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【决战期中·50道解答题专练】苏科版数学九年级上册期中试卷
1．解方程
（1）
（2）
2．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
3．某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在
（1）确定值；
（2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？
4．某公司招聘一名部门经理，对A、B、C三位候选人进行了三项测试，成绩如下（单位：分）：
候选人 语言表达 微机操作 商品知识
A 60 80 70
B 50 70 80
C 60 80 65
如果语言表达、微机操作和商品知识的成绩按3∶3∶4计算，那么谁将会被录取？
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径.
6．为建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元．现假设每年投入资金的增长率相同，求该市投入资金的年平均增长率．
7．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
8．已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF ＝ cm， GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
10．近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 11 15 23 28 18 5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是 ，众数是 ，该中位数的意义是
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？ (结果保留整数)
（3）若该校某天有1 500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次及以上的学生有多少人？
11．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程.2016年投资2 000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2 420万元．求这两年投资的年平均增长率．
12．某中学为选拔一名选手参加我市“学宪法 讲宪法”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下图分别是是小明、小华在选拔赛中的得分表和各项权数分布表：
得分表
项目选手 服装 普通话 主题 演讲技巧
小明 85分 70分 80分 85分
小华 90分 75分 75分 80分
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 ，中位数是 ；
（2）评分时按统计表中各项权数考评．
①求出演讲技巧项目对应扇形的圆心角的大小．
②如此考评，小明和小华谁更优秀，派出哪位同学代表学校参加比赛呢？
13．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？
14．如图所示，已知AB是的直径，是上一点，连结于点.
（1）求证：.
（2）若，求的直径.
15．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．
16． 山西隰县玉露香梨多汁、酥脆、含糖高，享誉全国.某水果店销售玉露香梨，进价为2元/斤，按4.5元/斤出售，每天可卖出200斤.经市场调查发现，这种玉露香梨每斤的售价每降低0.1元，每天可多卖出20斤.若该水果店想要每天销售玉露香梨盈利600元，且尽可能让利于顾客，售价应定为多少？
17．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；
【整理与分析】
运动员 平均数 众数 中位数
甲 1.69 a 1.68
乙 1.69 1.69 b
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）这两人中， 的成绩更为稳定.
（3）【判断与决策】
经预测，跳高1.69 m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由.
18．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？
19．体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．我市教体局为了解辖区内两所学校九年级学生的体质健康情况，从两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：A校成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空： ° ．
（2）补齐B学校成绩条形统计图；
（3）①学校成绩的中位数为 ；校成绩的中位数为
②分别计算、两所学校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两个学校九年级学生体质测试成绩情况．
20．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
21．某小区规划在一块长32米，宽20米的矩形场地修建三条同样宽的小路，使其中两条平行，另一条与之垂直，其余部分种草，草坪的面积为570米，小路的宽度应是多少？
22．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若的长为，求的值；
（2）当为何值时，是菱形？
23．已知2是方程 的一个根，求常数 的值及该方程的另一根．
24．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
25．如图，四边形内接于，为的直径，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
26．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km.该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “390km”对应的圆心角度数为
（3）【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m= ， n=
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
27．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
28．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人.求参观人数的月平均增长率.
29． 解方程：
（1）3x2-4x-1=0(公式法)
（2）（x-1）2=2x（1-x）
30．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花埔内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，如图所示四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为多少米？
31．新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分）
三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表
组别 A B C
甲 84 80
乙 83 85
B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图
根据以上信息，回答下列问题．
（1）____，_____；
（2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？
（3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好．
32．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为 的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
33．如图所示，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7m.
（1）求所在圆的半径.
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆大型货运卡车，车高6.5m，宽2.3m，这辆货运卡车能否通过该隧道
34．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量x的取值范围；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
35．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？
36．已知方程x2﹣6x+m﹣2=0的一个根为2，求m的值及另一个根．
37．如图，
四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径．若D为的中点，AB=4．
（1）求∠DCB的度数．
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
39．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
40． 河南樱桃，半壁江山在新安新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”村民以原价元千克对外销售为了减少库存，决定降价，经过两次降价后，售价为元千克求平均每次降价的百分率．
41．某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件.
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件儿童服装应降价多少元
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由。
42．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．
43．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
44．如图，的半径为1，直径的夹角，点是弧上一点，连接分别交于点．
（1）若，求证：．
（2）当点在弧上运动时，
①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：．
45．设a>b>c>0，已知关于a的方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0.
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：b+c
（3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值.
46．如图，⊙O的直径AB=2，AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D，设AD=x，BC=y。
（1）求证：AM∥BN。
（2）求y关于x的函数关系式。
（3）若x、y是关于t的方程2t -5t+m=0的两根，且xy= ，求x、y的值。
47．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
48．如图， 已知 是 的直径， 是 所对的圆周角， ．
（1） 求 的度数；
（2） 过点 作 ， 垂足为 的延长线交 于点 ． 若 ， 求 的长．
49．已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
50．如图，已知扇形 的圆心角为120 ，半径为6cm.
（1）请用尺规作出扇形的对称轴；(不写做法，保留作图痕迹)
（2）求扇形 的面积；
（3）若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝)，求圆锥的底面圆面积.
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【决战期中·50道解答题专练】苏科版数学九年级上册期中试卷
1．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
2．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴。
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=45°， 进而可得 △ABD为等腰直角三角形， 根据勾股定理，即可求解．
3．某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在
（1）确定值；
（2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？
【答案】（1）根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据（1）可知：，
当y=1920时，得：
，
解得：．
答：商品价格每件应定为24元．
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）写出利润与售价x的函数关系式，当利润是1920元时，就得到关于x的方程，从而求解．
（1）解：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为，
∴根据题意得：
，
解得；
（2）解：根据解析（1）可知：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为：，
∵每月获利为1920元，
∴，
解得：．
答：为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元．
4．某公司招聘一名部门经理，对A、B、C三位候选人进行了三项测试，成绩如下（单位：分）：
候选人 语言表达 微机操作 商品知识
A 60 80 70
B 50 70 80
C 60 80 65
如果语言表达、微机操作和商品知识的成绩按3∶3∶4计算，那么谁将会被录取？
【答案】解：A的成绩＝ ＝70（分），
B的成绩＝ ＝68（分），
C的成绩＝ ＝68（分），
∵A的成绩最高，
∴A将会被录取.
【解析】【分析】根据加权平均数的计算方法分别求出A、B、C的成绩，然后进行比较即可解答.
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径.
【答案】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=8.
【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论.
6．为建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元．现假设每年投入资金的增长率相同，求该市投入资金的年平均增长率．
【答案】解：设该市投入资金的年平均增长率为x，
根据题意，得1000（1+x）2=1440，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍），
0.2×100%= 20%．（5分）
答：该市投人资金的年平均增长率为20%．
【解析】【分析】 设该市投入资金的年平均增长率为x，根据题意得出2021年投入资金1000（1+x）万元， 2022年投入资金1000（1+x）2万元， 列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
7．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
8．已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）根据可得关于m的不等式，解不等式求得的取值范围，再在范围之内确定的一个整数值，代入求得方程，解方程即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可得α+β、αβ的值，将所求代数式变形得=（α+β）2-αβ并整体代换即可求解．
（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）．
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF ＝ cm， GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
【答案】（1）（30-2x）；（20-x）
（2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30
由题意可得（30-2x）（20-x）=300
解得：x=5或x=30（舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长5cm
【解析】【解答】（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．
故答案为（30-2x），（20-x）．
【分析】（1）直接根据图形表示EF与GH即可；
（2）根据（1）中EF与GH，利用M的面积列方程（30-2x）（20-x）=300即可解题．
（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．
故答案为（30-2x），（20-x）．
（2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30
由题意可得（30-2x）（20-x）=300
解得：x=5或x=30（舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长5cm．
10．近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 11 15 23 28 18 5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是 ，众数是 ，该中位数的意义是
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？ (结果保留整数)
（3）若该校某天有1 500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次及以上的学生有多少人？
【答案】（1）3；3；表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次及以上
（2）解：= (0×11+ 1×15+2×23+3×28+4×18+55) ÷100≈2(次)，
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约2次；
（3）解：1500×=765(人)．
∴估计这天使用共享单车次数在3次及以上的学生有765人.
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为：11+15+23+28+18+5=100（人）
∴中位数应该是将用车次数从少到多排列后为第50、51个数据的平均数，即中位数为（3+3）÷2=3次，
被调查的学生中，某天用车次数是3次的人数最多，有28人，所以这天部分出行学生使用共享单车次数的众数为3次，
其中中位数表示这部分出行学生，这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上(或3次)，
故答案为：3；3；表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上(或3次)；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，据此作答即可；
（2）根据加权平均数的公式列式计算即可；
（3）用 该校某天出行学生的总人数乘以样本中使用共享单车次数在3 次以上(含3次)的学生所占比例，即可估计这天使用共享单车次数在3次及以上的学生人数 .
11．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程.2016年投资2 000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2 420万元．求这两年投资的年平均增长率．
【答案】解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：这两年投资的平均年增长率为10%．
【解析】【分析】设平均每年投资增长的百分率是x．根据2016年投资2000万元，得出2017年投资2000（1+x）万元，2018年投资2000（1+x）2万元，而2018年投资2420万元．据此列方程求解．
12．某中学为选拔一名选手参加我市“学宪法 讲宪法”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下图分别是是小明、小华在选拔赛中的得分表和各项权数分布表：
得分表
项目选手 服装 普通话 主题 演讲技巧
小明 85分 70分 80分 85分
小华 90分 75分 75分 80分
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 ，中位数是 ；
（2）评分时按统计表中各项权数考评．
①求出演讲技巧项目对应扇形的圆心角的大小．
②如此考评，小明和小华谁更优秀，派出哪位同学代表学校参加比赛呢？
【答案】（1）85分，82.5分；
解：（2）①1-5%-15%-40%=40%
36040%=144°
答：演讲技巧项目对应扇形的圆心角为144°；
②小明分数为：
小华分数为：
80.75>77.75
∴小明更优秀，应派出小明代表学校参加比赛
【解析】【解答】解：（1）小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85分，中位数是=82.5（分）；
【分析】本题考查众数、中位数、加权平均数.
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，据此可求出小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85分，根据中位数的定义可得：中位数是，再进行计算可求出中位数；
（2）①根据扇形统计图中的数据，先求出演讲技巧项目的百分比，再利用百分比乘以360°可得：36040%，再进行计算可求出圆心角大小；
②根据加权平均数的定义可得：小明分数为：，小华分数为：，再进行计算可求出小明、小华的成绩，再进行比较可求出答案.
13．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？
【答案】解：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，
∴AD= AB=4cm．
设OA=rcm，则OD=（r-2）cm
在Rt△OAD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，
解得r=5cm；
即铅球的半径OA的长为5cm
【解析】【分析】先根据垂径定理求出AD的长，设OA=rcm，则OD=（r-2）cm，再根据勾股定理求出r的值即可．
14．如图所示，已知AB是的直径，是上一点，连结于点.
（1）求证：.
（2）若，求的直径.
【答案】（1）证明：是的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OD∥AC；
（2）解：设的半径为，则OE=r-3，
∵OD⊥BC，
∴，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
解得，
即的直径长为.
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，由垂直定义得∠OEB=∠C=90°，从而根据同位角相等，两直线平行得OD∥AC；
（2）设圆O的半径为r，则OE=r-3，由垂径定理得BE=BC=4，在Rt△BEO中，利用勾股定理建立方程可求出r的值，从而即可得出圆的半径.
15．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．
【答案】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得：
，
即，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”．
【解析】【分析】根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，舍掉不符合题意的数即可求出答案。
16． 山西隰县玉露香梨多汁、酥脆、含糖高，享誉全国.某水果店销售玉露香梨，进价为2元/斤，按4.5元/斤出售，每天可卖出200斤.经市场调查发现，这种玉露香梨每斤的售价每降低0.1元，每天可多卖出20斤.若该水果店想要每天销售玉露香梨盈利600元，且尽可能让利于顾客，售价应定为多少？
【答案】解：设每斤玉露香梨降价x元，
根据题意列方程为
解，得，
因为要让利于顾客，所以x取1
（元）.
答：售价应定为3.5元/斤.
【解析】【分析】设每斤玉露香梨降价x元，根据“该水果店想要每天销售玉露香梨盈利600元”列出方程，再求解即可.
17．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75；
【整理与分析】
运动员 平均数 众数 中位数
甲 1.69 a 1.68
乙 1.69 1.69 b
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）这两人中， 的成绩更为稳定.
（3）【判断与决策】
经预测，跳高1.69 m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由.
【答案】（1）1.68；1.70
（2）甲
（3）解：应该选择乙，理由：
因为1.69 m就很可能获得冠军，且成绩在1.69 m及1.69 m以上的次数乙多，所以选择乙.（合理即可）
【解析】【解答】解：(1)∵甲的成绩中1.68出现了3次，最多，
∴a=1.68
乙的中位数为，
故答案为：1.68，1.70.
(2)分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：
，
，
∵
∴甲的成绩更为稳定；
故答案为：甲.
【分析】(1)利用众数及中位数的定义分别求得a、b的值即可；
(2)根据方差的计算公式分别计算方差，再根据方差的意义判断即可；
(3)看哪位运动员的成绩在1.69m以上的多即可.
18．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？
【答案】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的宽为6米；
【解析】【分析】设道路的宽为x米，根据停车场的总长度×停车场的宽度=640，即可得出方程，解方程并取符合题意的解即可。
19．体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．我市教体局为了解辖区内两所学校九年级学生的体质健康情况，从两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：A校成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空： ° ．
（2）补齐B学校成绩条形统计图；
（3）①学校成绩的中位数为 ；校成绩的中位数为
②分别计算、两所学校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两个学校九年级学生体质测试成绩情况．
【答案】（1）126；12
（2）解：B校7分的人数：
补齐校成绩条形统计图如下：
（3）9；8
【解析】【解答】解：（1）
B校人数为：
∵AB两校抽取学生人数相同，
∴
故答案为：126；12.
（3）①A校成绩从大到小排序，第10、11个数为9，9，
∴A校的中位数为：
B校成绩从大到小排序，第10、11个数为8，8，
∴B校的中位数为：
故答案为：9；8.
②校成绩的平均数为：（分），
校成绩的平均数为：（分）
∵，
∴从中位数、平均数角度看，校成绩较好．
【分析】（1）用360°分别减去其他三部分的度数即可得到的值；根据B校9分的人数和它所占的比例即可求出B校的人数，最后根据两校抽取的人数相等即可得到m的值；
（2）先求出B校7分的人数，进而即可补全条形统计图；
（3）①根据中位数的定义即可求解；
②根据平均数的计算法则计算即可.
20．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
【解析】【分析】（1）一元二次方程总有两个不相等的实数根，对应，只要证明根的判别式恒大于0即可，而该式化简为4>0，故得证；
（2）解这个一元二次方程得，，根据“友好点”定义得；
（3）将直线变形为，可知它过定点，故方程的两根为，由韦达定理可知，两式相除得4b+3c=0。
21．某小区规划在一块长32米，宽20米的矩形场地修建三条同样宽的小路，使其中两条平行，另一条与之垂直，其余部分种草，草坪的面积为570米，小路的宽度应是多少？
【答案】解：设小路的宽是x米，
或（舍去）．
故小路的宽为1米．
【解析】【分析】根据题意先求出，再解方程即可。
22．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若的长为，求的值；
（2）当为何值时，是菱形？
【答案】（1）解：当时，
将代入方程，
得：，
解得：；
（2）解：∵是菱形，
∴，
∴关于方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故当时，是菱形．
【解析】【分析】（1）将代入方程，得，再求出m的值即可；
（2）利用菱形的性质可得，证出关于方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，再求出m的值即可.
（1）解：当时，
将代入方程得：
，
解得：；
（2）∵是菱形，
∴，
∴关于方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故当时，是菱形．
23．已知2是方程 的一个根，求常数 的值及该方程的另一根．
【答案】解： 是方程 的一个根，
，
解得 ，
∴方程为 ． ，
∴ ， ，
该方程的另一个根是－2.
【解析】【分析】将x=2代入方程求出c的值，再利用直接开平方法求出方程的根即可。
24．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．
∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【解析】【分析】先求出 ∠OAC=90° ，再求出 ∠OAB=∠B=25° ，最后计算求解即可。
25．如图，四边形内接于，为的直径，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴
∵为的直径
∴
∴
∵
∴；
（2）解：∵，．
∴
∵
∴
∵为的直径
∴
∴
∴．
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）∵四边形内接于，
∴
∵为的直径
∴
∴
∵
∴；
（2）∵，．
∴
∵
∴
∵为的直径
∴
∴
∴．
26．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km.该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “390km”对应的圆心角度数为
（3）【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m= ， n=
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
【答案】（1）解：20；
故续航里程400km的车辆数为20-3-4-6-2=5辆，
补全条件统计图如下所示：
（2）72°
（3）430；450
（4）解： 小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【解析】【解答】解：（1）通过A型电动车的统计情况可知续航里程410km的车辆有6辆占总数的30%，
故总数6÷30%=20辆，
（2）390km对应的数量为4，占比4÷20=20%，
对应的圆心角为20%×360°=72°；
故答案为：72°；
（3）由统计图知B型车的中位数m=430，C型车的众数n=450；
故答案为：430；450；
【分析】(1)结合条形统计图与扇形统计图，续航里程410km的车辆有6辆占总数的30%，相除即可得结果；
(2)先算390km占总体的百分比，再20%×360°=72°即为圆心角的度数；
(3)直接观察处在中间的数据即可得到B的中位数与C的众数；
(4)从平均数、中位数、众数的角度分别分析，得B型号电动车更加合适.
27．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】解：设衬衫的单价降了x元．
根据题意，得（204）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
【解析】【分析】 设衬衫的单价降了x元，根据每天盈利1250元，可得方程（204）（40﹣x）＝1250， 解方程即可。
28．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人.求参观人数的月平均增长率.
【答案】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
根据题意，得：，
解得：或（舍去）
，
答：这两个月参观人数的月平均增长率为.
【解析】【分析】设这两个月参观人数的月平均增长率为x，由题意可得4月份的参观人数为10(1+x)万人，5月份的参观人数为10(1+x)2万人，然后结合5月份的参观人数增加到12.1万人列出方程，求解即可.
29． 解方程：
（1）3x2-4x-1=0(公式法)
（2）（x-1）2=2x（1-x）
【答案】（1）解：，，，
，
，
，.
（2）解：
，
【解析】【分析】(1)根据方程得到a、b、c的值，再计算出根的判别式的值，然后通过求根公式求得方程的解.
(2)利用提取公因式法对方程进行因式分解，再求得方程的解.
30．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花埔内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，如图所示四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为多少米？
【答案】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
依题意得：(30+4x+24+4x)x=80
整理得：4x2+27x-40=0，
解得x1=-8（舍去），x2=．
答：小路的宽度为米．
【解析】【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，根据小路的横向总长度(30+4x)米和纵向总长度(24+4x)米，建立方程，解方程即可求出答案.
31．新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分）
三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表
组别 A B C
甲 84 80
乙 83 85
B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图
根据以上信息，回答下列问题．
（1）____，_____；
（2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？
（3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好．
【答案】（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更
【解析】【分析】本题主要对平均数、中位数以及加权平均数进行考查．
（1）根据平均数的定义：平均数，完成计算，；
（2）根据中位数的定义：按顺序排列一组数，位于中间位置的数；根据题意有甲同学：中位数为（分）乙同学中位数为（分）．
（3）根据加权平均数的定义：每个数乘以对应权值，再除以所有权重总和．根据题意甲的综合得分为（分）；乙的综合得分为（分）。
（1）解：，
，
故答案为：87，85
（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92，
则分数的中位数为（分）；
B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92，
分数的中位数为（分）．
（3）解：甲的综合得分为（分），
乙的综合得分为（分），
按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更好．
32．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为 的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
【答案】解：∵AB为⊙O的直径，C为 的中点， ∴OC⊥AD． ∵∠BAD=20°， ∴∠AOC=90°﹣∠BAD=70°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO= = =55°．
【解析】【分析】由C为 的中点，根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD=20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC=OA，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得∠ACO的度数．
33．如图所示，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7m.
（1）求所在圆的半径.
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆大型货运卡车，车高6.5m，宽2.3m，这辆货运卡车能否通过该隧道
【答案】（1）解：如图，设圆心为点O，半径为Rm，连结OE交AD于点F，连结OA，OD，则OF=R-（7-3）=（R-4）m.
由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，则.
由勾股定理，得，即，
解得，
即所在圆的半径为6.5m；
（2）解：如图，在上取到OE的距离为2.3m的点H，过点H作GH⊥OE于点G，则GH=2.3m.
圆的半径，
由勾股定理，得，
点G与BC的距离为，
这辆货运卡车能通过该隧道.
【解析】【分析】（1）设圆心为点O，半径为Rm，连结OE交AD于点F，连结OA，OD，则OF=R-（7-3）=（R-4）m，由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，则AF=6m，进而由勾股定理建立方程可求出R，从而得出答案；
（2）在上取到OE的距离为2.3m的点H，过点H作GH⊥OE于点G，则GH=2.3m，由勾股定理算出OG的长，进而算出点G与BC的距离，将该距离与圆的半径比大小即可得出答案.
34．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量x的取值范围；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：将的坐标代入反比例函数得，，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
（2）解：根据方程组的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或.
（3）解：∵，
设点，则，
根据，
可得，
解得或，
∴点或．
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入求出可得反比例函数解析式；再将点A、D的坐标分别代入可得，再求出，即可得到一次函数解析式；
（2）先求出一次函数和反比例函数的图象的交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）设点，则，根据，可得，再求出m的值，即可得到点Q的坐标.
（1）解：将的坐标代入反比例函数得，
，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
（2）由于方程组
的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）∵
，
设点，则，
由，
，
解得或，
∴点或．
35．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？
【答案】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为 米，
由题意得
∴
∴ ，
当 时，
当 时， （ 不符合题意，舍去）
∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米.
【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x米，结合题意可得到平行于墙的一边长为 ( 米，再通过矩形的面积计算方法，由面积为150平方米列出方程，从而计算得到答案.
36．已知方程x2﹣6x+m﹣2=0的一个根为2，求m的值及另一个根．
【答案】解：当x=2时，22﹣6×2+m﹣2=0，
解得：m=10．
∴方程为x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴m的值为10，方程的另一个根是x=4．
【解析】【分析】将x=2代入原方程中可得关于m的一元一次方程，求出m的值，代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求解即可得到另一个根.
37．如图，
四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径．若D为的中点，AB=4．
（1）求∠DCB的度数．
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）解：∵AB为直径，D为的中点，
∴∠A=45° ，
∴∠DCB= 180°-∠A= 180°-45°= 135°．
（2）解：连结BD，OC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，
∵AB=4，
∴BD=AD=，
∴OE=，
∴S△BCD的最大值为-2，
∴S四边形ABCD的最大值为S△ABD+S△BCD= +2．
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合等腰直角三角形得到∠A=45° ，进而根据圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连结BD，OC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，进而根据勾股定理结合题意得到BD=AD=，从而即可得到OE，再根据三角形的面积结合S四边形ABCD的最大值为S△ABD+S△BCD即可求解。
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再利用可得。
39．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
【答案】（1）解：p＝×100%＝20%；
（2）解：设乙同学的成绩为x cm，
∵中位数为228，
∴＝228，
解得x＝226，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试高于全县平均数，从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率．
【解析】【分析】（1）用该校九年级学生立定跳远测试成绩为优秀的人数除以该校九年级学生的总人数再乘以100％即可算出p的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表所给数据可算出乙同学的测试成绩；
（3）开放性命题，答案不唯一，合理就行.
40． 河南樱桃，半壁江山在新安新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”村民以原价元千克对外销售为了减少库存，决定降价，经过两次降价后，售价为元千克求平均每次降价的百分率．
【答案】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：平均每次降价的百分率为．
【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：，解方程取其符合题意的值，即可求解.
41．某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件.
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件儿童服装应降价多少元
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设每件降价元，则新售价为元，进价仍为50元，单件利润为元。降价后每周销量为件，
∴ ，
解得：
∵要尽可能让利于顾客，
∴需选择降价更多的解，即元
（2）解：设每周利润为10000元，则：，
整理得： ，
∴∴无法通过降价使每周利润达到10000元
【解析】【分析】（1）设每件降价元，则新售价为元，进价仍为50元，单件利润为元。降价后每周销量为件，得到方程 ，解此方程即可求解；
（2）设每周利润为10000元，则：，根据一元二次方程根的判别式计算即可.
42．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．
【答案】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∴CE=OE
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴，即
∴，
∴CD＝．
【解析】【分析】先求出 OC=OA=4， 再求出 CE=OE ，最后计算求解即可。
43．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 元
根据题意，得
解得
当 时， 件，当 时， 件.
答：该玩具的销售单价定为 元时，售出500件；或售价定为 元时售出200件.
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为 x 元时，一件的利润是( x 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.
44．如图，的半径为1，直径的夹角，点是弧上一点，连接分别交于点．
（1）若，求证：．
（2）当点在弧上运动时，
①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，为直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：，证明如下：
如图2，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②证明：由①知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，由垂径定理得，，则，由等腰三角形的性质得，则，进而结论得证；
（2）①，连接，证明是等边三角形，则，，由，可得，证明，由全等三角形的性质得，进而可证；
②由①知，，，则，由圆周角定理可求，证明，则，证明，由相似三角形的性质得，求和并等量代换可得，即可得解．
45．设a>b>c>0，已知关于a的方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0.
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：b+c（3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值.
【答案】（1）解：由方程有实根得，
即
-b-c)-
由 得 即
所以 a， b，c不能成为一个三角形的三边
（2）解：设 则且
由 (1) 知
所以二次方程的实根x0都在l 与a之间，
即
（3）解：由根与系数关系有 ， ab+ bc+ ca=54，
得 -108=117<112
由 (2) 知a>9， 故得
∴a= 10.
∴b+c=5， bc=4，
由b>c，
解得
∴
【解析】【分析】(1)若一元二次方程有实根，则根的判别式 建立a、b、c的关系，则能证明.(2) 设 ，由二次函数性质可证.
(3) 由根与系数关系可得a、b、c的关系， 进而解得a、b、c的值.
46．如图，⊙O的直径AB=2，AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D，设AD=x，BC=y。
（1）求证：AM∥BN。
（2）求y关于x的函数关系式。
（3）若x、y是关于t的方程2t -5t+m=0的两根，且xy= ，求x、y的值。
【答案】（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AM∥BN
（2）解：作DF⊥BN交BC于F，
∵AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=2，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（x-y）2+22，
整理为：y= ，
∴y与x的函数关系为：y=
（3）解：由xy= 及（2）问的结论，
得xy= =1，m=2
所以原方程可以转化为2t2-5t+2=0，
即（t-2）（2t-1）=0，解得t=2或t= .
因为x＜y，所以x= ，y=2.
【解析】【分析】（1）AM、BN分别为圆O的两条切线，且AB为圆O的直径，所以AB⊥AM，AB⊥BN，所以AM∥BN；
（2）由图知x+y=CD，过点D向BN做垂线DF⊥BN于F，则△DFC为直角三角形，且CF=y-x，DF=2，根据勾股定理建立三条边之间的等量关系，得出y与x之间的函数关系；
（3）结合y与x之间的函数关系，解出m的值，然后求解关于t的一元二次方程，可得出x、y的值。
47．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
【答案】（1） b，
（2）解：线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
理由如下：设 ， 则 .在 Rt 中， 由勾股定理， 得 ， 整理得 ， 线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AD=AB-BD，可求出AD的长.
（2）线段 的长是一元二次方程 的一个正根，将AD=x代入，可得到关于x，a，b的方程，将方程整理后可作出判断.
48．如图， 已知 是 的直径， 是 所对的圆周角， ．
（1） 求 的度数；
（2） 过点 作 ， 垂足为 的延长线交 于点 ． 若 ， 求 的长．
【答案】（1）解：如图， 连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
（2）解：
且AB是直径，
【解析】【分析】(1)连接BD， 根据AB是⊙O的直径， 可得 进而可以求 的度数；
(2)根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，冉根据垂径定埋札特殊角二角函数值可得 的值，进而可得DF的长.
49．已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】（1）证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．
【解析】【分析】（1）先计算△，化简得到，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论当、为腰和当、为腰时列式计算，依据三角形三边关系进行取舍，最后计算周长.
50．如图，已知扇形 的圆心角为120 ，半径为6cm.
（1）请用尺规作出扇形的对称轴；(不写做法，保留作图痕迹)
（2）求扇形 的面积；
（3）若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝)，求圆锥的底面圆面积.
【答案】（1）解：如图：
（2）解： ；
（3）解：设圆锥的底面半径为r，
∴6πr=12π，
解得r=2.
∴圆锥的底面圆面积为：4π.
【解析】【分析】（1）根据圆的轴对称性作图；
（2）用扇形面积公式直接求解即可；
（3）先根据圆锥侧面展开图的面积公式S= πRr =12 πr求出圆锥底面圆的半径，再用圆的面积公式求解。
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