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湘教版2025—2026学年八年级上册期中模拟命题研究卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
4． 若 的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是 ( )
A．a-b B．a+b C．b D．b/a
5． “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6． 某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度 ▲ ．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“ ▲ ”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务
7．下列各等式中成立的有（ ）个
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．把 根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点A，B在数轴上，它们表示的数分别为，．
（1）若点A，B到原点的距离相等，则x的值为 ．
（2）若点C在数轴上表示的数为，且点A，B到点C的距离相等，则x的值为 ．
12．若 有意义，则 的取值范围是 ．
13．截止2018年，我国约有2.3×108辆民用汽车，按平均每辆车的车身约为5m计算，让这些汽车头尾相接排列，相当于 座万里长城的长度（长城的长度按5.13×103km计算）．
14．若am＝16，an＝2，则am﹣2n的值为 .
15．关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．设 ．
（1） 求 与 的差．
（2） 若 与 的值相等， 求 的值．
19．（1）式子的值能否为0 为什么
（2）式子的值能否为0 为什么
20．某服装销售公司准备从深圳利华服装厂购进甲、乙两种服装进行销售．若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元．公司根据顾客需求，决定在这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件；若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少多少件？
21．智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
22．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
（1）判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
（2）若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
（3）若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
23．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30个，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
24．2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求每个B款吉祥物的售价；
（2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
25．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
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湘教版2025—2026学年八年级上册期中模拟命题研究卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ，不能用完全平方公式分解因式，故A选项错误；
B、 ，不能用完全平方公式分解因式，故B选项错误；
C、 ，能用完全平方公式分解，故C选项正确；
D、 不能用完全平方公式分解因式，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】能用完全平方公式分解因式的多项式必须满足：①三项式，②三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且它们的符号相同，③剩下的第三项能写成两完全平方项底数乘积的2倍，从而即可一一判断得出答案.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，故A正确；
和不能合并，故B错误；
，故C错误；
和不能合并，故D错误．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的加减运算法则计算．
3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【答案】B
【解析】【解答】解：设通过AB的速度是xm/s，
根据题意可列方程： ，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故答案为：B.
【分析】根据路程、速度与时间之间的关系，分别表示出小敏通过AB及BC段的时间，根据共用时22秒列出方程，然后求出方程的解.
4． 若 的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是 ( )
A．a-b B．a+b C．b D．b/a
【答案】C
【解析】【解答】解：运算的结果为整式，∴C 选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】 运算结果为整式 ，分式除法计算结果为是分式，所以要约去分母b，则“□”中的式子可能为b.
5． “竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设慢车间每天生产茶具x套，快车间每天生产茶具套
原计划由慢车间单独生产，需要时间为天
现由快车间单独生产，需要时间为天
由快车间单独生产可以提前10天完成，即快车间需要的时间比慢车间少10天，可列方程为，B正确.
故答案为：B.
【分析】列方程解应用题时，需要先找到已知条件及对应的数量关系，已知原计划由慢车间单独生产，可以得到原计划生产需要的时间，经过改良，快车间每天生产的数量是慢车间的 倍 ，可以得到改进技术后生产需要的时间，再由快车间单独生产可以提前10天完成便能列出相应的分式方程。
6． 某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度 ▲ ．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“ ▲ ”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务
【答案】A
【解析】【解答】解：设实际每天铺设管道x米，则1.5x表示实际每天铺设管道比原计划增加了50%，
根据方程，
可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．
故选：A．
【分析】根据题意“原计划每天铺设管道x米“，1.5x表示“实际每天铺设管道比原计划增加了50%“，4表示“现在比原计划少的天数”，结合题目给出的条件即可得出正确的判断．
7．下列各等式中成立的有（ ）个
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：①，故错误.
②；故错误.
③；故错误.
④，正确.
正确的有1个.
故答案为：A.
【分析】分式的符号法则：一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；根据分式的符号法则并结合各选项即可判断求解.
8．把 根号外的因式移入根号内，其结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【解析】【解答】解：∵根式有意义，
∴ ，解得： ，
∴a-1 0，
∴ =﹣ .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不等于零的条件，分别列式求出a的取值范围，从而判断出a-1的正负，从而将a-1移入根号内，再进行化简即可.
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 不是同类二次根式， 故 不符合题意；
，运算正确，故 符合题意；
没有意义，原运算错误，故 不符合题意；
原运算错误，故 不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用二次根式乘除运算法则、二次根式的加减法则分别计算得出答案。
10．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点A，B在数轴上，它们表示的数分别为，．
（1）若点A，B到原点的距离相等，则x的值为 ．
（2）若点C在数轴上表示的数为，且点A，B到点C的距离相等，则x的值为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B到原点的距离相等，
∴，
∴x=-4，
经检验，x=-4是分式方程的解，
故答案为：-4；
（2）∵点A，B到点C的距离相等，
∴点C在A，B之间，
∴，
∴x=-5，
经检验，x=-5是分式方程的解。
故答案为：-5.
【分析】（1）根据 点A，B到原点的距离相等，可列方程，解方程即可求得x的值；
（2）根据点A，B到点C的距离相等， 可列方程，解方程即可求得x的值。
12．若 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】x≥-3且x≠5
【解析】【解答】解：由题意得， ， ，
解得，x≥-3且x≠5，
故答案为：x≥-3且x≠5．
【分析】分母不为零，分子大于等于0，即可解得 的取值范围。
13．截止2018年，我国约有2.3×108辆民用汽车，按平均每辆车的车身约为5m计算，让这些汽车头尾相接排列，相当于 座万里长城的长度（长城的长度按5.13×103km计算）．
【答案】224
【解析】【解答】解：
=
=224（座）
故答案为：224
【分析】先用 平均每辆车的车身约为5m ，去乘以汽车总数 2.3×108辆 ，求出这些汽车 头尾相接排列 的总长度，再除以万里长城的长度 5.13×103km （注意车身长度和长城长度的单位换算；同底数幂相除，底数不变，指数相减）即可.
14．若am＝16，an＝2，则am﹣2n的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵am＝16，an＝2，∴a2n＝4，∴am﹣2n＝ .
故答案为4
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2n的值是多少；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出am﹣2n的值为多少即可.
15．关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是 ．
【答案】m<2且m≠0
【解析】【解答】解：去分母得：m+4x-2=0，
解得：x＝ ，
∵关于x的分式方程 的解是正数，
∴ ＞0，
∴m<2，
∵2x-1≠0，
∴ ，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m<2且m≠0．
故答案为：m<2且m≠0．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
16．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【解析】【分析】（1）根据平方根、立方根、有理数的乘方进行运算，进而即可求解；
（2）运用积的乘方、平方根、立方根进行运算，进而即可求解；
（3）运用分式的混合运算、立方根进行运算即可求解。
18．设 ．
（1） 求 与 的差．
（2） 若 与 的值相等， 求 的值．
【答案】（1）解： ．
（2）解：，
去分母， 得 ，
去括号， 得 ，
移项、合并同类项， 得 ，
经检验， 是原方程的根．
所以 ．
【解析】【分析】（1）根据异分母分式的减法直接用A减去B，并化简结果；
（2）根据条件建立方程，然后解之即可.
19．（1）式子的值能否为0 为什么
（2）式子的值能否为0 为什么
【答案】（1）解：不能为 0.理由：
要使 的值为零，则需满足 这样的a，b，c不存在，因此 的值不能为0.
（2）解：不能为0.
理由：
要使 的值为零，则需满足
这样的a，b，c不存在.
因此 的值不能为0.
【解析】【分析】（1）根据分式值为0的条件及分式有意义的条件化简计算即可求出答案.
（2）根据分式值为0的条件及分式有意义的条件化简计算即可求出答案.
20．某服装销售公司准备从深圳利华服装厂购进甲、乙两种服装进行销售．若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元．公司根据顾客需求，决定在这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件；若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少多少件？
【答案】解：（1）设每件甲种服装进价元，每件乙种服装进价元，
根据题意得，，
解得x=200，
经检验x=200是原分式方程的解，
x-50=150．
答：每件甲种服装的进价是元，每件乙种服装的进价是元．
（2）设该服装销售公司本次购进甲种服装件，则购进乙种服装（2a+4）件，
根据题意可得，，
解得，
为正整数，
的最小整数值为．
答：该该服装销售公司本次购进甲种服装至少件．
【解析】【分析】（1）设每件甲种服装进价元，每件乙种服装进价元，根据“ 用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该服装销售公司本次购进甲种服装件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据“ 若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元 ”列出不等式，再求解即可.
21．智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采换的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
（1）判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
（2）若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
（3）若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】（1）①
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，而且如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：①当，时，解方程得，经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
【分析】（1）根据“方程数对“的定义即可判断；
（2）由“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）“方程数对“的定义可得是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
23．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共为30个，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
【答案】（1）解：设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，
根据题意，得，
解得．
经检验：是原方程的解，
则．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．
（2）解：设可以购买画板a个，则购买画笔（30-a）盒，
根据题意有，
解得：，
∵根据题意可知a为整数，
∴a的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【解析】【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，根据总价除以单价等于数量，结合“用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同 ”列出分式方程，求解并检验即可；
（2）设可以购买画板a个，则购买画笔（30-a）个，根据单价乘以数量等于总价及购买a个画板的费用+购买（30-a）盒画笔的费用不超过475列出不等式，求出最小整数解即可.
24．2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求每个B款吉祥物的售价；
（2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
【答案】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴每个B款吉祥物的售价为30元．
（2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，
根据题意得．解得．
又∵m为正整数，∴m的最大值为4．
∴李老师最多可购买4个A款吉祥物．
【解析】【分析】（1）设每个B款吉祥物的售价是x元，则每个A款吉祥物的售价是（x+20）元，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出B款吉祥物的售价；
（2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买（10-m）个B款吉祥物，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论。
25．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
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