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湘教版2025—2026学年九年级上册期中模拟考情速递卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．配方变为 B．变为
C．配方变为 D．因式分解得
3． 如图， 已知 ， 则 CE的长为 （ ）
A． B． C．6 D．
4．在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知2+ 是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
6．不解方程，判别方程2x2-3x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
7．用配方法解方程，若配方后结果为，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
8．用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，，则⊙O的半径长为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．cm
10．如图，在 中， 为斜边 的中线，过点D作 于点E，延长 至点F，使 ，连接 ，点G在线段 上，连接 ，且 ．下列结论：① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，，那么 ．
12．燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了 ．
13．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．
14．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ .
15．关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．如图，在矩形中，，垂足为，动点分别在上，则的值为 ，的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）x2-6x-4＝0；
（2）3x（x-2）＝2x-4．
18．已知反比例函数（为常数，且）
（1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围；
（2）若点在该反比例函数的图象上，求的值；
19．网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
20．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F， =，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）求当4＜x＜a时，y与x之间的函数表达式；
（2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
22． 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，．
（1）求的值；
（2）当，时，求x的取值范围．
23．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
24．如图，点B 是反比例函数 图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C.反比例函数 的图象经过OB 的中点M，与AB，BC 分别相交于点 D，E.连接 DE 并延长交x轴于点F，点G 与点O关于点C 对称，连接BF，BG.
（1）填空：k= .
（2）求△BDF 的面积.
（3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形.
25．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
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湘教版2025—2026学年九年级上册期中模拟考情速递卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：B.
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果.
2．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．配方变为 B．变为
C．配方变为 D．因式分解得
【答案】B
【解析】【解答】解：A、配方得：，选项错误，不符合题意；
B、变为，选项正确，符合题意；
C、配方变为：，选项错误，不符合题意；
D、因式分解得：，选项错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据配方法，移项合并同类项和因式分解法将一元二次方程进行变形，逐项进行判断即可求出答案.
3． 如图， 已知 ， 则 CE的长为 （ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴即
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到，然后将已知线段代入可求出CE的长.
4．在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，，
则，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】设小城的边长为x步，分别表示出相关线段的长度，再利用可得比例关系，代入相关线段即可列出等式．
5．已知2+ 是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵2+ 是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根，
∴（2+ ）2-4（2+ ）+m=0，
解得：m=1，
故答案为：B．
【分析】将x=2+ 代入方程中即可求出m值.
6．不解方程，判别方程2x2-3x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2x2-3x＝3，
∴2x2-3x-3＝0，
∵Δ＝（-3）2-4×2×（-3）＝18+24＝42＞0，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．用配方法解方程，若配方后结果为，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式进行分解即可对方程进行配方，据此可得m的值.
8．用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2
【答案】A
【解析】【解答】解：x2＋4x＝1
即
故答案为：A
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，，则⊙O的半径长为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．cm
【答案】C
【解析】【解答】解：连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCB=∠ACO，
∵CO=AO，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DCB=∠DAC，
又∠D=∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴∠BAC=，
∴，
解得CD=4cm，BD=2cm，
∴AB=AD-BD=6cm，
∴半径为3cm，
故答案为：C．
【分析】连接CO，先证明△DCB∽△DAC，可得∠BAC=，将数据代入可得，求出CD=4cm，BD=2cm，最后利用线段的和差可得AB=AD-BD=6cm，从而得解。
10．如图，在 中， 为斜边 的中线，过点D作 于点E，延长 至点F，使 ，连接 ，点G在线段 上，连接 ，且 ．下列结论：① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】∵在 中， 为斜边 的中线，
∴DA=DB=DC，
∵ 于点E，且 ，
∴AE=EC，
∴四边形ADCF为菱形，
∴FC∥BD，FC=AD=BD，
∴四边形DBCF为平行四边形，故②符合题意；
∴DF=BC，
∴DE= BC，故①符合题意；
∵四边形ADCE为菱形，
∴CF=CD，
∴∠CFE=∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC=180 ，而∠FGE+∠EGC=180 ，
∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，
∴EF=EG，故③符合题意；
∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，
∴△FEG △FCD，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴BC =DF ，故④符合题意；
综上，①②③④都符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE =∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG △FCD，推出 ，即可判断④．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
所以，
∵AD=4，AF=AD+DF=4+3=7，BE=10，
∴，
∴BC=.
故答案为：。
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，即可得出BC的长度。
12．燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：），则从打开到闭合，之间的距离增加了 ．
【答案】25
【解析】【解答】解：由图2可知BD=20mm，
图3中，∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∵EF=20mm，AE=28mm，AB=AE+BE=28+35=63mm，
∴，
∴BD=45mm，
∴ 从打开到闭合，BD之间的距离增加了45-20=25mm.
故答案为：25.
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出图3中BD的长，求出两种状态下BD的差即可.
13．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．
【答案】5
【解析】【解答】解：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，
∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF=CD=AC=3
EG=EC=BC=2
∵AC=6，EC=BC=4
∴AE=2
∴AG=4
根据勾股定理，．
【分析】作FG⊥AC，先证明，可得，再求出AE和AG的长，最后利用勾股定理求出AF的长即可。
14．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝( )2＝ ，
故答案为： .
【分析】根据相似三角形的中线比等于相似比得出的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
15．关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜0且a≠-1
【解析】【解答】解：根据题意得a+1≠0且△=22-4（a+1）＞0，
所以a＜0且a≠-1．
故答案为a＜0且a≠-1．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
16．如图，在矩形中，，垂足为，动点分别在上，则的值为 ，的最小值为 ．
【答案】3；
【解析】【解答】设，则，
∵四边形为矩形，且，
，，
，
又，
，
，即，
，
在中，由勾股定理可得，
即，解得：，
，
如图，设点关于的对称点为，连接，
则，
是等边三角形，
，
∴当、三点在一条线上时，最小，
由垂线段最短可知当时，最小，
．
故答案是：3；．
【分析】设，则，证明，利用相似三角形的性质可求出，在中，由勾股定理求出x值，即得，设点关于的对称点为，连接，可求出是等边三角形，由垂线段最短可知当时，最小，其最小值等于DE的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）x2-6x-4＝0；
（2）3x（x-2）＝2x-4．
【答案】（1）解：x2-6x-4＝0，
x2-6x＝4，
x2-6x+9＝4+9，即（x-3）2＝13，
∴x-3＝± ，
∴x1＝3+ ，x2＝3- ；
（2）解：3x（x-2）＝2x-4，
3x（x-2）＝2（x-2），
3x（x-2）-2（x-2）＝0，
∴（3x-2）（x-2）＝0，
∴x1＝ ，x2＝2．
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可。
18．已知反比例函数（为常数，且）
（1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围；
（2）若点在该反比例函数的图象上，求的值；
【答案】（1）解：∵图象的每一个分支上，随增大而减小，
∴
解得：
（2）解：把代入 中，
∴，
解得：，
【解析】【分析】（1）利用反比例函数的性质，根据图象的每一个分支上，随增大而减小，得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）将点A的坐标代入反比例函数解析式得到关于m的方程，解方程即可求解.
19．网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
【答案】（1）解：如图所示，由相似三角形的性质，可得
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长相应地扩大2倍，即可求解；
（2）由，结合网格线和相似三角形的性质，把的边长扩大倍，即可得到答案.
（1）如图所示，
（2）如图所示，，，，
∴，，
∴
20．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F， =，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【答案】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴==，∴= ，∵AC=14，∴AB=4，∴BC=14﹣4=10；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴==，∴BH=2，∴BE=2+7=9．
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出= ，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）求当4＜x＜a时，y与x之间的函数表达式；
（2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为：，
将点（4，100）代入反比例函数表达式得：k＝4×100＝400，
故函数的表达式为：，
当y＝20时，，则x＝20＝a，
即函数的表达式为：；
（2）解：设时，函数的表达式为：y＝mx＋20，
将点（4，100）代入上式得：100＝4m＋20，解得：m＝20，
即一次函数的表达式为：y＝20x＋20，
令y＝20x＋20＝40，则x＝1，解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，解得：x＝10，
∵10－1＝9，∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
【解析】【分析】（1）观察图象，可得点（4，100），用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求出一次函数的表达式，再求出时，对应两个函数自变量x的值，据此求解．
22． 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，．
（1）求的值；
（2）当，时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：过点A作y轴的垂线，垂足为D．点C为AB的中点，，
又；，
∴，∴，
设，点A在第一象限，则，∴．
（2）解：因为，所以，
由，得，所以，．
当时，x的取值范围是：．
【解析】【分析】（1）过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明，根据全等三角形的性质得到，设，点A在第一象限，则，进而即可得到答案；
（2）根据题意得到，根据全等三角形的性质得到，得到，结合图象即可得到答案.
23．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2 或x=﹣2 （舍去），
即x的值为2
【解析】【分析】（1）根据等比的性质，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，然后代入计算即可求解．
24．如图，点B 是反比例函数 图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C.反比例函数 的图象经过OB 的中点M，与AB，BC 分别相交于点 D，E.连接 DE 并延长交x轴于点F，点G 与点O关于点C 对称，连接BF，BG.
（1）填空：k= .
（2）求△BDF 的面积.
（3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形.
【答案】（1）2
（2）解：连接OD，
则
（3）证明：设点 则点 ，
∵点G与点O关于点C对称， 故点G(8m，0)，
则点E ，
设直线DE的表达式为：
将点D、E的坐标代入上式得 并解
得：，
∴直线DE的表达式为
令 ， 则 ， 故点F(5m， 0)，
故 而
又∵
故四边形BDFG为平行四边形
【解析】【解答】解：(1)设点 则点
则
故答案为2；
【分析】(1) 设点B (s， t) ， st=8， 则点 则
的面积 的面积 即可求解；
(3)确定直线DE的表达式为： 令 则： 故点F (5m，0) ，即可求解.
25．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形
∴AB// CD
∴∠BAC=∠DCF
∵∠EDF=∠BAC
∴∠EDF=∠DCF
∵∠DFP=∠CFD
∴△FDP∽△FCD
（2）解：连接DB交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DOC=90°
在 Rt 中， ， 由勾股定理得：
由 (1) 得：
四边形 A B C D 是菱形
（3）解：∵四边形 ABCD是菱形
∴∠BAC=∠BCA
∵EFllAB
∴∠EFC=∠BAC
∴∠EFC=∠BCA
∴EF=EC
由（1）得：∠FDE=∠BAC=∠BCA
∵∠FPD=∠EPC
∴△FPD∽△EPC
∵ZFPE=LDPC.
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC=∠EFC
∵∠EFC=∠BAC=∠DAC
∴∠PDC=∠DAC
∴∠DCP=∠ACD
∴△DCP∽△ACD
∴CD2 =CP·CA
由 (2) 得：
四边形 A B C D 是菱形
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质及平行线的性质可得∠BAC=∠DCF，再结合∠DFP=∠CFD，可证出；
（2）连接DB交AC于点O，先利用勾股定理求出OF的长，利用线段的和差求出FC的长，再根据，可得，将数据代入求出，再根据，可得，再求出CE的长即可；
（3）先求出，再利用平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入可得，再求出EF的长即可.
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