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【决战期中·50道解答题专练】苏科版数学八年级上册期中试卷
1． 把下列各数填在相应的括号里．
，，，，，0，，1.1010010001
整数：{ }
负分数：{ }
无理数：{ }
2．如图，在中，是高，是角平分线．
（1）若，求：
①的度数；
②的度数．
（2）若，求的长．
3．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？
4．小明为了测量池塘两端C，D的距离，想了如下办法：在平地上寻找到两点A，B，测得．请你帮小明求出C，D两点的距离．
5．如图，直线
，点
、点
在直线
上，点
、点
在直线
上，连接
、
交于点
，其中
平分
，
，
，求
的度数.
6．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC．ED与直线BC交于点D，ED＝EC．
（1）如图1，AB＝1，点E是AB的中点，求BD的长；
（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；
（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形．
7．已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＋∠1=74°， 求：∠D的度数．
8．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m.
（1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少
（2）当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达处时，它的底端从B处滑动到 处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是4m吗
9．如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4．
（1）请计算阴影部分的面积．
（2）请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数．
10．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
11．已知，如图，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.
（1）证明：△ABD≌△CAE；
（2）若DE=3，CE=2，求线段BD的长.
12．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.试说明：∠A=∠D．
13．学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
14．已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
15．如图，在中，BE平分，交边AC于点E，D是边BC上的一点，，连结DE.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
16．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
17．小明有一个大正方体铁块，其体积为．
（1）求这个大正方体铁块的棱长；
（2）小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长．
18．如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
19．一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口半小时后相距多少千米
20．小红家有一块正方形的地，其面积为2600m2，它的边长有100m吗？有50m吗？
21．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
22．已知
（1）求2A+3B。
（2）若m的算术平方根是它本身，求2A+3B的值。
23．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至.使得.在边上截取，连结.
（1）求的度数.
（2）求证：.
24．如图，在中，，于点D，，．
（1）求的面积；
（2）求线段的长．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长.
26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D， E是AB上一点，满足BE＝CD，求∠ADE的度数．
27． 的最小值是？，此时a的取值是？
28．如图，点、、、在一条直线上，，，求证：
（1）≌；
（2）．
29．已知等腰三角形的两边长a、b满足|a﹣4|+（b﹣9）2=0，求这个等腰三角形的周长．
30．如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，求CD的长．
31．如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．
32．如图，△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，△ABD的周长比△BDC的周长大2，且BC的边长是方程的 解，求△ABC三边的长．
33．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
（1）与全等吗？请说明你的理由；
（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．
34．
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
①小正方形的对角线长为 ；
②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ．
（2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．
图3 图4
①大正方形的边长为 ▲ ；
②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）．
35．如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
36．如图1，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
图1 图2 图3
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度米；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？
37．甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，．
（1）请说明甲同学这样做的理由；
（2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点．
38．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：
，，，，
39．如图，AD∥BC，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD的延长线交于点F.则△BCE和△FDE全等吗 为什么
40． 如图，点D在△ABC的边AB上，CD⊥AC于点C，CE⊥AB于点E.完成下列问题：
（1）写出图中所有的直角三角形；
（2）写出图中所有的钝角三角形.
41．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
42．如图，在中，，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
43． 如图
（1）如图1，与中，，，、、三点在同一直线上，，，求的长．
（2）如图2，在中，，，过点作，且，求的面积．
44． 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1，求EF的长度.
45．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD=DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图3．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
46．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A 跑到点 B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B 前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B.
（1）若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢 请说明理由.
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长AD交 BC 于点 P，
在 中，AC+CP>AP，
…
（2）请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由.
47．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
48．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
49．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
50．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
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【决战期中·50道解答题专练】苏科版数学八年级上册期中试卷
1． 把下列各数填在相应的括号里．
，，，，，0，，1.1010010001
整数：{ }
负分数：{ }
无理数：{ }
【答案】解：整数：，，；
负分数：，，
无理数：，．
【解析】【分析】根据实数及其分类可知，整数包含负整数，0，正整数，绝对值的定义，即可把各数中的整数填入整数括号内；根据负数的认识及分数的定义即可即可把各数中的负分数填入负分数括号内；根据无理数的定义为无限不循环小数，开立方开不尽的数也为无理数，即可即可把各数中的无理数填入无理数括号内.
2．如图，在中，是高，是角平分线．
（1）若，求：
①的度数；
②的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，然后根据是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数．
（2）先列式，再代入数值进行化简．
3．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？
【答案】解：设 a＜b＜c，则a+b+c＞2c，即 2c＜12，所以 c＜6．
因为a，b，c 都是正整数，所以若c=3，则其他两边必然为a=1，b=2．
由于1+2=3，即 a+b=c，故线段a，b，c不可能组成三角形．
当然c 更不可能为1或2，因而有4≤c＜6．
当c=4时，a=2，b=3，不符合条件；
当c=5时，a=3，b=4，符合条件．
于是符合条件的三角形共有1个
【解析】【分析】题设中已知数较少，只知道周长为12，应抓住不等边三角形的边长都是整数这一条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．
4．小明为了测量池塘两端C，D的距离，想了如下办法：在平地上寻找到两点A，B，测得．请你帮小明求出C，D两点的距离．
【答案】解：连接，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】连接，结合已知条件和根据勾股定理求出的长，再根据角之间的数量关系即可求出，最后再次利用勾股定理即可求出C，D两点的距离．
5．如图，直线
，点
、点
在直线
上，点
、点
在直线
上，连接
、
交于点
，其中
平分
，
，
，求
的度数.
【答案】解： 直线 ， ，
，
，
平分 ，
，
直线 ，
，
，
，
直线 ，
∴∠BAC=∠ACD=60°。
【解析】【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出
， 根据角平分线的定义及平行线的性质得出
， 再根据三角形的外角定理，由
算出∠ACD的度数， 最后根据二直线平行，内错角相等得出答案。
6．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC．ED与直线BC交于点D，ED＝EC．
（1）如图1，AB＝1，点E是AB的中点，求BD的长；
（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；
（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形．
【答案】（1）∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴∠BCE＝ ∠ACB＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°，
∵∠ABC＝∠D+∠DEB＝60°，
∴∠DEB＝∠D＝30°，
∴BD＝BE＝ AB＝ ；
（2）DB＝AE成立；理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于F，则∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠CEF＝∠ECD，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∠DBE＝120°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF，∠EFC＝120°，
∴BE＝CF，∠DBE＝∠EFC，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠D＝∠CEF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝DB；
（3）如图3所示．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理，得到BE的长度以及∠ECB的度数，由三角形的外角定理即可得到∠DEB的度数，根据等角对等边即可得到BD的长度。
7．已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＋∠1=74°， 求：∠D的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，∠A+∠1=74°
∴∠A=∠1=74÷2=37°，
∵∠1=∠ECD，
∴∠1=∠ECD=37°
∵DE⊥AE
∴∠D+∠ECD=90°
∴∠D=90°-37°=53°
【解析】【分析】本题首先根据“两直线平行、同位角相等”得出∠A=∠1=37°，然后结合对顶角相等和三角形内角和定理，计算即可。
8．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上.当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m.
（1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少
（2）当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达处时，它的底端从B处滑动到 处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是4m吗
【答案】（1）解：已知云梯长AB=25m，底端离墙OB=7m，
根据勾股定理
因此，这架云梯的顶端到地面的距离是24m。
（2）解：顶端下滑4m后，A'O=24-4=20m，
根据勾股定理
底端滑动的距离为BB'=OB'-OB=15-7=8m≠4m。
因此，云梯底端在水平方向滑动的距离不是4m。
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AO长解答即可；
（2）根据下滑得到A'O的长，然后根据勾股定理求出OB'的长解答即可.
9．如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4．
（1）请计算阴影部分的面积．
（2）请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数．
【答案】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为10和4，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的宽为，
∴阴影部分的面积为
（2）解：阴影部分的周长为，
∵，，
∴，
∵，
∴以周长更接近6
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根的意义求出两个正方形的边长分别是，2，然后根据长方形的面积公式求解即可；
（2）先求出周长为，然后根据无理数的估算方法计算即可求解．
（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为10和4，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的宽为，
∴阴影部分的面积为；
（2）解：阴影部分的周长为，
∵，，
∴，
∵，
∴以周长更接近6．
10．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
【答案】（1）解：由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里.
（2）解：过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到15次信号．
【解析】【分析】（1）先求出∠ACB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，先利用等面积法求出CH的长，再利用勾股定理求出NH的长，最后求解即可.
（1）由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到15次信号．
11．已知，如图，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.
（1）证明：△ABD≌△CAE；
（2）若DE=3，CE=2，求线段BD的长.
【答案】（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）.
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=EC，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE，
∵AD=CE=2，
∴AE=5，
∴BD=AE=5.
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAD=∠ACE，再利用“AAS”证出△ABD≌△CAE即可；
（2）利用全等三角形的性质可得BD=AE，AD=EC，再利用线段的和差及等量代换求出BD的长即可.
12．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.试说明：∠A=∠D．
【答案】证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF．
∴∠A=∠D．
【解析】【分析】由线段的和差得到BC=EF，再根据全等三角形的判定方法SSS，得到△ABC≌△DEF，得到对应角相等.
13．学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
【答案】解：连接AC．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625．
在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7，
由勾股定理得：AD2＝AC2-CD2＝625-72＝576，AD＝24．
所以四边形的面积为： AB BC+CD AD＝234（m2）.234×1 000＝234 000（元）．
答：学校征收这块地需要234 000元．
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积，最后乘以土地价格即可.
14．已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
【答案】解：（1）若该等腰三角形的腰长为 ，则另外两边的长为 ， ，
根据三角形三边关系∵2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，
即另外两边的长为 ， ，能构成三角形；
综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为 ， ．
故答案为： ， ．
【解析】【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．
15．如图，在中，BE平分，交边AC于点E，D是边BC上的一点，，连结DE.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
又AB=DB，BE=BE
∴△ABE≌△DBE(SAS)；
（2）解：∵△ABE≌△DBE，
∴∠BDE=∠A=100°，
又∵∠BDE=∠C+∠CED， ∠C=50°，
∴100°=50°+∠CED，
∴∠CED=50°，
∴∠AED=180°-∠CED=130°，
∴∠AEB+∠DEB=130°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB=∠DEB，
∴∠AEB+∠AEB=130°
∴∠AEB=65°
【解析】【分析】（1）运用SAS即可证明结论.注意在证明三角形全等时，公共边这一隐含条件；
（2）根据三角形全等得出∠BDE=∠A=100°，∠AEB=∠DEB，结合三角形外角的性质求出∠CED可推导出∠AEB.
16．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的判定可得出平分，再根据线段垂直平分线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余，即可得出 ；
（2）由（1）的结论知：=30°，进而得出BE=2CE，再根据勾股定理，即可得出CE的长。
（1）解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
17．小明有一个大正方体铁块，其体积为．
（1）求这个大正方体铁块的棱长；
（2）小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长．
【答案】（1）解：根据题意，铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为，
∴另一个小立方体铁块的棱长为．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
【解析】【分析】（1）根据“正方体的体积等于棱长的立方”可得正方体的棱长等于体积的立方根，据此求解即可；
（2）根据大正方体的体积等于两个小正方体的体积之和求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可．
（1）解：根据题意，铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为，
∴另一个小立方体铁块的棱长为．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
18．如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：，
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能，理由如下：
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，
解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
【解析】【解答】解：（1）∵，，且
∴，，
∴，；
【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都为零，可求出a、b的值；
（2）①首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据路程等于速度乘以时间，用含t的式子表示出OC、OA、OB，分OB=AB、AB=AO、OB=OA三种情况，分别建立方程，求解即可；
②首先判断出只能∠OBA=90°，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案.
（1）∵，，且
∴，，
∴，；
（2）①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能．
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
19．一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口半小时后相距多少千米
【答案】解：如图，
由已知得，OB=16×0.5=8海里，OA=12×0.5=6海里，
在△OAB中
∵∠AOB=90°，
由勾股定理得OB2+OA2=AB2，
即82+62=AB2，
AB= =10海里.
【解析】【分析】利用速度×时间=路程，分别求出OB，OA的长；再利用勾股定理求出AB的长.
20．小红家有一块正方形的地，其面积为2600m2，它的边长有100m吗？有50m吗？
【答案】解：设正方形 的地的边长为x m，
∵502<2 600< 1002，
∴50∴这块地的边长不足100 m，大于50 m．
【解析】【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行比较即可。
21．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，S△ABC=S△ABD+S△DBC，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE+DF=8，
∴DE=DF=4．
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形面积公式得出冠以DE的方程，求出即可。
22．已知
（1）求2A+3B。
（2）若m的算术平方根是它本身，求2A+3B的值。
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：∵m的算术平方根是它本身，
∴
∵，
∴原式值为0或6
【解析】【分析】（1）直接把代入计算即可；
（2）根据算术平方根的性质得到：结合（1）代入计算即可.
23．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至.使得.在边上截取，连结.
（1）求的度数.
（2）求证：.
【答案】（1）解：.
（2）证明：
在与中，
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠ADC的度数，进而进行角的运算即可求解；
（2）先根据题意得到∠EAF=∠BAC，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到.
24．如图，在中，，于点D，，．
（1）求的面积；
（2）求线段的长．
【答案】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∴的面积为24
（2）解：∵在中，，于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为
【解析】【分析】(1)先在中利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解；
(2)利用，再代入求值．
（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∴的面积为24．
（2）解：∵在中，，于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长.
【答案】解：如图，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠BDE=45°，∠ADF=∠FDC=45°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(ASA)，
∴DF=DE=2.
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 ∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2， 根据角平分线的定义得出 ∠ADE=∠ADF=45°，从而利用ASA判断出 △ADE≌△ADF ，根据全等三角形的对应边相等得出DF=DE.
26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D， E是AB上一点，满足BE＝CD，求∠ADE的度数．
【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=80°
∴∠B=∠C=50°
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ADB=90°，BD=CD
∵BE=CD
∴BE=BD
∴∠BDE=∠BED=65°
∴∠ADE=∠ADB —∠BDE=90°— 65°= 25°
【解析】【分析】根据AB=AC，得到△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，得到∠ADB=90°，∠B=∠C=50°，BD=DC=BE，所以△BDE是等腰三角形，∠BDE=∠BED=65°，∠ADE=∠ADB —∠BDE得到答案.
27． 的最小值是？，此时a的取值是？
【答案】解：a+1的算数平方根是非负的，所以当a+1的算术平方根加2时最小值为2，此时a+1=0，即a=-1.
【解析】【分析】由算术平方根有意义的条件a+10可得当a+1=0时，代数式有最小值，且最小值为0+1=1；解方程a+1=0即可求得a的值。
28．如图，点、、、在一条直线上，，，求证：
（1）≌；
（2）．
【答案】（1）证明：
，
，
，
在和中，，
所以≌；
（2）解：由可知≌，
所以，
所以．
【解析】【分析】（1）先利用 等量代换得到，再利用 与 即可证明 ≌；
（2）由全等三角形的对应角相等可知，当≌时，再根据平行线的判定即可证明 ．
29．已知等腰三角形的两边长a、b满足|a﹣4|+（b﹣9）2=0，求这个等腰三角形的周长．
【答案】解：根据题意得，a﹣4=0，b﹣9=0，
解得a=4，b=9，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4＜9，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，周长=9+9+4=22，
所以这个等腰三角形的周长为22.
【解析】【分析】先利用绝对值的非负性求得a，b的值，再由等腰三角形的两边相等，对三角形的边长进行分类讨论，特别需要验证求得的三角形三边是否满足三边关系，将不满足的舍去.
30．如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，求CD的长．
【答案】解：∵ ∠B=60°，
∴∠C=90°- 60°=30°．
设AB=x，则BC=2x，由勾股定理得AB2+AC2= BC2．
∵AC= ，
解得AB=1，
∴BC=2AB=2．
由旋转的性质得AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC- BD=2-1=1．
【解析】【分析】先根据已知条件求出∠C的度数，进而设AB=x，则BC=2x，根据勾股定理即可求出AB，从而得到BC，再根据旋转的性质得到AB=AD，从而根据等边三角形的判定与性质即可得到BD=AB=1，再结合题意即可求解。
31．如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵是边上的高，平分
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC的度数，再利用角平分线定义可得∠BAE的度数，最后利用角的运算求出即可．
32．如图，△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，△ABD的周长比△BDC的周长大2，且BC的边长是方程的 解，求△ABC三边的长．
【答案】解：解方程得k=4.5
【解析】【分析】先解方程求得K值，则BC的长可知，然后根据△ABD和△BDC的周长之差为2列式，即可求出AB的长，因为AB=AC，则AC的长可求。
33．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
（1）与全等吗？请说明你的理由；
（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：，
理由如下：
∵是的中线，∴，
∵，∴，
在和中，
，
∴
（2）解：6
【解析】【解答】解：（2）∵，DF=2，
∴△DEC的面积=的面积 =3，DE=DF=2，
∵AD=6，DF=2，
∴AF=AD+DF=8，
∴AE=2DE=4，
∴△AEC的面积=2×△ECD的面积=2×3=6.
故答案为：6.
【分析】（1）由是的中线，可得BD=CD，由平行线的性质可得， 根据ASA证明；
（2）由全等三角形的性质可得△DEC的面积=的面积 =3，DE=DF=2，从而求出AE=2DE=4，继而得出△AEC的面积=2×△ECD的面积，据此计算即可.
34．
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
①小正方形的对角线长为 ；
②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ．
（2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．
图3 图4
①大正方形的边长为 ▲ ；
②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）．
【答案】（1）；；
（2）解：①
②以表示-1的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点K，如图：
点K即为所求.
【解析】【解答】 解：（1）①∵大正方形的面积为2
∴小正方形的对角线长为；
故答案为：；
②根据题意，A表示的数为，B表示的数为；
故答案为：；；
（2）①根据已知得，长方形的面积为5×1=5，
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为；
故答案为：；
【分析】（1）①由大正方形的面积为2，根据正方形的面积公式及算术平方根定义可得正方形的边长等于面积的算术平方根，即可求解；②结合数轴即可求解；
（2）①由大正方形的面积为5， 根据正方形的面积公式及算术平方根定义可得正方形的边长等于面积的算术平方根， 即可求解；
②以表示-1的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点K即可.
35．如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
36．如图1，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
图1 图2 图3
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度米；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？
【答案】（1）解：如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，故旗杆的高度为7.5米；
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得：，解得：，
（米），
米．故绳结离地面1.5米高．
【解析】【分析】(1)设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+1 )米，在在中，根据勾股定理即可列出方程，解方程即可求解.
(2)由题可知，BD=BC=7.5米，DE=4.5米，在Rt△BDE中，根据勾股定理求出BE=6米，最后根据DF=EC=BC-BE，即可求解.
37．甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，．
（1）请说明甲同学这样做的理由；
（2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点．
【答案】（1）解：∵，
∴根据勾股定理得：，
∵OB=OC，
∴，
∴点表示数；
（2）解：如图，在中，，
∴根据勾股定理得：，
∴点F表示数．
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出OB=OC的值，从而得证结论；
（2）在数轴上构造在，使，由勾股定理求出OF=OE的值，即可得到答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示数．
（2）解：如图，在中，，
则，即点F表示．
38．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：
，，，，
【答案】解：∵
∴
又∵
∴
∴．
【解析】【分析】根据实数的大小比较法则求解。常见的方法：绝对值法，估算法，平方法。
39．如图，AD∥BC，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD的延长线交于点F.则△BCE和△FDE全等吗 为什么
【答案】解：△BCE≌△FDE.
理由：∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠FDE，∠CBE=∠DFE，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
故答案为△BCE≌△FDE.
【解析】【分析】根据AD∥BC，可得∠BCE=∠FDE，∠CBE=∠DFE，点E是CD的中点，可得CE=DE，即可判断△BCE和△FDE全等.
40． 如图，点D在△ABC的边AB上，CD⊥AC于点C，CE⊥AB于点E.完成下列问题：
（1）写出图中所有的直角三角形；
（2）写出图中所有的钝角三角形.
【答案】（1）解：∵ CD⊥AC ， CE⊥AB ，
∴ ∠ACD=90°，∠AEC=∠BEC=90°，
∴直角三角形有：△ACD，△ACE，△BCE，△CDE
（2）解：由（1）知，∠ACD=90°，∠BEC=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD>90°，
∠BDC=∠BEC+∠DCE=90°+∠DCE>90°，
∴ 钝角三角形有△CBD，△ABC
【解析】【分析】⑴根据三角形中有无直角判断直角三角形个数.
⑵根据三角形中有无钝角判断钝角三角形个数.
41．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得：3x 2x=300，6x2=300，x2=50，∵x＞0，∴x= = ，∴长方形纸片的长为 cm，∵50＞49，∴ ＞7，∴ ＞21，即长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
【解析】【分析】由题意可设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，根据长方形的面积=长×宽=300可列关于x的方程，解方程可求得x的值；再根据正方形的面积=边长2可求出面积为400的正方形的边长，比较x和正方形的边长的大小即可判断求解.
42．如图，在中，，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）解：∵的中点为，∴，即是的中线，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即的度数为．
【解析】【分析】（1）先由得到，再利用三角形内角和定理求解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，再利用三角形内角和定理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）解：∵的中点为，
∴，即是的中线，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即的度数为．
43． 如图
（1）如图1，与中，，，、、三点在同一直线上，，，求的长．
（2）如图2，在中，，，过点作，且，求的面积．
【答案】（1）解：，，
在和中，，（），
，，
（2）解：过作交延长线于，如图：
，，，
，
在和中，，≌（），
，
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定要求，AAS可以证明△ABC≌△CED，由此得出AB=CE=3，BE=4=ED，即可得出答案。
（2）根据全等三角形的判定要求，AAS可以证明△ABC≌△CED，可以得出BC=DE=4，利用三角形面积公式即可求出答案。
44． 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，CE与AD交于点F．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠BAC＝20°，求∠DCF的度数；
（3）在（2）的条件下，若DF＝1，求EF的长度.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ACB＝（180°-∠BAC）=80°.
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，AE＝AB＝AC，
∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝60°+20°＝80°，
∴∠ACE＝（180°-∠EAC）＝50°.
∴∠DCF＝∠ACB﹣∠ACE＝80°﹣50°＝30°.
（3）解：如图，在EF上取一点G，使得FG＝AF.
∵∠DCF＝30°，AD⊥BC，
∴∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AF＝AG，∠GAF＝60°，
∴∠EAG＝∠CAF＝10°，
∵AE＝AC，
∴△AEG≌△ACF（SAS），
∴EG＝CF，
∵∠DCF＝30°，∠FDC＝90°，
∴CF＝2DF＝2，
∴EF﹣AF＝EF﹣GF＝EG＝CF＝5．
【解析】【分析】 (1) 根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明.
（2）先求出∠ACB的度数，再根据△ABE是等边三角形求得∠ACE的度数，最后根据角的和差即可得 ∠DCF的度数 .
（3）在EF上取一点G，使得FG＝AF，先证明△AGF是等边三角形，然后证明△AEG≌△ACF，最后根据30°角的性质求得CF的长，最后根据边的和差求得EF的长度.
45．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD=DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图3．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
【答案】解：当点F在边AC的延长线上时，延长EF、AD相交于点G，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠G，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠G，
∴FA=FG，
在△ABD和△GED中，，
∴△ABD≌△GED(AAS)，
∴AB=EG，
∴AF+EF=FG+EF=EG=AB；
当点F在边AC上，延长FE、AD相交于点H，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠H，∠B=∠DEH，
∴∠CAD=∠H，
∴FA=FH，
在△ABD和△HED中，，
∴△ABD≌△HED(AAS)，
∴AB=EH，
∴AF-EF=FH-EF=EH=AB；
当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图：
延长AD交EF于点I，
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠JAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠JAD=∠AIF，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠AIF，
∴FA=FI，
在△ABD和△IED中，，
∴△ABD≌△IED(SAS)，
∴AB=EI，
∴EF- AF= EF-IF=EI=AB．
【解析】【分析】利用三角形的全等判定方法和性质求解即可。
46．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A 跑到点 B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B 前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B.
（1）若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢 请说明理由.
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长AD交 BC 于点 P，
在 中，AC+CP>AP，
…
（2）请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由.
【答案】（1）解：补全过程如下：
在△BPD中，PB+DP>BD，
∴AC+CP+PB+DP>AD+DP+BD，
∴AC+BC>AD+BD，
∴乌龟的路线更短
（2）解：选路线②，理由如下：
如解图，延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，
在△AEM中，AM+ME>AE，
在△BFN中，BN+FN>BF，
在△DMN中，DM+DN>MN，
∴DM+DN>ME+EF+FN，
∴AM+ME+BN+FN+DM+DN>AE+BF+ME+EF+FN，
∴AM+DM+BN+DN>AE+BF+EF，
∴AD+DB>AE+BF+EF.
∴路线②的路程比路线③短，
∴乌龟可选路线②
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系可得PB+DP>BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，根据三角形三边关系，结合边之间的关系即可求出答案.
47．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
【答案】解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝ S△ABC，S△BDE＝ S△ABD，
∴S△BDE＝ × S△ABC＝ S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE＝ ×40＝10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
∴ ×5 x＝10，
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4
【解析】【分析】由D为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，再由等底同高的三角形面积相等，得到△BDE的面积=△ABC的面积÷4；求出△BDE中BD边上的高.
48．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
【答案】解：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， ，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2
【解析】【分析】由题意可作辅助线，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等边三角形和等腰三角形的性质易证得△CDE≌△BDM和△DMN≌△DEN，于是可得MN=NE=CE+CN=BM+CN，则可将三角形ANM的周长转化为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC求解。
49．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
【答案】解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM.(任写其中两对即可)
选择△AEM≌△ACN，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD.
∴∠EAM＝∠CAN.
在△AEM和△ACN中，
∴△AEM≌△ACN(ASA)．
选择△ABN≌△ADM，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
选择△BMF≌△DNF，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
∴AN＝AM.∴BM＝DN.又∵∠B＝∠D，∠BFM＝∠DFN，∴△BMF≌△DNF(AAS)．
(任选一对进行说明即可)
【解析】【分析】 △AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM；△AEM≌△ACN 的理由如下：根据全等三角形的性质得 AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD ，由全等三角形的判定ASA即可得△AEM≌△ACN.
50．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：解：或，理由如下；由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）①按照要求补图即可；
②如图2，延长到，使得，连接，作，交于，则，证明，是等边三角形，则，由，可求，设，，则，证明，则，即，可求，，则，进而可证，解答即可；
（2）由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；当在的右侧时，如图3，连接，证明，则，，由，可知在上，进而可得；当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，证明，则，，如图4，作于，则，设，则，，，可求，，由勾股定理得，，，进而可得，解答即可．
（1）①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：或，理由如下；
由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
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