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苏科版2025—2026学年九年级上册期中焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，无实数根的是（ ）
A．3x2﹣2x+1=0 B．x2﹣x﹣2=0
C．（x﹣2）2=0 D．（x﹣2）2=10
2．一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ）
A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．3，3
3．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
4．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有没有实数根取决于a的值
5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是（ ）
A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm
C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm
6．已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
7．关于数据5，8，8，9，10，下列说法中，错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
8． 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
9．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A．15（30﹣2x） x＝600 B．30（30﹣2x） x＝600
C．15（15﹣x） x＝600 D．x（15﹣x） x＝600
10．如图， 四边形 内接于 ． 若 ， ， 则 的度数与 的长分别为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 的面积为 .若点 在 内，那么线段 的长度 的取值范围是 .
12．如图，直线 与 相切于点 ， 、 是 的两条弦，且 ．若 的半径为5， ，则弦 的长为 ．
13．关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m 。
14．如图，在⊙O中，若，，则∠ACO＝ .
15．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
16．反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋ ＝0的根的情况是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各式中的x
（1）(x-1)2=9
（2）8(x+1)3=-27
18．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
19．解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
20．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
21．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3）
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．
23．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求半径长．
24．在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使，直线与直线AC交于点G.
（1）如图1，若，，，求的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
25．如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年九年级上册期中焦点热题集训卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，无实数根的是（ ）
A．3x2﹣2x+1=0 B．x2﹣x﹣2=0
C．（x﹣2）2=0 D．（x﹣2）2=10
【答案】A
【解析】【解答】解：A．∵△=（﹣2）2﹣4×3×1=﹣8＜0，∴方程3x2﹣2x+1=0无解，故A符合题意；
B．∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，∴方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C．∵（x﹣2）2=0，∴x1=x2=2，故C不符合题意；
D．∵（x﹣2）2=10，∴x﹣2=± ，∴x1=2+ ，x2=2﹣ ，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用根的判别式进行判断，<0无实根。
2．一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ）
A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．3，3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵这组数据有唯一的众数4，
∴x=4，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，
则平均数=（1+2+3+3+4+4+4）÷7=3，
中位数为：3．
故答案为：D．
【分析】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
3．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作AB的垂直平分线MN和BC的垂直平分线PQ，
设MN与PQ交于点O，则点O是△ABC外接圆的圆心，
连接OA，OB，OC，
由图得OA2=5，OC2=5，AC2=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△AOC是直角三角形，∠AOC=90°，
∵，
∴S阴影部分=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC
故答案为：D.
【分析】如图，作AB的垂直平分线MN和BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，则点O是△ABC外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，判定△AOC是直角三角形，再根据S阴影部分=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC即可求解.
4．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有没有实数根取决于a的值
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a≠1，
∴＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是（ ）
A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm
C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm
【答案】D
【解析】【解答】解：设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，
由题意得，
解得，
此时20-x=20-10=10，
故答案为：D．
【分析】设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，根据“ 两个正方形的面积之和为12.5 cm2”列出方程并解之即可.
6．已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形外接圆的直径为斜边的长进行解答.
7．关于数据5，8，8，9，10，下列说法中，错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【答案】D
【解析】【解答】解：A、平均数为：（5+8+8+9+10）÷5=8；A不符合题意；
B、5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8；B不合题意；
C、将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8；C不符合题意；
D、方差为；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数、如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差逐项分析即可求解.
8． 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴，解得： 且
故答案为：A
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A．15（30﹣2x） x＝600 B．30（30﹣2x） x＝600
C．15（15﹣x） x＝600 D．x（15﹣x） x＝600
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴15rx=15× x=600，
∴15（15﹣x）x＝600 .
故答案为：C
【分析】观察图形，先用含x的代数式表示r，再根据长方形的容积为600，建立方程，即可解答.
10．如图， 四边形 内接于 ． 若 ， ， 则 的度数与 的长分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OC，过点O作OE⊥AD于E
∵ BC∥AD
∴ ∠CBD=∠ADB
∴
∴ ∠AOB=∠COD，∠CAD=∠ADB
∵ AC⊥BD
∴ ∠CAD=∠ADB=∠BCF=∠CBF=45°
∵ ∠AOD=120°，OA=OD，AD=
∴ ∠OAD=∠ODA=30°，AE=
∴ ∠CAO=∠CAD-∠OAD=15°，OA=1
∵ OA=OC
∴ ∠OCA=∠CAO=15°
∴ ∠OCB=∠BCF+∠OCA=45°+15°=60°
∵ OB=OC
∴是等边三角形
∴ BC=OB=OA=1
故答案为C
【分析】本题考查圆垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧，弦，圆周角的关系，熟练掌握圆的知识是解题关键。连接OB，OC，过点O作OE⊥AD于E，证 ∠CAD=∠ADB=∠BCF=∠CBF=45°；根据∠AOD=120°，OA=OD，AD=，得 ∠OAD=∠ODA=30°，AE=，得∠CAO=15°，OA=1；证 是等边三角形，得BC=OA=1.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 的面积为 .若点 在 内，那么线段 的长度 的取值范围是 .
【答案】0【解析】【解答】解：由圆的面积公式 可以得到圆半径为： ，
所以由题意知线段OP的长度d的取值范围是：0故答案为：0【分析】由已知可以求得⊙O的半径，再根据点与原的位置可以得到d的取值范围.
12．如图，直线 与 相切于点 ， 、 是 的两条弦，且 ．若 的半径为5， ，则弦 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接OC，
∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OA⊥CD，
∴CE=DE= CD=4，
在Rt△CEO中，EO= ，
∴AE=AO+EO=8，
在Rt△ACE中，AC= ，
故答案为： .
【分析】由题意可求出OA⊥CD，根据垂径定理求出CE=DE= CD=4，根据勾股定理求出EO的值，再根据勾股定理求出AC的长。
13．关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m 。
【答案】m=1
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴ =（-2）2-4m=0，
∴m=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出 =（-2）2-4m=0，即可求出m的值.
14．如图，在⊙O中，若，，则∠ACO＝ .
【答案】24°
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝132°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝（180° 132°）＝24°.
故答案为：24°.
【分析】由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=48°，∠AOB=2∠ACB=84°，则∠AOC=∠BOC+∠AOB=132°， 然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
15．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-(k+1)2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 =k+1， =2，再计算求解即可。
16．反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋ ＝0的根的情况是 ．
【答案】没有实数根
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞-4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=（-1）2-4（a-1）× =2-a＜0，
∴关于x的方程（a-1）x2-x+ =0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【分析】由比例函数y= 的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各式中的x
（1）(x-1)2=9
（2）8(x+1)3=-27
【答案】（1）解： ，
∴ ，
解得： ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【解析】【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.（2）两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可.
18．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲商品的费用+购买(100-m)件乙商品的费用不超过7800元列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
19．解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【答案】（1）解：
解得：，；
（2）解：
则
或
解得：，
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将（2x+1）看成一个整体，方程的右边先利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后再将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
20．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】（1）解：设平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【解析】【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用“五月的销售量=三月的销售量×(1+平均增长率） ，列出关于x的一元二次方程求解；
（2）设商品降价y元，则每件获利元，月销量为件，利用“月销售利润=每件销售利润×月销售量”，列出关于y的一元二次方程求解．
21．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3）
【答案】（1）解：设绣布的长为，宽为，根据题意，得
即
∴
∵
∴
∴绣布的长为28cm，宽为21cm，
周长为（cm）
（2）解：不能够裁出来，理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r cm，
得，
∵取3，
∴，
解得（负值已舍去）
∵，
∴，
∴不能够裁出来．
【解析】【分析】
（1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答．
（2）设完整的圆形绣布的半径为r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得，由于，则绣布的直径大于长方形绣布的宽，即裁不出这么大的整圆．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，
即12﹣4k＞0，解得：k＜3．
故k的取值范围为k＜3．
（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，
∴k=2．
将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2
【解析】【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据k为大于1的整数以及（1）的结论可得出k的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
23．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求半径长．
【答案】（1）证明：在的内接四边形中，
．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵，∠BEC=45°，
∴
在中，
又∵OB=OC，
∴
即 ，
解得：（负值舍去）
∴半径长
【解析】【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明；
（2）连接，利用条件∠BEC=45°，结合圆周角定理可得，则△BOC为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可．
（1）证明：∵点，，，均在上，
∴四边形为圆内接四边形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵
∴
设的半径为，则中，
解得：（负值舍去）
∴半径长
24．在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使，直线与直线AC交于点G.
（1）如图1，若，，，求的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
【答案】（1）解：如图，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
在上截取，连接，，，交于点H，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点D关于直线的对称点为点E，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
中，，
，
，
；
（3）解：或
【解析】【解答】解：（3）连接，记与的交点为点N，
，，
，
由轴对称知，，，，
当点G在边上时，由于，
当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
，
，
，，
，
中，，解得，
，而，
为等边三角形，
，
设，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
；
当点G在延长线上时，只能是，如图：
设，
，，
，
，
，
在中，，
解得，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
，
，
，
综上所述：或.
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的分类讨论等知识，综合运用各知识点，结合性质判定正确添加辅助线是解题的关键之处。
（1）结合三角形内角和，外角和及，可得；
（2）在上截取，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，证为等边三角形，再证四边形EBMG是平行四边形，得，
记与的交点为点N，由轴对称可知，，得，，
由得；
（3）连接，记与的交点为点N，由轴对称得，，，，
分两种情况讨论：①当点G在边上时，，则为等腰三角形时，只有，同（1）知，，得，得，设，得AG=2x，，得；②当点G在延长线上时，只能是，设，得，得，设，则，，得，综上所述：或.
25．如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
【答案】证明：过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N.则 因为PB为 的切线，所以， ∠PMB=∠ACB=∠PBM 于是，PM=PB.同理，PN=PC.因为PB=PC，所以PM=PN，即AP平分线段MN.而EF∥MN，故直线AP平分线段EF.
【解析】【分析】如下图，过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N. 整体思路是：证明AP平分线段MN，即可证明直线AP平分线段EF. 具体为：由∠OAE==90°-=90°-∠ACB，以及∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE=90°-（90°-∠ACB）=∠ACB，即：∠PMB=∠ACB. 再根据PB是切线，等量代换得到∠PMB=∠PBM，于是PM=PB，同理PN=PC，即PM=PN，即AP平分线段MN，进而AP平分线段EF. 本题主要考查圆内接三角形、切线的性质，准确运用切线的性质解题是此题关键.
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