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浙教版2025—2026学年九年级上册期中模拟争先领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（ ）
A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm
2．下列事件中的不可能事件是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后国徽一面朝下
B．随意翻一下日历，翻到的号数是偶数
C．这个月有雨
D．今年夏天的最高气温达到了100℃
3．定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值为
B．当时，函数图象的顶点到直线的距离为
C．函数图象恒过两个定点和
D．当时，函数在时，随的增大而增大
4．把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
5．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线x=1.
有下列5个结论： ① abc>0； ②a-b+c<0；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤ n(an+b)>a+b，(n为实数且n≠1)
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
9．抛物线可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2．
12．，，，四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为 ．
13．将二次函数的图像向上平移a个单位长度，当抛物线经过点时，a的值为 ；当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为 ．
14．如图“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称的概率是 ．
15． 如图，点O为等边△ABC内一点AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则四边形AO1BO的面积是 ．
16．已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．小军和小刚两位同学在学习”概率“时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 7 9 6 8 20 10
（1）计算“2点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小军说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率是”；小军的这一说法正确吗？为什么？
（3）小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？
18．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
（1）求证：AC=BD.
（2）若CD=8，EF=2，求⊙O的半径.
19．某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如下表：
x 10 11 12 13 14 …
y 200 180 160 140 120 …
（1）求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
（2）若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
20．如图，在三角形ABC中， ∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F.证明：DF ⊥ AI.
21．某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
22．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
23．甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
24．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1）求b的值.
（2）点在抛物线上，点在抛物线上.
①若，且，求h的值；
②若，求h的最大值.解答：
25．已知二次函数y＝ax2+2ax-2a（a＞0）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t-1≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，求t的取值范围．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期中模拟争先领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（ ）
A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm
【答案】D
【解析】【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm-3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直径＝6cm+3cm＝9cm，
即该圆的直径为3cm或9cm．
故答案为：D．
【分析】此题需要分类讨论：①当点在圆内时，②当点在圆外，两种情况进行解答.
2．下列事件中的不可能事件是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后国徽一面朝下
B．随意翻一下日历，翻到的号数是偶数
C．这个月有雨
D．今年夏天的最高气温达到了100℃
【答案】D
【解析】【解答】解：A、抛一枚硬币，落地后国徽一面朝下，是随机事件，故选项错误；
B、随意翻一下日历，翻到的号数是偶数，是随机事件，故选项错误；
C、这个月有雨，是随机事件，故选项错误；
D、今年夏天的最高气温达到了100℃，是不可能事件，故选项正确．
故选D．
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
3．定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值为
B．当时，函数图象的顶点到直线的距离为
C．函数图象恒过两个定点和
D．当时，函数在时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】因为函数 的特征数为
A、 当 时， 函数的最大值为 此结论正确；
B、 当 时， 顶点坐标是
所以过顶点平行直线 的直线为 所以直线 与y轴的交点为
而直线 与y轴的交点为( 两交点的长度为
所以顶点到直线 的距离为此结论正确；
C、 当 时，
当 时，
即函数图象恒过两个定点(1，0)和( 此结论不正确.
D、 当 时， 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线 在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当 时， 即函数在 时，y随x的增大而增大，此结论正确；
故答案为： C.
【分析】A、 把 代入 求得[a，b，c]，求得解析式，化成顶点式解答即可；B、利用平行线的性质求得直线 与过顶点平行直线 的直线与y轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题；C、代入x的值，验证即可解答.D、根据二次函数的性质即可解答.
4．把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是，
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
5．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：这个实验一共有甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁六种等可能结果，其中满足条件的有一种乙和丁，
故恰好抽到乙、丁两位同学的概率为，
故答案为：B．
【分析】利用概率公式求解即可。
6．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
，，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC=40°，再根据旋转可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线x=1.
有下列5个结论： ① abc>0； ②a-b+c<0；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤ n(an+b)>a+b，(n为实数且n≠1)
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上
∴a>0
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴
∴b<0
∵抛物线与y轴交于负半轴
∴c<0，
∴abc>0.
故①正确；
②当x=-1时，y>0，
∴a-b+c>0
故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴x=2与x=0的函数值相同
∴x=2时，y<0，即4a+2b+c<0
故③错误；
④∵，
∴b=-2a
将b=-2a代入a-b+c>0得3a+c>0
故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴x=1时，函数的最小值为a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
∴a+b+c≤an2+bn+c.
∴n(an+b)>a+b(n为实数且n≠1)
故⑤正确；
综上，正确的有①④⑤，一共3个
故答案为：C.
【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；根据x=-1时，y>0，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得x=2时，y<0，可对③进行判断；由对称轴为直线x=1可得b与a的关系，将b=-2a代入a-b+c>0可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断.
8．如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AFD=125°，
∴∠DFE=180°－125°=55°，
∵FD∥BC，
∴∠B=∠DFE=55°（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADC=∠B=55°（同弧或等弧所对的圆周角相等），
故选B．
【分析】根据补角可得∠DFE，再根据直线平行性质可得∠B=∠DFE=55°，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
9．抛物线可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+2）2-5的顶点坐标为（-2，-5），
∴平移的方法可以是向左平移2个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-2，-5），由此确定平移规律.
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线X=2，
∴，即4a+b=0，故（1）正确；
由图像可知当x=-3时，9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，故（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为( 1，0)，
∴a b+c=0
∵b= 4a，
∴a+4a+c=0，即c= 5a，
∴8a+7b+2c=8a 28a 10a= 30a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C(，y3)，
∴(，y3）
∵ 3< <，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1方程a(x+1)(x 5)=0的两根为x= 1或x=5，
过y= 3作x轴的平行线，直线y= 3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1< 1<5正确的有①③⑤
故答案为：B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0，可对（1）作出判断；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c<0，即9a+c<3b，可对（2）作出判断；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a<0，可对（3）作出判断；利用抛物线的对称性得到（，y3），然后利用二次函数的增减性求解，就可得出y1、y2、y3的大小，可对（4）作出判断；过y= 3作x轴的平行线，直线y= 3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，然后依据函数图象进行判断，可对（5）作出判断，综上所述可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2．
【答案】108
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点M，连接OC，
AB=AC且BC=12 cm．
BM=CM=BC=6 cm．
∵圆的半径等于10 cm．
cm．
cm．
cm．
cm2．
故答案为108
【分析】过点A作于点M，连接OC，根据勾股定理得出OM的值，进而得出AM，再利用三角形面积公式求解即可。
12．，，，四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中A、B两位选手抽中相邻跑道的结果有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种，
∴A、B两位选手抽中相邻跑道的概率为；
故答案为：.
【分析】此题是抽取不放回类型，先画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中A、B两位选手抽中相邻跑道的结果有6种，再由概率公式求解即可.
13．将二次函数的图像向上平移a个单位长度，当抛物线经过点时，a的值为 ；当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为 ．
【答案】4；3或7
【解析】【解答】解：将二次函数y=x2-4x-3的图像向上平移a个单位长度所得解析式为y=x2-4x-3+a，将（0，1）代入可得1=a-3，
解得a=4.
∵抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点，
∴△=(-4)2-4(a-3)=0，
解得a=7.
当抛物线经过原点时，有a-3=0，
解得a=3，
∴a=3或7.
故答案为：4、3或7.
【分析】根据二次函数图象的几何变换可得平移后的解析式为y=x2-4x-3+a，将（0，1）代入计算可得a的值；由抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点可得△=0或抛物线经过原点，据此求解.
14．如图“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，∵可选4个方格，
∴完成的图案为轴对称图案的概率＝，
故答案为：．
【分析】结合图形，求出完成的图案为轴对称图案的概率＝，即可作答。
15． 如图，点O为等边△ABC内一点AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则四边形AO1BO的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】
解：∵将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合
∴ △AOC≌△AO1B
∴ AO=AO1=OO1=8，OC=O1B=10，
∵ OB=6
∴ OB2=36
∵ O1B2=100，OO12=64，
∴ OB2+OO12=O1B2
∴ OO1⊥OB
∴ S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=
即S四AO1BO=24+16
【分析】本题考查图形旋转的性质及直角三角形、等边三角形的判定和三角形的面积计算，熟悉旋转的性质（旋转前后的图形全等）和直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）和等边三角形的面积公式（a为边长，则S等边=）是关键。根据旋转的性质得△AOC≌△AO1B，则有AO=AO1=OO1=8，判定△O1OB为直角三角形，可得 S四AO1BO=S△AO1O+S△BO1O=24+16.
16．已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角，
∴FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，
由旋转得GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠FDG=∠EDA，
易证△FDG≌△EDA（SAS），
∴∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，
当GF=EG时，如图所示：
易证△FGD≌△EGD（SSS），
∴∠EGD=108°，
∴∠FGE=144°；
当GF=EF时，如图所示：
∵GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠AGD=∠GAD=72°，
∴∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，
∴A、F、G共线，
∵GF=EF，GF=EA，
∴EF=EA，
∴∠EFG=∠EAG=36°，
∴∠FGE=72°，
综上所述，或，
故答案为：或
【分析】先根据三角形全等的性质结合等腰三角形的性质即可得到FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，进而根据旋转的性质得到GD=AD，∠GDA=36°，从而得到∠FDG=∠EDA，再根据三角形全等的判定与性质证明△FDG≌△EDA（SAS）即可得到∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，分类讨论：当GF=EG时，易证△FGD≌△EGD（SSS），进而结合题意即可求解；当GF=EF时，根据等腰三角形的性质结合题意得到∠AGD=∠GAD=72°，∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，进而得到A、F、G共线，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小军和小刚两位同学在学习”概率“时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 7 9 6 8 20 10
（1）计算“2点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小军说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率是”；小军的这一说法正确吗？为什么？
（3）小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？
【答案】解：（1）2点朝上出现的频率==；
5点朝上的概率==；
（2）小军的说法不正确，因为3点朝上的概率为，不能说明3点朝上这一事件发生的概率就是 ，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
（3）小刚的说法是不正确的，因为不确定事件发生具有随机性，所以6点朝上出现的次数不一定是100次．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可；
（3）利用随机事件发生的概率的意义直接回答即可确定答案．
18．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
（1）求证：AC=BD.
（2）若CD=8，EF=2，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：，OE为半径，
.
，，。
，。
（2）解：设的半径为r，如图，连接OC.
，，，
，
，，
的半径为5.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到CF=DF，利用三线合一得到AF=BF，然后根据线段的和差解答即可；
（2）利用勾股定理解答即可.
19．某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如下表：
x 10 11 12 13 14 …
y 200 180 160 140 120 …
（1）求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
（2）若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式是
由题意可得，
解得，
所以，y与x之间的函数表达式是：；
由题意可得，，
即每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式为：；
（2）解：由题意得．
解得．
由得对称轴为：．
∵，．
∴水果的销售单价为13元时，可获得最大利润．此时，
即每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价是13元，该天的最大利润是980元．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，再利用待定系数法求出销售量与单价的函数解析式，再利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式即可；
（2）先将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
20．如图，在三角形ABC中， ∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F.证明：DF ⊥ AI.
【答案】证明：因为 是 的外角，所以，
又 ，则 .
而 ，因此，E、C、D、I四点共圆．
从而，
故
又 ，
于是， △ADI≌△AFI ，有 ，即
是 等腰三角形 ．且AI是顶角的角平分线．
因此． ．
【解析】【分析】由已知得∠AID=∠BAI+∠ABI=∠BAC+∠ABC=45°，根据DE∥AI，得∠EDI=45°，由此可得E、C、D、I四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠DIE=90°，进而∠AIF=∠AID，易证△ADI≌△AFI，得到AD=AF，即△ADF是等腰三角形.又由已知得，AI是顶角的角平分线，故得到DF⊥AI. 此题综合性强，证明E、C、D、I四点共圆是解题的关键.
21．某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
【答案】（1）解：设每千克应涨价为x元，由题意得：
（22﹣12+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝5．
答：每千克应涨价5元．
（2）解：设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w＝（a﹣12）[500﹣20（a﹣22）]
＝﹣20a2+1180a﹣11280
当时，有最大值为6125．
答：当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元．
【解析】【分析】（1）设每千克应涨价为x元，根据题意即可列出关于x的一元二次方程，解出x，再根据使顾客得到实惠，舍去不符合题意的x，即可得出答案；
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，即可得出w关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得出答案．
22．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中和为正数的结果有6种，
∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为
【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小明两次摸出小球上的数字的和为正数的结果数，然后根据概率公式求解.
23．甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】解：根据题意画出树状图如下：
一共有4种情况，确保两局胜的有3种，
所以，P=
【解析】【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
24．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1）求b的值.
（2）点在抛物线上，点在抛物线上.
①若，且，求h的值；
②若，求h的最大值.解答：
【答案】（1）解：∵抛物线 的顶点横坐标为 ， 的顶点横坐标为 1，
∴，∴
（2）解：∵点 在抛物线 上，
∴，
∵ 在抛物线 上，
∴，
∴.
①∵，∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴；
②将代入，
，
，
，
∴当，即时，h取最大值.
【解析】【分析】(1)根据题意求出y=-x2+2x的顶点坐标为(1，1)，确定抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标为2，即可求解；
(2)根据题意得出，y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t)，然后整理化简得h=-t2-2x1t+2x1+4t.①将h=3t 代入求解即可；②将x=t-1代入整理为顶点式，即可得出结果.
25．已知二次函数y＝ax2+2ax-2a（a＞0）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t-1≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵x＝-＝-2，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝-1
（2）解：y＝ax2+2ax-2a＝a（x+1）2-3a，
∵a＞0，
∴当x＝-1时，二次函数有最小值为-3a，
当-2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值a，
∵当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为2，
∴a-（-3a）＝2，
∴a＝．
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x-1
（3）解：∵二次函数图象的对称轴是直线x＝-1，
∴当x＝3与x＝-5时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t-1≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：-4≤t≤2
【解析】【分析】（1）利用对称轴x=进行计算即可；
（2）由y＝ax2+2ax-2a＝a（x+1）2-3a，在-2≤x≤1内，当x＝-1时，二次函数有最小值为-3a，当x＝1时函数有最大值a，根据y的最大值与最小值的差为2， 建立方程并解之即可；
（3）由二次函数图象的对称轴是直线x＝-1，可知当x＝3与x＝-5时的函数值相等，由于抛物线的开口方向向上，可得，解之即可.
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