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苏科版2025—2026学年八年级上册期中模拟提分攻略卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
2．在下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将一把含30°角的三角尺的直角边AB贴在直线上，，以点为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线于点.若，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②），此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A． B．10 C．12 D．
5．已知：中，，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，一根竹子长16米，竖直折断后竹子顶端落在竹子的底端8米处，折断处离地面的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．9米 D．10米
7．若，则的值为（ ）
A． B．0 C．或2 D．或
8．估计的值（ ）
A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间
9．下列实数中，为无理数的是（ ）
A． B．1.2012001 C． D．
10．如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．的相反数是 ．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
13．如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 .
14．在中，．两条角平分线，所在直线所成的角的度数是 ．
15．的立方根是 .
16．如图，在中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．下列结论正确的是 （填所有正确答案的序号）．
①；②；③；④，分别表示和的面积，则．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：．
18．如图，直角三角形，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．．
（1）求证：；
（2）若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果）
20． 如图，在中，，点是的中点，交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的面积．
21．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、F分别为AB、AC中点，ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长.
22．如图，点，，在同一条直线上，，，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求点到的距离．
23．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
24．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足．
（1）求a，b的值：
（2）以AB为边作，点C在直线AB的右侧且，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作交x于点F．
①求证；
②直接写出点C到DE的距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年八年级上册期中模拟提分攻略卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案.
2．在下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是有理数，故该选项不符合题意；
C、，是有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
3．如图，将一把含30°角的三角尺的直角边AB贴在直线上，，以点为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线于点.若，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=1，∠CAB=30°，
∴AC=2BC=2，
∴．
根据题意可知AD=AC=2，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC，再根据勾股定理得AB，由题意可得AD=AC，进而求出BD．
4．把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②），此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知：，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故答案为：B．
【分析】先根据题意，结合三角形的内角和进行角度计算，判断出，再由等腰三角形的性质得出，，最后根据勾股定理求出线段AD1的长.
5．已知：中，，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴AB2=AC2+BC2，
∵，
∴AB2=3BC2+BC2=4BC2，
∵，
∴16=4BC2，
∴BC2=4，
∴AC2=3×4=12，
∵AC>0，
∴AC=，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理及可得AB2=3BC2+BC2=4BC2，再求出BC2，可得AC2=3×4=12，再求出AC的长即可.
6．如图，一根竹子长16米，竖直折断后竹子顶端落在竹子的底端8米处，折断处离地面的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．9米 D．10米
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，根据题意AC⊥BC且AC+AB=16米，
设AC=x米，则AB=（16-x)米，
∵AC⊥BC，
∴AC2+BC2=AB2，
∴x2+82=(16-x)2，
解得：x=6，
∴折断处离地面的高度是6米.
故答案为：A
【分析】本题运用勾股定理得等量关系AC2+BC2=AB2，通过设高度为未知数列方程求解.
7．若，则的值为（ ）
A． B．0 C．或2 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a2=4，b3=8，
∴，
∴2a-3b=2×2-3×2=-2或2a-3b=2×(-2)-3×2=-10.
故答案为：D.
【分析】根据平方根及立方根的定义求出a、b的值，再代入待求式子，根据含加减乘法的有理数的混合运算的运算顺序，计算即可.
8．估计的值（ ）
A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间
【答案】C
【解析】【解答】解：∵16＜20＜25
∴
即
∴的值在4到5之间
故答案为：C.
【分析】先判断被开方数介于哪两个完全平方数之间，再根据不等式的性质即可得出答案。
9．下列实数中，为无理数的是（ ）
A． B．1.2012001 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵有限小数和无限循环小数都能化成分数，
故 是有理数；A项不符合题意；
B、∵1.2012001是有限小数，
∴1.2012001是有理数；B项不符合题意；
C、∵π无限不循环小数，
∴π是无理数；C项符合题意；
D、∵是整数，是有理数；D项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数和有理数能写成有限小数和无限循环小数逐项分析即可.
10．如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD
∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°
∵ BE=DF
∴（SAS）
∴ ∠BAE=∠DAF，AE=AF
∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°
∵ G为AE的中点，BG=2
∴ AG=BG=2，AF=AE=4
∴ FG=
故答案为B
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质。根据正方形的性质，判定，根据其全等的性质，得出∠EAF=90°，AE=AF，根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AG长，根据勾股定理求出FG即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．的相反数是 ．
【答案】
【解析】【解答】的相反数为-.
故答案为：-.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，
∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∵，
∴5GH+4GH＝24，
∴，
∵点P为边AB上的一动点，
∴GP的最小值为．
故答案为：.
【分析】由作法得AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，由角平分线的性质可得GH＝GC，利用勾股定理可得AB的值，根据面积间的和差关系以及三角形的面积公式可得GH的值，进而可得GP的最小值.
13．如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】【解答】解：延长至E，使得，连接，如图所示，
∵点D是BC的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至E，使得，连接，先利用“SAS”证出，可得，再利用三角形三边的关系可得，再求出即可.
14．在中，．两条角平分线，所在直线所成的角的度数是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：①当AD，BE是△ABC的内角平分线时，如图
在△ABC中，∠C=60°
∵AD，BE是∠CAB与∠ABC的平分线
②当当AD，BE是△ABC的外角平分线时，如图
在△ABC中，∠C=60°
∵AD，BE是∠FAB与∠GBA的平分线
故答案为：或
【分析】根据角平分线的性质，三角形值得内角与外角性质分情况讨论，即可求出答案.
15．的立方根是 .
【答案】1
【解析】【解答】解：，1的立方根是1.
故答案为：1.
【分析】根据有理数的乘方法则可得(-1)2=1，然后根据立方根的概念进行解答.
16．如图，在中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．下列结论正确的是 （填所有正确答案的序号）．
①；②；③；④，分别表示和的面积，则．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：，，是的中点，
，，，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
是变化的，而为定值，故③错误；
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
时，最小，且，则最小为，
当点与或重合时，最大，则最大为，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边对等角，三角形内角和定理可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，可判断①正确；则，再根据边之间的关系可判断②正确；由是变化的，为定值可判断③错误，再根据全等三角形性质可得，则根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据垂线段最短可判断④正确.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：．
【答案】解：原式
【解析】【分析】根据负指数幂法则计算第一项，根据绝对值的非负性计算第二项，根据平方根定义计算第三项，根据任何数的0指数幂都为1计算第四项，然后根据有理数的加减混合运算计算即可.
18．如图，直角三角形，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．．
（1）求证：；
（2）若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE.
（2）解：∵△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=a，AD=CE=b，
∴DE=DC+CE=a+b，
∴S梯形ADEB，
∵S梯形ADEB=S△ADC+S△ACB+S△CEB，
化简得：a2+b2=c2．
【解析】【分析】(1)先利用AAS证明△ADC与△CEB全等，再根据全等三角形的性质得出结论.
（2）先利用a，b表示出DE，再利用梯形面积公式求解，化简后得出结论.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果）
【答案】（1）解：结论：
理由：连结AD．则
即
∴
（2）证明：如图2，连结AD．
则
即
∴
（3）解：
证明：如图3，
即
∴
【解析】【分析】（1）连结AD，△ABC被分成△ABD和△ACD，利用图形面积的和差可知 S△ABC=S△ABD+S△ACD，再根据三角形面积公式借助AB=AC即可；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）根据 S△ABC=S△ABD S△ACD，类比（1）方法即可。
20． 如图，在中，，点是的中点，交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：在中，．
，解得．
（2）解：由题可得，是的垂直平分线，．
在中，，
．
由（1）可得，
．
【解析】【分析】（1）根据题意在等腰△ABC中其三内角存在的倍数关系利用内角和计算得出各个内角的度数；
（2）在特殊角的基础下对原几何题进行标量，从而利用特殊角及勾股定理逐一计算各边长度，逐步往目标面积三角形靠拢，即在中，求出两三角形的底与高即可.
21．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、F分别为AB、AC中点，ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长.
【答案】解：如图，连接AE、AG，
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB＝EA，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B＝ ＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠AEG＝60°，
同理可证：∠AGE＝60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE＝EG＝AG，
又∵AE＝BE，AG＝GC，
∴BE＝EG＝GC，
又BE+EG+GC＝BC＝15（cm），
∴EG＝5（cm）.
【解析】【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可.
22．如图，点，，在同一条直线上，，，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求点到的距离．
【答案】（1）解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点到的距离为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）设点到的距离为，根据勾股定理可得BC，再根据全等三角形性质可得，再根据勾股定理可得AE，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点到的距离为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
23．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
24．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
【答案】（1）证明：如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE
（2）解：∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4
【解析】【分析】（1）作DM∥AB，交CF于M，先证得△CDM是等边三角形，再根据ASA判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形和等边三角形的性质得出CD=BE。
（2）在Rt△ADE中，先求得∠E=30°，由△DMF≌△EBF可得MF=BF，等量代换可得CM=MF=BF，最后再根据AB=BC求得BF的值。
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足．
（1）求a，b的值：
（2）以AB为边作，点C在直线AB的右侧且，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作交x于点F．
①求证；
②直接写出点C到DE的距离．
【答案】（1）解：，
，，
，，
，；
（2）解：由（1）知，，
，，
，，
是直角三角形，且，
只有或，
Ⅰ、当时，如图1，
，
，
过点作于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
Ⅱ、当时，如图2，
同Ⅰ的方法得，；
即：满足条件的点或；
（3）解：①如图3，由（2）知点，
过点C作CL⊥y轴于点L，则，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
②点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，
由①知，
，
，
，，
，
，
≌，
∴ ∠CDE=∠CDF ，
．
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，即可求得；
（2）分两种情况：当∠BAC=90°和∠ABC=90°，通过构造全等三角形，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质即可求得；
（3）①过点C作CL⊥y轴于点L，根据AAS判定△BOE≌△CLE，从而得到BE=CE，再根据ASA判定△ABE≌△BCF，得到BE=CF，即可求得；
②过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS判定△CDE≌△CDF，从而得到∠CDE=∠CDF，再根据角平分线的性质即可得CK=CH.
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