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【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期中试卷
1．一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．
2．求二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标．
3．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
4．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其
差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．(要求列表或画树状图说明)
5．甲、乙两位同学相约打乒乓球.
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为），若甲从中随机选取1个，则他选中球拍的概率是 ；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？为什么？
6．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
7．已知二次函数；
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
（1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）若，则的取值范围是________．
9．在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
（1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
10．某公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙两人各自随机选择A、B两个出口中的一个离开，请用列表或画树状图法求他们两人选择同一个出口离开的概率．
11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
①请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
②请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2、C2的坐标．
12． 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为.
（1）从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系.
与的几组数据如下表所示：
水平距离x（cm） 0 40 80 120 160 180
竖直高度y（cm） 18 42 50 42 18 0
根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式.
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上.
13．一个不透明的口袋中有三个小球，颜色分别为红、黄、蓝，除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色相同的概率．
14．二次函数的自变量与对应的函数的值部分如表所示：
解答下列问题：
（1）请直接写出二次函数的对称轴是直线 和顶点坐标 ；
（2）表格中的值等于 ；
（3）该抛物线开口向 ．
15．已知二次函数
（1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若m=1，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）若该二次函数图象的顶点坐标为 求m，n的值.
16． 某中学为提升课后服务质量，决定设置“书法”“演讲”“绘画”“舞蹈”及“武术”五门校本课程，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“演讲”在扇形统计图中所对应的圆心角是 °；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“书法”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
17．已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
18．一个不透明的口袋中装有4个红球，6个白球，8个黄球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球．
（1）求摸到的球是白球的概率．
（2）要使摸到黄球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个黄球？
19．从甲学校到乙学校有A1、A2、A3三条线路，从乙学校到丙学校有B1、B2二条线路．
（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；
（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B1线路的概率是多少？
20．如图，内接于是的直径，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
21．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
22．已知抛物线 其对称轴与x轴交于点M，点M 与点A 关于y 轴对称，将点 M 向左平移2个单位长度得到点 B.若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围.
23．已知二次函数．
（1）求这个二次函数的对称轴；
（2）若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值；
（3）若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
24．为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图每位同学必选且只选最喜欢的一类，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有 名，喜欢“文学”类的学生有 名；
（2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是 ，“其他”类所对应的百分比是 ；
（3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是 ．
25．在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
26．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
27．小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
28．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP，BP，CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．
29．已知抛物线y=x2-kx+4k与x轴的一个交点为（-4，0）
（1）求k的值：
（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标
30．如图所示，在中，直径于点，连结CO并延长，交AD于点，且.求的度数.
31．“加快数字中国建设，推进中国式现代化”．在2023年4月3日第六届数字中国建设峰会召开之际，我市某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
组别 成绩（分） 人数
A 10
B
C 16
D 4
（大赛成绩频数分布统计表）
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中 ；统计图中 ．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组中随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
32．已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求该抛物线与y轴交点的坐标．
（2）若点，都在抛物线上，且，，，求的值．
33．如图，在一个长为10cm，宽为6cm的长方形的四个角处，都剪去一个大小相等的正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）请写出图中阴影部分的面积y（cm2）与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当小正方形的边长为2cm时，图中阴影部分的面积为多少？
34．如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ▲ ；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
35．二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 5 …
y … 7 0 ﹣5 ﹣8 ﹣9 7 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
36．如图（一）（二），现有两组扑克牌，每组3张扑克，第一组分别是红桃5、红桃6、红桃7，第二组分别是梅花3、梅花4、梅花5．
（1）现把第一组扑克牌背面朝上并搅匀，如图（一）所示，若从第一组中随机抽取一张牌，求“抽到红桃6”的概率；
（2）如图（一）（二），若把两组扑克牌背面朝上各自搅匀，并分别从两组中各抽取一张牌，试求“抽出一对牌（即数字相同）”的概率（要求用树状图或列表法求解）．
37． 已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点．
（1）求函数和的解析式；
（2）直接写出为何值时，
；
；
38．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
39．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图①中以AB和BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形为中心对称图形；
（2）在图②中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形的面积等于（1）中所画的四边形ABCD的面积；
（3）图①所画的四边形与图②所画的四边形不全等．
40． 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙墙足够长，另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设米，试用含的代数式表示的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
41．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ）．
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求 所在圆的半径．
42．不透明口袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出1个球，放回搅匀，再从口袋中随机摸出1个球，用画树枝状图或列表的方法，有两次摸到的球都是白球的概率．
43．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
44．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
45．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，抛物线有最小值，求的值．
46．圆周上均匀地分布着6个点，从中任意取3个，这三个点正好围成直角三角形的概率是
47．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
48．设二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求的取值范围．
49．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
50．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
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【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期中试卷
1．一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．
【答案】解：一共有四种等可能结果，其中，两种情况符合题意，
∴颜色搭配正确概率的是
【解析】【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出颜色搭配正确的结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
2．求二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标．
【答案】解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5，
∴二次函数的顶点坐标为（3，﹣5）．
【解析】【分析】利用顶点式表达式的特点求解即可．
3．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
【答案】解：∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC===8，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
同理可得：∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AD2=AB2，
∴AD=BD=5.
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出AD、BD的长，解答即可.
4．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其
差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．(要求列表或画树状图说明)
【答案】（1）从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是““3”的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，两次记录的数字之和为3的概率为.
【解析】【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解；
（2）利用树状图可得共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，即可求解；
5．甲、乙两位同学相约打乒乓球.
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为），若甲从中随机选取1个，则他选中球拍的概率是 ；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）
（2）画树状图如下：
第2枚
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴（甲先发球），
（乙先发球），
∵（甲先发球）（乙先发球），
∴这个约定公平．
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得甲选中球拍的概率为，
故答案为：；
【分析】本题考查利用公式求概率及列表法或树状图法求概率．
（1） 从中随机选取1个共有4种可能，选中球拍的事件数为1，利用概率公式进行计算可求出答案；
（2）先画出树状图，据此可求出等可能的结果数，又可求出两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，利用概率公式进行计算可求出甲先发球和乙先发球的概率，再进行比较，可判断游戏是否公平．
6．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
【答案】解：把，代入二次函数解析式得
解得，
∴这个二次函数的表达式为
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
7．已知二次函数；
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：当时，，∴该函数与y轴相交于，
当时，，
解得：，
∴该函数与x轴的交点坐标为．
【解析】【分析】本题考查二次函数的顶点，与坐标轴交点．
（1）通过配方可将该二次函数表达式化为顶点式可得：，据此可求出该函数图象的顶点坐标；
（2）求出当时的函数值，进而可求出与y轴的交点坐标，求出当时可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出与x轴的交点坐标．
（1）解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
∴该函数与y轴相交于，
当时，，
解得：，
∴该函数与x轴的交点坐标为．
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
（1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）若，则的取值范围是________．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）或．
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
则顶点坐标为，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；
（2）如图所示，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∵时，有最小值，则；时，，
∴当，的取值范围是，
故答案为：；
（3）∵图象经过点，对称轴为直线，
由（）可知图象开口向上，
∴若，则的取值范围是或
故答案为：或．
【分析】（1）先结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可；
（2）先画出二次函数图象，再结合函数图象及性质分析求出即可；
（3）结合函数图象并利用，求出x的取值范围即可.
9．在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
（1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
【答案】（1）
（2）解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种，
∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为．
【解析】【解答】（1）解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同，
∴小张恰好坐在①号座位的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接计算概率即可；
（2）先列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的可能结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同，
∴小张恰好坐在①号座位的概率为．
故答案为：；
（2）解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种，
∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为．
10．某公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙两人各自随机选择A、B两个出口中的一个离开，请用列表或画树状图法求他们两人选择同一个出口离开的概率．
【答案】解：根据题意画出树状图如下：
甲、乙、两人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AA）、（AB）、（BA）、（BB），共有4种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种，
所以P（A）＝＝．
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
①请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
②请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2、C2的坐标．
【答案】解：如图所示，△A1B1C1、△A2BC2为①②所作，点A1的坐标为（2，﹣4）、点A2、C2的坐标分别为（﹣2，2），（﹣1，4）
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2，进而写出点A2、C2的坐标.
12． 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为.
（1）从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系.
与的几组数据如下表所示：
水平距离x（cm） 0 40 80 120 160 180
竖直高度y（cm） 18 42 50 42 18 0
根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式.
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上.
【答案】（1）解：乒乓球离桌面竖直高度的最大值为.
设，将代入，
得，解得.
.
（2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上.（只写结论得1分）
理由：将代入中，
得，解得（舍去）或.
，
乒乓球再次落下时仍落在球桌上.
【解析】【分析】（1）设，将点代入求出a的值即可；
（2）将点代入求出h的值，再比较大小并判断即可.
13．一个不透明的口袋中有三个小球，颜色分别为红、黄、蓝，除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球颜色相同的概率．
【答案】解：树状图：
根据题意，可以画出如下树状图：
从树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有 种，其中小球颜色相同的有 种，
列表法：根据题意，列表如下：
从表中可以看出，所有等可能出现的结果共有 种，其中小球颜色相同的有 种，
【解析】【分析】列举出所有情况，看两次摸出小球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
14．二次函数的自变量与对应的函数的值部分如表所示：
解答下列问题：
（1）请直接写出二次函数的对称轴是直线 和顶点坐标 ；
（2）表格中的值等于 ；
（3）该抛物线开口向 ．
【答案】（1）；
（2）7
（3）上
【解析】【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，1），（1，1），
∴对称轴为直线，
当x=0时，y=-1，
∴顶点坐标为（0，-1）．
故答案为：x=0，（0，-1）；
（2）∵（-2，7）与（2，7）关于直线x=0对称，
∴m=7．
故答案为：7；
（3）∵顶点为（0，-1），
设抛物线的解析式为y=ax2-1，
将（1，1）代入y=ax2-1得，a-1=1，
解得：a=2，
∴2＞0，
∴该抛物线开口向上．
故答案为：上．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴，根据表中的数值得到顶点坐标；
（2）根据抛物线的对称性即可求得m的值；
（3）根据待定系数法求出抛物线的解析式，根据a的符号即可得到抛物线开口方向．
15．已知二次函数
（1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若m=1，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）若该二次函数图象的顶点坐标为 求m，n的值.
【答案】（1）解：
∴二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）解：
∵设该抛物线沿x轴向左平移d个单位长度后，得到的抛物线经过原点
∴设平移后的抛物线为
把(0，0)代入 得 ，
解得d=1或d=2.
即该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）解： ∴对称轴
把 代入 得
∴抛物线的顶点坐标为
解得m=2，
即m、n的值分别为2，
【解析】【分析】(1)先把抛物线解析式化为一般式
再计算判别式的值，然后根据抛物线与x轴的交点问题进行判断；
(2)先整理设该抛物线沿x轴向左平移d个单位长度后，得到的抛物线经过原点，则设平移后的抛物线为 依题意把(0，0)代入 解得d=1或d=2.即可作答.
(3)根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为 则 然后解一次方程即可得到m、n的值.
16． 某中学为提升课后服务质量，决定设置“书法”“演讲”“绘画”“舞蹈”及“武术”五门校本课程，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“演讲”在扇形统计图中所对应的圆心角是 °；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“书法”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）120；99
（2）解：条形统计图中，选修“舞蹈”的学生人数为：，
则选修“绘画”的学生人数为：120-30-33-18-15=24（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：把“书法”“演讲”“绘画”“舞蹈”及“武术”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【解析】【解答】解：（1） 参与本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120（名），
“演讲”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120；99.
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据题意先求出选修“舞蹈”的学生人数为18名，选修“绘画”的学生人数为24名，最后补全条形统计图即可；
（3）先画树状图，再求出共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，最后求概率即可。
17．已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
【答案】（1）解：因为，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：因为抛物线的开口向下，且对称轴是直线，
所以当时，随的增大而减小，
当. 时，随的增大而增大．
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，再根据抛物线性质即可求出答案.
（2）根据抛物线性质，开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大，即可求出答案.
18．一个不透明的口袋中装有4个红球，6个白球，8个黄球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球．
（1）求摸到的球是白球的概率．
（2）要使摸到黄球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个黄球？
【答案】（1）解：根据题意分析，
可得口袋中装有红球4个，白球6个，黄球8个，共18个球，
∴；
（2）解：设需要在这个口袋中再放入x个黄球，
由题可得：，
解得，
经检验：是原方程的解，
答：需要在这个口袋中再放入2个黄球．
【解析】【分析】（1）根据概率公式可以得出答案，概率的计算公式是：P(A)=m/n，“(A)”表示事件，“m”表示事件（A）发生的总数，“n”是总事件发生的总数；
（2）设需要在这个口袋中再放入x个黄球，根据黄球的概率即可列出关于x的方程，解出方程即可得到答案.
19．从甲学校到乙学校有A1、A2、A3三条线路，从乙学校到丙学校有B1、B2二条线路．
（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；
（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B1线路的概率是多少？
【答案】解：（1）利用列表或树状图的方法表示从甲校到丙校的线路所有可能出现的结果如下：
A1 A2 A3
B1 （A1、B1） （A2、B1） （A3、B1）
B2 （A1、B2） （A2、B2） （A3、B2）
（2）∴小张从甲学校到丙学校共有6条不同的线路，其中经过B1线路有3条，∴P（小张恰好经过了B1线路）=．
【解析】【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，注意要不重不漏；
（2）依据表格或树状图即可求得小张从甲学校到丙学校共有6条不同的线路，其中经过B1线路有3条，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
20．如图，内接于是的直径，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：连接，如图所示：
∵，是的直径，
∴，
∴，
设的半径为，
∵，
∴中，，
∴中，，
即，
解得，
∴的半径为5．
【解析】【分析】（1）根据是的直径可得，再根据可得，则，即；
（2）连接，根据，是的直径可得，，设的半径为，在中，根据勾股定理可得，在中，，即，解得，即的半径为5．
21．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
【答案】解：分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：
小西小南 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，
∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率= ＝ ．
【解析】【分析】 利用列表法列举出所有等可能的结果有9种，其中小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，然后利用概率公式计算即可.
22．已知抛物线 其对称轴与x轴交于点M，点M 与点A 关于y 轴对称，将点 M 向左平移2个单位长度得到点 B.若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围.
【答案】解：∵抛物线的对称轴为x=-2，∴M(-2，0)，A(2，0)，B(-4，0).
①当a>0时，只有顶点在线段AB 上时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点，
把点 M(-2，0)代入得4a-8a+3=0，解得.
②当a<0时，∵抛物线与线段AB 恰有一个交点，
∴当x=2时，y=12a+3≤0，解得
综上所述 或
【解析】【分析】先求出点M，A，B的坐标，然后分为a>0或a<0两种情况，结合图象，求出a的取值范围即可.
23．已知二次函数．
（1）求这个二次函数的对称轴；
（2）若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值；
（3）若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【答案】（1）解：∵，对称轴，故这个二次函数的对称轴为直线，
（2）解：∵，对称轴为直线，∴当时，有最小值，
当时，有最大值，
即，
解得：，
．
（3）解：由题意可知，，解得：，
则二次函数的表达式为，
则对称轴为，顶点坐标为，
，
（1）当在对称轴的左侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴，
解得：（舍去），
（2）当在对称轴的右侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴，
解得：（舍去），
（3）当在对称轴的两侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴或，
解得：（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
【解析】【分析】本题是对二次函数性质的综合应用，需熟练掌握对称轴公式、开口方向对函数最值的影响，以及分类讨论思想在区间最值问题中的应用.
（1）根据对称轴公式，代入可得对称轴x=1，
（2）因a<0，抛物线开口向下，结合对称轴x=1，可以明确在范围内，x=-4时取得最小值，x=1时取得最大值，列方程求解得a，b进而得a+b的值.
（2）用待定系数法求出二次函数的表达式，再分m-2与m在对称轴同侧、异侧的情况，结合最大值与最小值的差为8，求解m的值.
（1）解：∵，对称轴，
故这个二次函数的对称轴为直线，
（2）解：∵，对称轴为直线，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值，
即，
解得：，
．
（3）解：由题意可知，，
解得：，
则二次函数的表达式为，
则对称轴为，顶点坐标为，
，
（1）当在对称轴的左侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴，
解得：（舍去），
（2）当在对称轴的右侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴，
解得：（舍去），
（3）当在对称轴的两侧时，即时，
∵的最大值与最小值的差8，
∴或，
解得：（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
24．为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图每位同学必选且只选最喜欢的一类，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有 名，喜欢“文学”类的学生有 名；
（2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是 ，“其他”类所对应的百分比是 ；
（3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】【解答】解：（1）艺术类共有45人，占总数的15%，故总数为：45÷15%=300（人）；
喜欢文学的学生人数有：300×25%=75（人）；
故答案为：300；75.
（2）扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数为：.
“其他”类所对应的百分比是.
故答案为：90；16%.
（3）将艺术记作A、文学记作B、科普记作C、传记记作D、其他记作E，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数为2.
∴恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）用艺术类人数÷所占百分比可得总人数，用总人数×所占百分比可得喜欢文学类的人数；
（2）用360°×所占比值得到“科普”类所对应的圆心角的度数；用“其他”类对应的人数÷总人数×100%即可得"其他"类所对应的百分比；
（3）画树状图，表示出所有的结果数，以及恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的结果数，再用概率计算公式计算即可.
25．在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，
故小明获胜的概率为 ．
【解析】【分析】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，再求概率即可。
26．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
【答案】（1）解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据旋转性质可得，，则，再根据待定系数法将点C'代入反比例函数表达式即可求出答案.
（2）作轴于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，则，过作轴于，根据，结合三角形面积即可求出答案.
27．小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，
∴他获胜的概率是：
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
28．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP，BP，CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．
【答案】解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC
∴BQ=CP，AQ=AP，
∵∠1+∠3=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP=AP，
∴△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，
∵∠APB=113°，
∴∠6=∠APB﹣∠5=53°，
∵∠AQB=∠APC=123°，
∴∠7=∠AQB﹣∠4=63°，
∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=64°，
∴以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°．
【解析】【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP，则△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，然后分别求出△QBP的三个内角的度数即可．
29．已知抛物线y=x2-kx+4k与x轴的一个交点为（-4，0）
（1）求k的值：
（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标
【答案】（1）解：根据题意得，16＋4k＋4k＝0，
所以k＝－2；
得抛物线的解析式为y＝x2＋2x－8
（2）解：∵x2＋2x－8＝0，
解得x1＝－4，x2＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（2，0）
【解析】【分析】（1）把已知点代入抛物线的解析式即可求出k的值；
（2）由（1）可知抛物线的解析式，将求抛物线与x轴的另一个交点坐标二点问题转化为一元二次方程求解问题，然后解方程即可求得另一个交点坐标.
30．如图所示，在中，直径于点，连结CO并延长，交AD于点，且.求的度数.
【答案】解：如图，连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥BD，
∴∠BDC=∠C，
∵∠BOC=2∠BDC，
∴∠BOC=2∠C，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠BOC+∠C=90°，
即2∠C+∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠AOC=60°.
【解析】【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CF∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠BDC=∠C，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC=2∠BDC，则∠BOC=2∠C，进而根据直角三角形的两锐角互余可求出∠C的度数，从而求出∠BOC的度数，由邻补角求出∠AOC的度数，最后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠ADC的度数.
31．“加快数字中国建设，推进中国式现代化”．在2023年4月3日第六届数字中国建设峰会召开之际，我市某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
组别 成绩（分） 人数
A 10
B
C 16
D 4
（大赛成绩频数分布统计表）
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中 ；统计图中 ．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组中随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
【答案】（1）；
（2）解：①设男同学标记为A、B，女同学标记为1、2．可能出现的所有情况列表如下：
A B 1 2
A —
B —
1 —
2 —
（可以用树状图表示）
共有12种可能的结果，且每种结果的可能性相同．
其中刚好抽到1男1女的结果有8种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为；
②从上表中可知，至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种不同的结果．
∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．
【解析】【解答】解：（1）A组人数为10，其所占百分比为20%，可得参加竞赛的总人数为：=50（人），由此可得
m=50-10-16-4=20（人），
n==32％，
故答案为：20；32；
【分析】（1）题中表格和扇形统计图，用A组的人数除以其所占百分比可以求出参加竞赛的总人数，再根据各组频数之和等于本次调查的总人数可求出m的值，进而用C组的频数除以本次调查的总人数可求出n的值；
（2）①用列表法求概率，将所有情况列出来，根据表格将所求情况总数计算出来，然后用概率=所求情况的总数总情况的数量即可；
②至少一名女生被抽取的情况，根据①的表格可以计算出所有情况，概率=所求情况的总数总情况的数量，即可求解.
32．已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求该抛物线与y轴交点的坐标．
（2）若点，都在抛物线上，且，，，求的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线与y轴交点的坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点，，且，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．
【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点式求得c=-3，从而求得抛物线与y轴交点的坐标；
（2）根据点，都在抛物线上，且，，， 得到，， 进而求的， 代入计算从而求解.
33．如图，在一个长为10cm，宽为6cm的长方形的四个角处，都剪去一个大小相等的正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）请写出图中阴影部分的面积y（cm2）与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当小正方形的边长为2cm时，图中阴影部分的面积为多少？
【答案】（1）解：y＝10×6﹣4x2，
即图中阴影部分的面积y（cm2）与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式为：y＝60﹣4x2；
（2）解：自变量x应满足，即0≤x≤3，
所以自变量x的取值范围为0≤x≤3；
（3）解：当x＝2时，y＝60﹣4×22＝44，
答：图中阴影部分的面积为 44cm2．
【解析】【分析】（1）阴影部分面积y等于长方形面积减去4个角上小正方形的面积；
（2）根据小正方形的边长x必须不大于长方形宽的一半，由此可得x的取值范围；
（3）把x=2代入函数关系式，即可求出阴影部分的面积．
34．如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ▲ ；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图，如图所示：
，
共有9种等可能的结果数，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，
所以两人选到同一条绳子的概率．
【解析】【解答】解：共有三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐姐从这三根绳子中随机选一根，
姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为。
【分析】（1）根据共有三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为；
（2）画出树状图，由图可知共有9种等可能的结果数，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，根据概率公式可得两人选到同一条绳子的概率。
35．二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 5 …
y … 7 0 ﹣5 ﹣8 ﹣9 7 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
【答案】解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c得
，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8；
（2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9），对称轴为直线x=1．
【解析】【分析】（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c中，根据待定系数法即可求得；
（2）把解析式化成顶点式即可求得．
36．如图（一）（二），现有两组扑克牌，每组3张扑克，第一组分别是红桃5、红桃6、红桃7，第二组分别是梅花3、梅花4、梅花5．
（1）现把第一组扑克牌背面朝上并搅匀，如图（一）所示，若从第一组中随机抽取一张牌，求“抽到红桃6”的概率；
（2）如图（一）（二），若把两组扑克牌背面朝上各自搅匀，并分别从两组中各抽取一张牌，试求“抽出一对牌（即数字相同）”的概率（要求用树状图或列表法求解）．
【答案】解：（1）第一组分别是红桃5、红桃6、红桃7，
∴P（抽到红桃6）=；
（2）方法一：画树状图如下：
∵由树状图可知，共有9种机会均等的情况，其中抽出一对牌（即数字相同）只有一种情况，
∴P（抽出一对牌）=．
方法二：列表如下：
3 4 5
5 （5，3） （5，4） （5，5）
6 （6，3） （6，4） （6，5）
7 （7，3） （7，4） （7，5）
∵由树状图可知，共有9种机会均等的情况，其中抽出一对牌（即数字相同）只有一种情况，
∴P（抽出一对牌）=．
【解析】【分析】（1）由第一组分别是红桃5、红桃6、红桃7，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图或列出表格，然后由树状图或表格求得所有等可能的结果与抽出一对牌（即数字相同）”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
37． 已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点．
（1）求函数和的解析式；
（2）直接写出为何值时，
；
；
【答案】（1）解：把点、点、点代入得，
，
解得，
；
把点和点代入得，
解得，
．
（2）解：如图，在同一坐标系中画出和的图象，
由图象可得当时，；当或时，；当或时，．
【解析】【分析】（1）由函数图象上的点的坐标与函数之间的关系，利用待定系数法列出方程组即可求解；
（2）利用在同一坐标系中画出 和的图象，根据图象即可求解.
38．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）解：令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
【解析】【分析】（1）由题易得，再代入二次函数y=ax2-2ax+3求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A、B的坐标，由P在第二象限可知，进而根据不等式性质得到，再根据增减性求解即可；
（3）由易得0，再分类讨论，①当点、位于对称轴两侧时，②当点P、Q位于对称轴同侧时，利用增减性和对称性建立不等式求解即可．
（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
39．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图①中以AB和BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形为中心对称图形；
（2）在图②中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形的面积等于（1）中所画的四边形ABCD的面积；
（3）图①所画的四边形与图②所画的四边形不全等．
【答案】解：如图①所示，四边形ABCD为中心对称图形；
如图②所示，四边形ABCE的面积等于四边形ABCD的面积．
【解析】【分析】利用中心对称图形的性质以及四边形面积求法得出四边形ABCE面积等于四边形ABCD的面积．
40． 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙墙足够长，另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设米，试用含的代数式表示的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
【答案】（1）解：设米，可得；
（2）解：小英说法正确；
理由：矩形面积，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，
面积最大的不是正方形．
故小英说法正确．
【解析】【分析】（1）根据 米， 结合图形求出BC的值即可；
（2）利用矩形的面积公式求出 ， 再求出当时，取最大值， 最后作答即可。
41．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ）．
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求 所在圆的半径．
【答案】（1）解：如图1，
点O为所求；
（2）解：连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为 的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD= AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即 所在圆的半径是50m．
【解析】【分析】（1）连接AC、CB，分别作出AC、CB的中垂线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，由垂径定理可知OC⊥AB、AD=AB=40，设出⊙O的半径为r，在在Rt△OAD中借助勾股定理列出r的方程，据此即可解答。
42．不透明口袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出1个球，放回搅匀，再从口袋中随机摸出1个球，用画树枝状图或列表的方法，有两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】解：如图所示： ，共有9种等可能的结果数，“两次摸到的球都是白球”的结果数为4，所以“两次摸到的球都是白球”的概率=
【解析】【分析】根据题意画出树状图，画图的时候要注意：从口袋中随机摸出1个球，放回搅匀，再从口袋中随机摸出1个球，由图知共有9种等可能的结果数，“两次摸到的球都是白球”的结果数为4，根据概率公式即可得出两次摸到的球都是白球的概率。
43．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
【答案】（1）解：如图2，，
，
平分，
，
，
答：此时的值是；
（2）解：当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，
；
（3）或或或
【解析】【解答】解：（3）分四种情况：①当时，如图4，，
；
②当时，如图5，则，
，；
③当时，如图6，则，
，
④当时，如图7，
，，；
综上，的值是或或或．
故答案为：或或或（对一个给一分）
【分析】(1)根据三角板得∠DCE=30°，再根据角平分线的定义得∠ACE的度数，最后由旋转的速度可得t的值.
(2)根据题意用t的代数式分别表示出∠DCA与∠ECB的度数，相减可得数量关系.
(3)分四种情况讨论：AB分别和△DCE三边平行，还有AC∥DE，计算旋转角并根据速度列方程可得结论.
44．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用等角对等边证明即可。
（2）利用勾股定理分别求出BD ， PB 再利用等腰三角形的性质即可解决问题。
45．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，抛物线有最小值，求的值．
【答案】（1）解：将点，点代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：，
抛物线的最小值是，对称轴为，
和不可能在抛物线对称轴的两侧，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
综上所述：或．
【解析】【分析】（1）二次函数解析式里有两个未知系数，题中给定两点坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）把抛物线的解析式整理成顶点式，抛物线开口向上，x=1时有最小值-4，题中给定抛物线最小值5，说明x的取值不可能在对称轴的两侧，而应该同在对称轴的左侧或者右侧，故分两种情况分别计算：当在对称轴左侧时，即时，x=a+1有最小值5，可求解出符合条件的a，当在对称轴右侧时，即时，x=a-2有最小值5，可求解出符合条件的a，综合两种情况即可。
46．圆周上均匀地分布着6个点，从中任意取3个，这三个点正好围成直角三角形的概率是
【答案】
【解析】【解答】解：∵圆周上均匀地分布着6个点，
∴可形成3条直径，
∵每条直径可形成4个直角三角形，
∴一共可以形成3×4个直角三角形，
∵6个点任取3个点共有：6×5×4=120种情况，
∵每个点会反复重复6次，
∴最终共有120÷6=20种情况，
∴这三个点正好围成直角三角形的概率为：
故答案为：.
【分析】先计算出符合条件的所有情况，计算总共有多少种情况时需要去掉重复的，最后根据概率计算公式，即可求解.
47．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【答案】（1）和
（2）
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为．
如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，得到n的最大值．
当过，得到n的最小值．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
故答案为：和．
（2）∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
【分析】（1）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得轴，画出每个点绕点旋转后的对应点，再根据“伴随点”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据第一象限内点的坐标特征可得在第一象限，根据“伴随点”的定义可得点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则：，根据旋转性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据第一象限内点的坐标特征可得，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得k，b值，再分类讨论：当在上时，当在上时，将点坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意设抛物线的解析式为，则其关于原点对称的抛物线解析式为，根据题意作出绕点O逆时针旋转得到，再根据“伴随点”的定义即可求出答案.
（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
故答案为：和．
（2）∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
（3）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为．
如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，得到n的最大值．
当过，得到n的最小值．
48．设二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，二次函数化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
【解析】【分析】（1）运用配方法化为顶点式解题即可；
（2）得到抛物线过点，代入即可求得的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）根据已知条件代入得到 ，解题即可．
（1）解：当时，二次函数
化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
故答案为：．
49．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
【答案】解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，
∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点，
∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，
∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE，
∴FH=EF=1，
∴，
∴，
∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°，
∴.
【解析】【分析】连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，利用正六边形的性质可求出EP的长，同时可证得AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠FAE=∠FEA=30°，AE=2HE，同时可求出FH的长；利用勾股定理求出HE的长，可得到AE的长；然后证明∠AEP=90°，利用勾股定理求出AP的长.
50．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在和中，，，．
【初识图形】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为．
【深度探析】
如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
（2）的度数为，的度数为；
（3）求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
（4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）连接，如图所示：
∴在和中，，，，，，
，
，
，
，
，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴
，
故答案为：；
（3）证明：延长相交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的中点；
（4）由（1）和图可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
由题意可知，，
，，
∴；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示：
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，；
综上，或或
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得BD，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案；
（2）根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得角BAE，∠BAC，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得∠BCF，再根据补角即可求出答案.
（3）延长相交于点，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（4）分情况讨论：由（1）和图可知，时，；在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，根据边之间的关系即可求出答案；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据勾股定理即可求出答案.
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