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
∴共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，
∴这两个数字之和为奇数的概率是，
故答案为：C
【分析】先根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，再根据简单事件的概率进行计算即可求解。
8．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
【答案】B
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
9．下列各组数中，不成比例的是（ ）
A．1，-2，3，-6 B．，，，
C．1，2，3，4 D．2，，1，
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由-2×3=1×（-6），则1，-2，3，-6成比例，故不符合题意；
B、由×=×，则，，，成比例，故不符合题意；
C、由1×4≠2×3， 则1，2，3，4不成比例，故符合题意；
D、 由×1=2×， 则2，，1，成比例，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质逐项判断即可.
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x， 如图，
∵a=3， b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(3+x)2+(4+x)2=72，
整理得：x2+7x=12，
∵矩形的面积=AC×BC=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=12+12=24.
故答案为：B.
【分析】设小正方形的边长为x， 在直角三角形ABC中利用勾股定理整理得出x2+7x=12， 再把矩形的面积用含x的代数式表示出来，代值即可得结果.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=48°，则∠B=
【答案】84°
【解析】【解答】解：过F作FG// AB交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG=GE=FG=BC，
∵AE//FG，
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=48°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=96°，
∴∠B=∠BEG=180°-96°=84°．
故答案为：84°
【分析】过F作FG // AB，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
13．如图，P是正方形 内一点， ， ，则 的 值为 .
【答案】
【解析】【解答】如图，过点D作AP的垂线交AP延长线于点E，
∵四边形ABCD是正方形，CP=CD，
∴BC=CP=CD，
∴∠PBC=∠BPC，∠DPC=∠PDC.
设∠PCD=x，则 ， .
∴∠BPD=45° +90° =135°.
∵AP⊥BP，
∴∠APD=360°-135°-90°=135°.
∴∠DPE=45°.
设DE=PE=y，则 .
∵∠DAE+∠BAP=∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠DAE=∠ABP，
在△DAE与△ABP中， ，
∴△APB≌△DEA（AAS）.
∴AP=DE=y，
∴ .
故答案为： .
【分析】过点D作AP的垂线交AP延长线于点E，由BC=CP=CD可得∠PBC=∠BPC，∠DPC=∠PDC，可求出∠BPD=135°，即得∠DPE=45°，设DE=PE=y，则 ，再证明△APB≌△DEA（AAS），可得AP=DE=y，即可求出的值.
14． 如图，在中，，过B作于点M，点N为AC边上一点，点P为BC边中点，连接BN，PN，若，，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，
∵∠CNP=45°，
∴是等腰直角三角形，
设PD=PN=x，CD=y，
∵点P是BC的中点，
∴CD=MD=y，BM=2PD=2x，
∴CN=x+y，MN=y-x，
∵于点M ，
∴∠BMN=∠BMA=90°，
又 BM=BM，，
∴≌，
∴AM=MN=y-x，
∵∠C+∠A=90°，∠ABM+∠A=90°，
∴∠C=∠ABM，
∵∠CDP=∠BMA=90°，
∴，
∴，
∴，
∴2x2=y2-xy，
∴2x2-y2+xy =0，
左边因式分解，得：（x+y)(2x-y)=0，
∵x+y≠0，
∴2x-y=0，
∴y=2x，
∴
故答案为： .
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，可得出等腰直角三角形PDN，PD=PN=x，CD=y，再根据点P是BC的中点，可得出BM=2PD=2x，CD=DM=y，进而可得出CN=x+y，MN=y-x，再根据ASA证明≌，得出AM=MN=y-x，进而根据相AA证得，可得出，转化为，通过整理可得出2x2-y2+xy =0，再通过因式分解，可得出y=2x，代入到中，即可求得它们的比值。
15．在菱形中，，，则菱形的边长等于 ，面积等于 .
【答案】13；120
【解析】【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
在菱形ABCD中，，，且，
，
菱形面积是.
故答案为：13，120.
【分析】设对角线AC、BD相交于O，根据菱形的性质可得AO=AC=5，BO=BD=12，AO⊥BO，根据勾股定理求出AB，然后根据菱形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
16．设关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，且则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
，
或，
解得，
，
，
，
，，
，
当时，则，不成立；
当时，则，
.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出关于a的不等式，解得，再通过韦达定理得到，，进而求得.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）x2+7x﹣18=0；
（2） ﹣（ ﹣ ）．
【答案】（1）解：∵（x﹣2）（x+9）=0，
∴x﹣2=0或x+9=0，
解得：x=2或x=﹣9
（2）解：原式=6 ﹣3 + =
【解析】【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）先化简二次根式，再合并可得．
18．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
【答案】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
∴
即：
∴
∴AH＝11.9
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出 ，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．
19．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为，
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？
【答案】（1）解：由题可知平行于墙的材料长为，
即，
∴，
其中，则；
（2）解：∵，
∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为．
【解析】【分析】
（1）由题意，用含x的代数式表示平行于墙的材料长，根据矩形的面积等于矩形的长×宽即可求解；
（2）将（1）中求得的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：由题可知平行于墙的材料长为，即，
∴，
其中，则；
（2）解：∵，
∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为．
20．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（ + ）．
易知，S△ADC=S△ABC， = ， = ．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
【答案】S△AEF；S△FCM；S△ANF；S△AEF；S△FGC；S△FMC
【解析】【解答】证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（ S△ANF+S△FCM）．
易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
故答案分别为 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．
【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
21．已知一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】解：将x=0代入 得，3a=6，
∴ a=2，
∴，
即2x2-7x+6=6，
2x2-7x=0，
x(2x-7)=0，
∴ x1=2，x2=，
∴ a=2，另一个根为.
【解析】【分析】将x=0代入后求得a的值，再将a的值代入一元二次方程，根据因式分解法求得另一个根即可.
22．如图，在中，E点为AC的中点，且有，，，.求DE的长.
【答案】解：，
，
为直角三角形，，
在中，，，
，
，
点为AC的中点，
.
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理可得△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，利用勾股定理求出AC的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算.
23．已知关于x的方程 有两个相等的实数根？求k的值及这时方程的根．
【答案】解： 关于的 方程 有两个相等的实数根，
△ =0，
解得：k=2．
当 时，原方程为 ，
解得： .
【解析】【分析】将原方程变形为一般式，根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，将k值代入原方程，解之即可得出方程的根．
24．如图，在四边形中，和相交于点，，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，，，分别是，，的中点，连接、、、，和相交于点，当和满足什么样的数量关系时才能使四边形为菱形，并说明你的理由．
【答案】（1）证明：在与中，
，
≌，
∴BO=DO，
四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当时，则四边形AEFG为菱形，证明如下：
，，分别是，，的中点，
，，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，，
，，，
四边形AEFG为平行四边形，
，
如图，连接DF，
是的中点，
，
是的中点，，
是的中位线，
，
，
四边形AEFG为平行四边形，
四边形AEFG为菱形．
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定以及菱形的性质，
（1）使用“角边角”证明△AOD和△COB全等，得BO=DO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据已知条件可证明四边形ABCD、AEFG是平行四边形，得出AH=FH，连接DF，再结合三角形中位线定理即可得出结论.
25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）解：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB，
同理，∠ACF= ∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）解：△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
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