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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中模拟真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ）
A． B．
C． D．
3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是( ).
A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4
4．一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．要使有意义，则的值可以是( )
A． B． C． D．
6．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．3或2 D．3或2
8．如图，在平面直角坐标系中，，，将以为位似中心缩小一半，则对应的点的坐标（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形ABCD中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线BP，过点作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 的值为 .
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 .
13．若点与点关于轴对称，则2m+n= ．
14．如图，在 中， ， ，连接 交 于点 ， ， 于点 ，若 ，则线段 的长为 ．
15．方程的根是 ．
16．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： ．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
19．已知a，b，c满足求a-b+c的值.
20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为，
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？
21．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度.如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB的长度为9米.
（1）求旗杆CD的高度；
（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长.
22． 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝，AB＝5．求BD的长．
23．已知关于x的方程
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 n的取值范围.
（2）当x=n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根.
24．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
（1）发现：
△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
（2）思考：
线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
（3）探究：
当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
25．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.
（1）请你解答小明的这道题；
（2）在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
（4）连接AG、CG，①求证：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。
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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中模拟真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：关于x轴的对称点的坐标是，
故选：D．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
2．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设人行通道的宽度为，则每个展位的长为，宽为，
根据题意，可得：，
整理，得：．
故选：B
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是( ).
A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∵化简 的结果为，
∴的取值范围是，
故答案为：B .
【分析】先利用完全平方公式、二次根式的性质将原式化为，然后由绝对值的意义进行分类讨论得到符合条件的的取值范围.
4．一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：∵2x2+x-1=0，
∴△=12-4×2×（-1）=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
5．要使有意义，则的值可以是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得：x-3≥0，
∴x≥3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义可得不等式x-3≥0，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案即可.
6．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解：由题意得：
，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件证得b的取值范围，再分母有理化即可解得。
7．关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．3或2 D．3或2
【答案】A
【解析】【解答】解：设方程 的两个实根为a和b，则；
∵a+b=-2m，ab=，即m＜0；
∴
=
=
∴，
，
，
解得m=3或-2；
∴m=-2
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的解根与系数的关系，可用含m代数式表示两根之和和两根之积；根据一元二次方程有两个实根，可根据根的判别式列不等式，得到m的取值范围；根据配方法将进行配方，再将已知代数式的值代入，列关于m的一元二次方程，即可求出m的值.
8．如图，在平面直角坐标系中，，，将以为位似中心缩小一半，则对应的点的坐标（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵将以为位似中心缩小一半，，
∴对应的点的坐标为或．
故答案为：C
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
9．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
10．如图，矩形ABCD中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线BP，过点作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图， 设BP交CD与点J， 交CN与点T，过点J作JK⊥BD于点K.
∵四边形ABCD是矩形，
∵∠BCD=90°，
∵CD=3， BC=4，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵
.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3， ∠BCD=90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB =∠CDN = 90°，
∴∠CBT+∠BCM =90°，∠BCT+∠DCN =90°，
∴∠CBT=∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴BT·CN=CD·CB=3×4=12，
故答案为：A.
【分析】设BP交CD与点J， 交CN与点T，过点J作JK⊥BD于点K.设BP交CD与点J，首先利用角平分线的性质求出CJ的长，利用勾股定理求得BJ，再解直角三角形求出BT；最后利用相似三角形的性质证明CN与BT的乘积为12 ，可得结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：
=3+1
=4.
【分析】先去括号相乘然后再相加即可.
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 .
【答案】7
【解析】【解答】解：由题意可得：
a-2=2，解得：a=4
∴b=3+a=7
故答案为：7
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案.
13．若点与点关于轴对称，则2m+n= ．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得，再将m、n的值代入2m+n计算即可。
14．如图，在 中， ， ，连接 交 于点 ， ， 于点 ，若 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为 ．
【分析】过点P作PM⊥AB于M，先证明PB是∠ABC的平分线，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CP=MP，然后求出∠APD=∠ADP，得到PA=DA，即可利用“AAS”证明△APM≌△△DAE，根据全等三角形对应边相等可得AM=DE4，liyong勾股定理求得PC=PM=AE=3，从而求得PE=2，利用勾股定理求得PD=，然后利用△BPC∽△DPE可求得BP的值。
15．方程的根是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，
【分析】先整理成一般式，再利用十字相乘法解方程即可.
16．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】过点作于点，延长，交于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，然后结合三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出，由等腰三角形“三线合一”的性质得出，接下来证明，根据相似三角形的判定得，于是由相似三角形对应边成比例得，即可求出，利用勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例定理得，据此可求出.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： ．
【答案】解：∵1＜ ＜ ，
∴ -1＞0， - ＞0， + ＞0，
∴
= -1-（ - ）+ +
= -1- + + +
=3 -1．
【解析】【分析】利用绝对值的性质去绝对值，再利用二次根式的加减计算即可。
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答；
（2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答.
19．已知a，b，c满足求a-b+c的值.
【答案】解：原式要使根号下有意义则有以下两种情况：
∴a=2，c=2，
a-b+c=2-0+2=4；
②b2>0时，a≥3，
因为a≥3，所以|2a-4|>0，2a-4>0，2a-4-2≥0，
∵2是上式右边的，
∴整理得，
∴每一项都≥0，要使结果为零，则每一项都等于0，
则a=3=c，b=-2，
∴a-b+c=8.
综上所述：a-b+c=4或8.
【解析】【分析】先根据题意结合完全平方公式化简得到原式再根据二次根式有意义的条件结合题意分类讨论，分别求出a，b和c的值，代回即可求解。
20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为，
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？
【答案】（1）解：由题可知平行于墙的材料长为，
即，
∴，
其中，则；
（2）解：∵，
∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为．
【解析】【分析】
（1）由题意，用含x的代数式表示平行于墙的材料长，根据矩形的面积等于矩形的长×宽即可求解；
（2）将（1）中求得的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：由题可知平行于墙的材料长为，即，
∴，
其中，则；
（2）解：∵，
∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为．
21．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度.如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB的长度为9米.
（1）求旗杆CD的高度；
（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长.
【答案】（1）解：∵BE⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//CD
∴△ABE∽△ACD
∴，即，
解得CD=6.
答：旗杆CD的高度为6米.
（2）解：由题意得∠EFB=∠DFC
∵BE⊥AC， DC⊥AC，
∴∠EBF=∠DCF
∴△EBF∽△DCF，
∴，即
解得
答：小水坑F到小明的距离BF的长为米.
【解析】【分析】(1)证明△ABE∽△ACD，利用相似三角形的性质求解即可；
(2)证明△EBF∽△DCF，利用相似三角形的性质求解即可.
22． 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝，AB＝5．求BD的长．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AD=2，
∴BD=AB-AD=5-2=3．
【解析】【分析】（1）已知一组角相等，还有一个公共角，故根据两个三角形的两个角分别对应相等则两个三角形相似的判定定理进行判定；
（2）所求边BD是AB-AD，AB已知，根据相似三角形的性质，对应边成比例，已知比例中的三条边长，可求第四条边AD的长，进而BD可求。
23．已知关于x的方程
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 n的取值范围.
（2）当x=n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根.
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4n＞0，
解得：n＜1，
故n的取值范围是n＜1.
（2）解：将x=n代入方程x2+2x+n=0，得n2+2n+n=0，
整理得：n（n+3）=0，
∵n≠0，
∴n+3=0，
解得：n=-3；
故原方程为x2+2x-3=0，
整理得：（x+3）（x-1）=0
即x+3=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=-3.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ=4-4n＞0，求解即可；
（2）将x=n代入方程，结合题意求出n的值，然后代入原方程，根据因式分解法求一元二次方程的解即可.
24．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
（1）发现：
△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
（2）思考：
线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
（3）探究：
当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
【答案】（1）∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．
（2）设PB=x，则CP=4﹣x．
∵△CMP∽△BPA，
∴ ，
∴CM= x（4﹣x）．
如图1所示：作MG⊥AB于G．
∵AM= = ，
∴AG最小值时，AM最小．
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3．
∴AM的最小值= =5．
（3）∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，
又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，
∴∠EAP=∠EAN，
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．
如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．
∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK= z，
∴z+ z=4，
∴z=4 ﹣4．
∴PB=4 ﹣4．
【解析】【分析】发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；
思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM= x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM= ，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；
探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK= z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．
25．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边△ABC，点D在BC上，以AD为边作等边△ADE，连接CE，求证：∠ACE=60°.
（1）请你解答小明的这道题；
（2）在这个问题中，当D在BC上运动时，点E是否在一条线段上运动？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如图2，正方形ABCD的边长为2，E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
（4）连接AG、CG，①求证：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接写出答案即可）。
【答案】（1）解：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD △ACE，
∴∠ACE=∠B=60°.
（2）解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，
∴E在以CB为一条边的120°角的另一边上，
当点D与B重合，E与C重合；
当点D与C重合时，CE的长最长=AC；
故点E在一条线段上运动。
（3）解：是。证明：过G作GH⊥CD于H，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，
∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，
∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，
∴△CDE △HGD，∴GH=CD=2.
又∵GH⊥CD，∴点G是在与CD的距离为2的直线上，过G作直线//CD，即点G在直线l上运动。
（4）解：①延长AD交直线l于P，由（1）可得△CDE △HGD，
∴CE=DH。
∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，
又∵∠PDH=90°，∴四边形DHGP是矩形，
∴PG=DH=CE，PD=GH=2，
在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，
∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。
②过A作关于l的对称点A′，连接A′C，交直线l于G′，则AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，
在Rt△A′CD中，CD=2，A′D=6，∴A′C = 。
【解析】【分析】（1）由△ABC和△ADE是等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，则∠BAD=∠CAE，由“SAD”证得△ABD △ACE，即可证得∠ACE=∠B=60°；（2）在D的运动过程中∠BCE=∠ACE=+∠ACB=120°不变，CE边所在射线不变，且CE的最长=AC；（3）与前面同理，构造全等三角形，过G作GH⊥CD于H，证明△CDE △HGD，即GH=CD=2且GH⊥CD，则G在一条直线与CD平行，且距离为2；（4）①在（1）的结论下，延长AP交直线l于点P，则可得PG=DH=CE，则AG2-CE2=AG2-PG2是定值；②作A点关于直线l的对称点A’，连接A’C即为最短路径，再由勾股定理解出长度。
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