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沪科版2025—2026学年九年级上册期中模拟综合素养提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．将抛物线y＝x2－2x－1向右平移1个单位长，再向上平移3个单位长，平移后的解析式为y＝x2＋bx＋c，则b、c 的值分别为（ ）
A．b＝－2，c＝2 B．b＝－4，c＝－4
C．b＝－4，c＝5 D．b＝0，c＝2
3．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．
5．抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误
C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确
6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，y是关于x的二次函数，抛物线经过点A，B，C，抛物线经过点B，C，D，抛物线经过点A，B，D，抛物线经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方；
④抛物线与y轴交点在点B的上方．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
7．已知点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜
8． 如图，在 中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则( )
A． B． C． D．
9．如图， ABCD的顶点A 在x轴上，点 D在反比例函数的图象上，且 AD ⊥x轴.若 CA 的延长线交 y 轴于点 E，S△ABE=， 则 k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点A和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为 ．
12．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
13．已知，抛物线y= x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数．
（1）若抛物线经过点P(1，b)，则c= ．
（2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y= x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是 ．
14．已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是 .
15． 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为
16．已知直线 交双曲线 于 ， 两点，交 轴于点 .若 ，则 的值是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）已知，求分式的值；
（2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简．
18．已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．
19．同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
20．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
21．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
22．如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）求矩形ABCD的最大面积．
23．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
24．在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N．
（1）若，，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
25．在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点．
（1）求和的值用含的代数式表示；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】依题意，根据平行线分线段成比例定理得：
又
则
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例”即可得.
2．将抛物线y＝x2－2x－1向右平移1个单位长，再向上平移3个单位长，平移后的解析式为y＝x2＋bx＋c，则b、c 的值分别为（ ）
A．b＝－2，c＝2 B．b＝－4，c＝－4
C．b＝－4，c＝5 D．b＝0，c＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：
图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为，
则，.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
3．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故答案为：错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故答案为：正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故答案为：错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故答案为：错误.
故答案为：B.
【分析】y=ax-a，当a>0时，图象过一、三、四象限；当a<0时，图象过一、二、四象限；
y=ax2-2x+1，当a>0时，图象开口向上，对称轴在y轴右侧；当a<0时，开口向下，对称轴在y轴左侧.
4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0，
∴2k<0，∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，
抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；
观察各选项，只有D符合.
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得k<0，再根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
5．抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误
C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确
【答案】C
【解析】【解答】解：在y=2x2+1中，
∴对称轴为：x=0，
∵a=2＞0，
∴在对称轴左侧，当x＜0时，y随x的增大而减小。当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当时， ；当时，则 。
故答案为：C。
【分析】根据二次函数的性质，即可得出答案。
6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，y是关于x的二次函数，抛物线经过点A，B，C，抛物线经过点B，C，D，抛物线经过点A，B，D，抛物线经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方；
④抛物线与y轴交点在点B的上方．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由抛物线经过点，，可得，
同理可得，
∵，，，，
∴四条抛物线的开口方向均向下，故①正确；
∵四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号，
∴四条抛物线的对称轴都在y轴右侧，
∴当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大，故②正确；
∵，
∴抛物线的顶点在抛物线顶点的上方，故③正确；
在中，令得，
∴抛物线与y轴交点在点的下方，故④错误；
故选C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
7．已知点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.
∴y1＝（m-3-2）2+n，y2＝（m-2）2+n，
∵y1＞y2，
∴（m-3-2）2+n＞（m-2）2+n，
解得m＜，
故答案为：D.
【分析】将两点的坐标分别代入函数解析式，用含m、n的式子表示出y1与y2，进而根据 y1＞y2列出不等式，求解即可得出m的取值范围.
8． 如图，在 中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，∠CFB=∠FBA，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBF=∠FBA，
∴∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，
∴DE=AD，BC=CF，
∴DE=AD=CF=DF+EF=3+2=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG
∴=4，
∴AG=4GE，
∴k=4.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，利用平行线的性质及角平分线的定义可推出∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，可得DE=AD=5，BC=CF=5，从而得出AB=CD=8，由平行线可证△ABG∽△EFG，可得=4，继而得解.
9．如图， ABCD的顶点A 在x轴上，点 D在反比例函数的图象上，且 AD ⊥x轴.若 CA 的延长线交 y 轴于点 E，S△ABE=， 则 k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设BC交x轴于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AD∥y轴，
∴BC∥y轴，
∴S△ODF=S△EBC，S△ADF=S△ABC，
∴S△OAD=S△ABE==|k|，
∴k=±3，
又∵k＞0，
∴k=3.
故答案为：C.
【分析】设BC交x轴于点F，连接DF、OD，由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，进而可推出BC∥y轴，由等底同高的三角形的面积相等得S△ODF=S△EBC，S△ADF=S△ABC，从而推出S△OAD=S△ABE==|k|，求解可得k的值.
10．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：
∴abc＜0，故①不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
故②符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
故③符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以方程的两个根是，；故④符合题意；
∵抛物线的对称轴为，即，
而时，，即，
∴3a+c=0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0， ∴5a＜0，
∴；故⑤符合题意；
综上：②③④⑤符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点A和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接、，
轴， 的面积为4，
，
点、点分别是反比例函数和图象上的点，
，，
，
，
故答案为：5.
【分析】先通过平行线的性质得到和的面积相等，再利用反比例函数k的几何意义求得k的值.
12．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，DF表示A下降的高度，GE表示B端上升的高度，
∵∠DFO=∠EGO=90°，∠FOD=∠EOG，
∴△DFO∽△EGO，
∴DF：EG=OD：OE，
∴DF=1，
当O为AB的中点时，
∴△DFO≌△EGO，
∴EG=DF=1，
故答案为：1.
【分析】如图，DF表示A下降的高度，GE表示B端上升的高度，先证△DFO∽△EGO，利用相似三角形的性质求出DF的长，根据O为AB的中点，可证△DFO≌△EGO，可得EG=DF=1，继而得解.
13．已知，抛物线y= x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数．
（1）若抛物线经过点P(1，b)，则c= ．
（2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y= x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是 ．
【答案】（1）-5
（2）1
【解析】【解答】解：（1）将P（1，b）代入y= x2+(b+6)x+c中，
b=-1+（b+6）+c，
∴c=1+b-b-6=-5；
故答案为：-5；
（2）抛物线y= x2+(b+6)x+c的对称轴x=- ，
由题意知，点P、B关于对称轴对称，
设PA与对称轴交于点C，则PC=CB，
∵AB=3PA，
∴PA=PC，
∴1= -1，
解得b=-2，
∴P（1，-2），
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x-5．
∴抛物线的顶点为（2，-1），
∴抛物线上的点到x轴的最小距离是1．
故答案为：1．
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）由抛物线y= x2+(b+6)x+c的对称轴得出点P、B关于对称轴对称，设PA与对称轴交于点C，则PC=CB，求出b的值，即可得出点P的坐标，从而得出抛物线的解析式，即可得出抛物线上的点到x轴的最小距离。
14．已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是 .
【答案】x＜﹣2或0＜x＜1
【解析】【解答】解：∵函数的图象过点A（1，4），即
∴k=4，
∴反比例函数的关系式为；
又∵点B（m，﹣2）在上，
∴m=﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1.
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1.
【分析】先求出点B（-2，-2），观察图象可得当x＜﹣2或0＜x＜1时，双曲线在直线的上方，据此即得结论.
15． 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为
【答案】x<-1或x>2
【解析】【解答】解：由题意得直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为x<-1或x>2，
故答案为：x<-1或x>2
【分析】根据二次函数与一次函数的交点问题结合函数的图象即可求解。
16．已知直线 交双曲线 于 ， 两点，交 轴于点 .若 ，则 的值是 .
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵直线 交双曲线 于A， 两点，
∴联立 ，可得 ，
∴ ， .
如图，分别过点A， 作 ， 轴于点 ， ，
∴ .
∵直线 交 轴于点 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为：-3.
【分析】联立直线与双曲线的解析式可得kx2+4x-m=0，由根与系数的关系可得x1+x2，x1·x2，分别过点A、B作AD⊥x，BE⊥x轴于点D、E，易得C（，0），根据AB=2BC可得DE=2EC，进而得到x2=3x1，然后结合x1+x2，x1·x2进行求解即可得到mk的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）已知，求分式的值；
（2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简．
【答案】解：（1）设（），则，，，
把，，代入，
原式
．
（2）原式
．
【解析】【分析】（1）设，则，，，然后代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据题意，将分式变形计算即可．
18．已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是（6，4.4），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，
把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，
解得a＝﹣，
则抛物线是y＝﹣（x﹣6）2+4.4；
（2）解：∵球门高为2.44米，即y＝2.44，
则有2.44＝﹣（x﹣6）2+4.4，
解得：x1＝10.2，x2＝1.8，
从题干图2中，发现球门在CD右边，
∴x＝10.2，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）解：不后退时，刚好击中横梁，
∴往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当y＝0时，
有0＝﹣（x﹣6）2+4.4，
解得：x1＝6+，x2＝6﹣，
取正值，x＝6+，
∴后退的距离需小于6+﹣10.2＝（﹣4.2）米
故0＜m＜﹣4.2．
【解析】【分析】（1）根据该抛物线的顶点坐标（6，4.4），以及A点坐标（0，0.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，再将A点代入求出a的值，即可求出该抛物线的解析式.
（2）根据足球恰好击中球门横梁可知y=2.44，代入函数解析式中求出x的值：＝10.2，＝1.8，从图2中看出球门在CD右边，故x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米
（3）先计算出当y=0时，x的值是多少，取正值，减去刚好击中球门横梁时的足球的水平距离，从而求出m的取值范围.
19．同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．
【答案】（1）解：铅球出手时铅球离地面的高度为，
可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，，
，
．将代入，
得，
解得，．
故抛物线的表达式为
（2）解：将代入，
得．
即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为
（3）解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，，
．将代入，
得，
解得，
，
则 ．
，
当时，取最大值，最大值为1.6．
答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，关联二次函数的解析式求解（顶点式、一般式），函数值的计算，二次函数的最值相关知识点．
（1）由题意可设抛物线的表达式为．根据抛物线的顶点横坐标（水平距离为3m时达到最大高度）得，，再代入已知点（出手点、落地点）求出解析式；
（2）将代入抛物线解析式，计算对应的y值，即铅球距离地面的高度；
（3）设小红投掷铅球的抛物线解析式（顶点横坐标为3.5），求出的表达式，再根据二次函数的性质求其最大值及对应的水平距离.
（1）解：铅球出手时铅球离地面的高度为，
可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，，
，
．将代入，
得，
解得，．
故抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，
得．
即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为；
（3）解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，，
．将代入，
得，
解得，
，
则 ．
，
当时，取最大值，最大值为1.6．
答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为．
20．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（-1，0），
∴c＝5，
把（1，8），（-1，0）分别代入二次函数，得
，
解得a＝-1，b＝4，
∴抛物线的解析式：y＝-x2+4x+5；
（2）解：过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：
∵y＝-x2+4x+5
＝-（x-2）2+9；
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC：y＝kx+b，
把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得
，
解得k＝-1，
∴直线BC：y＝-x+5，
∵ME⊥x轴，
∴MD∥y轴，
∴把x＝2代入y＝-x+5，
得y＝3，
∴D（2，3），
∴MD＝6，
∴△MCB的面积＝
＝×5
＝15．
【解析】【分析】（1）把（1，8），（-1，0）（0，5），分别代入二次函数，列成方程组求出a b c
(2)过点M作ME垂直x轴，交BC于D，先把二次函数的顶点求出M(2，9)，B(5，0).再求出直线BC的方程，求出D点的坐标，根据梯形CMBO-三角形COB，即可求出结果。
21．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
【答案】（1）解：在正ABC中，∠B=∠C=60°
∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120°
∴∠BAD=∠EDC
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴
∴
∴AE=AC-CE=6-=
【解析】【分析】
（1）根据正三角形ABC中∠B＝∠C＝60°，结合三角形内角和定理得出∠BAD＝∠CDE，从而可证得结论。
（2）根据两个三角形相似得出线段间的比例关系，代入数据计算出CE，再计算AE即可。
22．如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）求矩形ABCD的最大面积．
【答案】解：（1）y=（16﹣x）x=﹣x2+16x；
（2）∵y=﹣x2+16x，
∴y=﹣（x﹣8）2+64．
∵0＜x＜16，
∴当x=8时，y的最大值为64．
答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．
【解析】【分析】（1）设AB边的长度为x米，CB的长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式；
（2）利用配方法求得函数的最大值即可．
23．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
【解析】【分析】（1）由题意得可得，由，得，继而求得；
（2）过点作，可得，设为，则，由，得，继而可得，求得，即可得到值，即树的高度．
（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，
过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
24．在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N．
（1）若，，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
【答案】（1）解： ①解：根据，，
故对称轴为直线；
②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时，
，
．
（2）解：根若M，N的值互为相反数，
得到，
解得或．
【解析】【分析】（1）①把a，b代入，求出对称轴直线解析式即可；
②当时，计算M和N的值即可；
（2）根若互为相反数的和为0列方程，求出方程的解即可．
（1）①解：根据，，
故对称轴为直线；
②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时，
，
．
（2）解：根若M，N的值互为相反数，
得到，
解得或．
25．在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点．
（1）求和的值用含的代数式表示；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）解：把和代入，
得：，
解得：
（2）解：抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴为：直线，
抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
，即
（3）解：∵，
∴抛物线为：.
当时，如图，
抛物线与线段只有一个交点，根据抛物线的图象可知，抛物线不经过点N.
故时，，即，
解得：.
当时，若抛物线的顶点在线段上时，则，
解得：，，
当时，，
此时，顶点横坐标满足，符合题意；
∴当时，如图，抛物线与线段只有一个交点，
如图，
当时，.
此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 时，如图④：
把代入，得：
，
解得：，
故当x=2时，y>5，则抛物线不经过点N，和线段有1个交点，
解，
得.
综上所述：的取值范围为：或或时． 抛物线与线段恰有一个公共点.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得到和的值；
（2）根据点C和D的坐标得到对称轴为x=2，再根据抛物线开口向下知道在对称轴右侧随的增大而减小，可得k-3≥2，于是可求得k的取值范围；
（3）把b和c的值代入抛物线解析式，得.分a<0和a>0，结合图象作答即可.
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