课件19张PPT。章末总结 网络建构 主题串讲 网络建构网络点拨
1.一种关系:直线的倾斜角与斜率的关系.
2.五种直线方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.
3.两种直线位置关系:平行与垂直.
4.三种距离:两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离.
5.两种求直线方程方法:直接法、待定系数法. 主题串讲一、直线的斜率与倾斜角
【典例1】 (2015珠海希望之星月考)已知直线l过原点,点M,N坐标分别为(3,1),(1,3),则当l与线段MN相交时l的斜率的取值范围是 .?规律方法 直线倾斜角和斜率及其关系关注点:
(1)倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)倾斜角α与斜率k的对应关系.
①α≠90°时,k=tan α;
②α=90°时,k不存在.
(3)倾斜角与斜率的单调性问题.
当直线l的倾斜角为α∈[0°,90°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而增大;
当直线l的倾斜角α∈(90°,180°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而减小.规律方法 巧设直线方程解决问题
求直线方程时,要根据题目条件灵活选择直线方程的形式,并注意其适用范围:点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线,一般式虽然可以表示任何直线,但要注意A,B不同时为零,必要时要对特殊情况进行讨论.若不做特殊说明,求出的直线方程一般化为一般式.即时训练2-1:直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6,求直线l的方程.规律方法 两直线平行与垂直的判定:
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2?k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另一个不存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行.
(2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.答案: -2四、距离问题
【典例4】 已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1规律方法 点到直线的距离的求解策略:
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.点击进入检测试题 谢谢观赏
Thanks!课件25张PPT。第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率 自主预习 课堂探究 自主预习1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.
2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.
3.掌握过两点的直线的斜率公式.课标要求知识梳理1.直线的倾斜角
(1)直线l的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)倾斜角的范围:
当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为 .x轴向上平行或重合0°≤α<180°正切值 tan α 自我检测1.(直线倾斜角的概念)如图所示,直线l的倾斜角为( )
(A)45°
(B)135°
(C)0°
(D)不存在BBA 4.(直线的倾斜角概念)若直线l经过二、四象限,则其倾斜角α的范围是 .?
答案:90°<α<180°
5.(直线斜率与倾斜角关系)直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为 .?
答案:135° 课堂探究直线的倾斜角、斜率的定义题型一【教师备用】
1.任何直线都有倾斜角和斜率吗?
提示:任何直线都有倾斜角.但不是任何直线都有斜率,只有倾斜角不是90°的直线才存在斜率.2.斜率的正、负、零与倾斜角的大小有怎样的对应关系?【例1】 (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
(A)30° (B)60° (C)30°或150° (D)60°或120°
(2)直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k= 时,α=60°;当k= 时,
α=135°;当k>0时,α的范围是 ;当k<0时,α的范围是 .?题后反思 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角.
(2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大;
②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.斜率公式的应用题型二【教师备用】
斜率公式与两点顺序有关吗?与x轴或y轴平行时,斜率公式适用吗?题后反思 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.即时训练2-1:设A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求实数m的值.【备用例2】 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.直线的斜率的应用题型三【例3】 已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.题后反思 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时,一般按以下规律求解.
直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时,斜率由0逐渐增大到+∞;按顺时针方向时,斜率由0逐渐减小到-∞.这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系,也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.【备用例3】 已知三点A(0,-1),B(1,2),C(2,5).
求证:三点在同一直线上.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件23张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 自主预习 课堂探究 自主预习1.理解两条直线平行或垂直的条件.
2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直.课标要求知识梳理设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,若l1∥l2,则k1 k2;反之,若k1=k2,则l1 l2.特别地,若两条不重合的直线的斜率不存在,则这两条直线也平行.1.两条直线平行的判定2.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 ;反之,如果它们的斜率之积等于 ,那么它们互相垂直,即 ?
l1⊥l2,l1⊥l2? .=∥-1-1k1k2=-1k1k2=-1自我检测BC B 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则k2= .?4.(两直线垂直关系)答案:2 课堂探究两条直线的平行关系题型一【教师备用】
1.两条直线平行其倾斜角什么关系?反之呢?
提示:两条直线平行其倾斜角相等;反之不成立.
2.有人说:两条直线平行,斜率一定相等.这种说法对吗?
提示:不对,若两直线平行,只有在它们都存在斜率时,斜率相等,若两直线都垂直于x轴,虽然它们平行,但斜率都不存在. 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3);
(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1, ),N(-2,-2);
(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).【例1】题后反思 判断两条不重合直线是否平行的步骤两条直线的垂直关系题型二【教师备用】
如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?
提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线它们的斜率一个是0,另一个不存在时,两条直线也互相垂直,但斜率的积不为-1.【例2】 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.题后反思 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则将点的坐标代入斜率公式.
(2)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1⊥l2;l1与l2斜率都存在时,满足k1·k2=-1. 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),
D(-1,a-2),如果l1⊥l2,则a= .?即时训练2-1:答案:5或-6直线平行与垂直关系的应用 题型三【例3】 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.题后反思 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率,特别是含参数的问题,必须要分类讨论;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.即时训练3-1:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),
B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .?【备用例2】 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.【备用例3】 如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,
四边形PECF是矩形,求证:PA⊥EF.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件22张PPT。3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解直线的点斜式方程的推导过程.
2.掌握直线的点斜式方程并会应用.
3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念.课标要求知识梳理1.直线的点斜式方程(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 .x=x02.直线的斜截式方程
(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程 叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式.y=kx+b(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程.截距直角自我检测1.(直线的点斜式方程)直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
(A)2 (B)-1 (C)3 (D)-3
2.(直线的点斜式方程)过点P(-2,0),斜率为3的直线方程是( )
(A)y=3x-2 (B)y=3x+2 (C)y=3(x-2) (D)y=3(x+2)
3.(直线的斜截式方程)直线y=2x-4在y轴上的截距为( )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 .?
答案:y=-3x+2CDC 若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a= .?5.(两直线平行或垂直关系) 课堂探究直线的点斜式方程题型一【教师备用】
使用直线的点斜式方程有什么条件?提示:点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在,因此点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线,过点P(x1,y1),且与x轴垂直的直线方程可写成x=x1.【例1】 根据下列条件写出直线的方程.
(1)经过点A(-1,4),倾斜角为135°;
(2)经过点B(1,-2),且与y轴平行;
(3)经过点C(-1,2),且与x轴平行.解: (1)因为倾斜角为135°,所以k=tan 135°=-1,
所以直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
(2)因为直线与y轴平行,所以倾斜角为90°,
所以直线的斜率不存在,所以直线方程为x=1.
(3)因为直线与x轴平行,所以倾斜角为0°,所以y=2.题后反思 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.即时训练1-1:根据条件写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(-1,4),倾斜角为60°;
(2)经过点B(4,2),倾斜角为90°;
(3)经过原点,倾斜角为60°;
(4)经过点D(-1,1),与x轴平行.【思维激活】 已知△ABC中,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC于D,求直线AD的方程.【备用例1】 已知直线l过点A(2,1),且斜率与直线y-1=4x-3的斜率互为负倒数,求直线l的方程.【备用例2】 直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为5,试求l的方程.直线的斜截式方程题型二【教师备用】
1.直线的斜截式方程与一次函数有何关系?
提示:当k≠0时,斜截式方程y=kx+b是一次函数的形式;而一次函数y=kx+b中,k是直线的斜率,常数b是直线在y轴上的截距,一次函数表示直线,但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式.
2.截距与距离有何区别?
提示:截距与距离是两个不同的概念,截距b可以大于等于或小于0,而距离只能是非负的实数.题后反思 直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程. (1)倾斜角为30°,在y轴上的截距是-3的直线的斜截式方程为 ;?
(2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为 .?即时训练2-1:平行与垂直的应用 题型三【例3】 当a为何值时,
(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?
(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?题后反思 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:
y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2
?两条直线重合;③l1⊥l2?k1·k2=-1.即时训练3-1:已知直线l过点A(2,-3).
(1)若l与直线y=-2x+5平行,求其方程;
(2)若l与直线y=-2x+5垂直,求其方程.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件23张PPT。3.2.2 直线的两点式方程 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解直线方程的两点式的推导过程.
2.会利用两点式求直线的方程.
3.掌握直线方程的截距式,并会应用.课标要求知识梳理(2)说明:与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.自我检测B A B 4.(中点坐标公式)若已知A(1,2)及AB中点(2,3),则B点的坐标是 .
答案:(3,4)
5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是 .?
答案:x-y-1=0 课堂探究直线的两点式方程题型一【教师备用】
1.直线的两点式方程运用条件是什么?提示:当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两点式表示.提示:前者不能表示垂直于坐标轴的直线,后者适用于过任意已知两点的直线.【例1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程.题后反思 求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.即时训练1-1:三角形的三个顶点是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形三边所在直线的方程.直线的截距式方程题型二【教师备用】
1.直线的截距式方程适用的条件是什么?提示:截距存在且不为零,过原点的直线,与坐标轴垂直的直线都不能用截距式方程表示.提示:都不是.截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为1.题后反思 利用截距式求直线方程的策略
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可;
(2)选用截距式求直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时,采用截距式求直线方程,要注意考虑“零截距”的情况.即时训练2-1:已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.【思维激活】 (2015日照一中月考)过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条.?解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0)共三条.
答案:3【备用例1】 (2015青岛一中联考)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点(6,-2),求直线l的方程.【备用例2】 求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.直线方程的应用题型三题后反思即时训练3-1:一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 .?答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件22张PPT。3.2.3 直线的一般式方程 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解二元一次方程与直线的对应关系.
2.掌握直线方程的一般式.
3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.课标要求知识梳理直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.自我检测A B B 4.(一般式的应用)直线x+y+1=0在y轴上的截距为 .?
答案:-1
5.(求直线的一般式方程)过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线方程为 .?
答案:2x+y-4=0 课堂探究求直线的一般式方程题型一【教师备用】
直线的一般式方程的理解
1.当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?题后反思 根据已知条件求直线方程的策略:
在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:
(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.利用直线一般式方程解决平行、垂直问题题型二 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y
+2=0互相垂直?【例2】题后反思 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0和l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便. 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1∥l2?l1⊥l2?即时训练2-1:【备用例1】 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.解: (1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.
所以所求直线的方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
所以所求直线的方程为4x-3y+13=0.直线的一般式方程的应用题型三【例3】 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.题后反思 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题.
(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.即时训练3-1:求平行于直线2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.【备用例2】 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件20张PPT。3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.
2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.
3.掌握两点间距离公式并能灵活应用.课标要求知识梳理自我检测C 2.(由斜率确定两直线位置关系)与直线2x-y-3=0相交的直线的方程是( )
(A)4x-2y-6=0 (B)y=2x
(C)y=2x+5 (D)y=-2x+3
3.(两点间的距离)已知点P(3,2),Q(-1,2),则P、Q两点之间的距离为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4DD4.(两直线的交点)直线y=x+2与直线y=-x+2a的交点在x轴上,则a= .?
答案: -1答案: -2或6 课堂探究两条直线的交点问题 题型一【教师备用】
两直线相交的条件
1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况?提示:有三种:平行、相交、重合.2.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断两条直线的位置关系?题后反思 (1)解本题有两种方法:一是采用常规方法,先通过解方程组求出两直线交点,再根据平行关系求出斜率,由点斜式写出直线方程;二是设出过两直线交点的方程,再根据平行条件待定系数求解.
(2)过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含直线l2).即时训练1-1:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且分别满足下列条件的直线l的方程
(1)直线l与直线3x-4y+1=0平行;
(2)直线l与直线5x+3y-6=0垂直.【备用例1】 求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.两点间距离公式的应用 题型二【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状.
(2)求△ABC的面积.题后反思 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.【备用例2】 △ABC中,D是BC边上的一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+
|BD||DC|.求证:△ABC为等腰三角形.证明:作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).
已知|AB|2=|AD|2+|BD||DC|,则由两点间距离公式得b2+h2=d2+h2+(d-b)(c-d),化简,得-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).
因为点D与点B,C不重合,所以d-b≠0,
故-b-d=c-d,即-b=c.
所以|OB|=|OC|,于是|AB|=|AC|,即△ABC为等腰三角形.对称问题题型三【例3】 光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.题后反思 (1)光线的反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点,使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题.解决这类问题的方法是设对称点坐标,由“垂直”和“平分”列方程解得.(3)求直线关于l对称的直线方程,可转化为求直线上的点关于l的对称点的问题解决.即时训练3-1:(2015蚌埠一中月考)若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b= .?点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件21张PPT。3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握点到直线的距离公式.
2.能用公式求点到直线的距离.
3.会求两条平行直线间的距离.课标要求知识梳理自我检测D B B 4.(两平行线间的距离)直线y=2x与直线y=2x+5间的距离是 .?答案:3或-1 课堂探究点到直线的距离题型一【教师备用】
1.点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗?
提示:公式中直线方程必须为一般式,如果不是,必须先将方程化为一般式方程,再利用公式求距离.
2.点到直线的距离公式对于A=0,B≠0或A≠0,B=0或P点在直线l上的情况是否适用?
提示:适用.(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.题后反思 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.即时训练1-1:(2015江西广昌一中月考)已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m= .?两条平行直线间的距离题型二答案: (1)D (2)x-y-1=0或x-y+3=0题后反思 求两平行线间距离一般有两种方法:
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.距离公式的综合应用 题型三【例3】 求经过点P(1,2),且使A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线l的方程.题后反思 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后由题意列方程求参数.也可以应用平面几何的有关知识,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程.即时训练3-1:(2015宝鸡园丁中学)直线l经过点P(2,-5),且到点A(3,-2)和B(-1,6)的距离之比为1∶2,求直线l的方程.【备用例3】 在△ABC中,A(1,0),B(0,-2),点C在抛物线y=x2上,求△ABC面积的最小值.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!第三章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的倾斜角和斜率
1、2、17
两条直线的位置关系
4、6、10、18
交点、距离问题
5、8、9、14
直线的方程
3、7、11、13
综合应用
12、15、16、19、20
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015吉林学业水平检测)在直角坐标系中,直线x-y-3=0的倾斜角是( B )
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:直线的斜率k=,倾斜角为60°,故选B.
2.(2015许昌四校联考)若A(-2,3),B(3,-2),C三点共线,则m的值为( A )
(A) (B)- (C)-2 (D)2
解析:由=,得m=,故选A.
3.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
(A)2x+y-1=0 (B)2x+y-5=0
(C)x+2y-5=0 (D)x-2y+7=0
解析:设所求直线方程为2x+y+c=0又过点P(-1,3),
则-2+3+c=0,c=-1,故所求直线方程为2x+y-1=0,
故选A.
4.(2015湖南师大附中)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为( A )
(A)-8 (B)0 (C)2 (D)10
解析:直线2x+y-1=0的斜率k=-2,
所以=-2,
解得m=-8,选A.
5.两条平行线l1:4x-3y+2=0与l2:4x-3y-1=0之间的距离是( B )
(A)3 (B) (C) (D)1
解析:两条平行线l1:4x-3y+2=0与l2:4x-3y-1=0之间的距离d==,故选B.
6.直线l1:(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线l2:(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直,则a的值是( B )
(A)- (B) (C) (D)
解析:因为l1⊥l2,所以(3-a)(2a+1)+(2a-1)(a+5)=0,所以a=,故
选B.
7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该定点的坐标为( A )
(A)(-2,1) (B)(2,1) (C)(1,-2) (D)(1,2)
解析:直线变形为m(x+2)-(y-1)=0,故无论m取何值,点(-2,1)都在此直线上,故选A.
8.(2015银川一中期末)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是( B )
(A) (B)- (C)2 (D)-2
解析:由得交点为(-1,-2),代入方程x+ky=0,得-1-2k=0,所以k=-,故选B.
9.过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( A )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0
解析:设原点为O,P(1,2),则kOP=2,当直线的斜率为-时,所求直线方程与原点的距离最大,所以此时直线方程为x+2y-5=0,故选A.
10.(2015兰州55中期末)点P(7,-4)关于直线l:6x-5y-1=0的对称点Q的坐标是( C )
(A)(5,6) (B)(2,3) (C)(-5,6) (D)(-2,3)
解析:设Q(m,n),则解得m=-5,n=6,所以点P(7,-4)关于直线l:6x-5y-1=0的对称点Q的坐标是(-5,6), 故选C.
11.已知直线l过点(1,2),且在x轴截距是在y轴截距的2倍,则直线l的方程为( C )
(A)x+2y-5=0
(B)x+2y+5=0
(C)2x-y=0或x+2y-5=0
(D)2x-y=0或x-2y+3=0
解析:当直线在两坐标轴上的截距都为0时,设直线l的方程为y=kx,把点(1,2)代入方程,得2=k,即k=2,所以直线的方程为2x-y=0;当直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设直线的方程为+=1,把点(1,2)代入方程,得+=1,即b=,所以直线的方程为x+2y-5=0.故选C.
12.经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等,则直线l的方程为( C )
(A)2x-y-3=0 (B)x=2
(C)2x-y-3=0或x=2 (D)以上都不对
解析:满足条件的直线l有两种情况:①过线段AB的中点;②与直线AB平行.
由A(1,1),B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3),
所以直线x=2满足条件.由题意知kAB==2.
所以直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,
综上可知直线l的方程为x=2或2x-y-3=0,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a= .?
解析:令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,得a=.
答案:
14.已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),在△ABC中,BC边上的中线长为 .?
解析:BC中点为即(-1,2),所以BC边上中线长为=.
答案:
15.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程的一般式为 .?
解析:解方程组得交点为(2,1),
由题意知所求直线斜率为-,
所以直线方程为y-1=-(x-2),
化为一般式为2x+3y-7=0.
答案:2x+3y-7=0
16.已知点A(4,-3)与B(2,-1)关于直线l对称,在l上有一点P,使点P到直线4x+3y-2=0的距离等于2,则点P的坐标是 .?
解析:由题意知线段AB的中点C(3,-2),kAB=-1,故直线l的方程为y+2=x-3,即y=x-5.设P(x,x-5),则2=,
解得x=1或x=.
即点P的坐标是(1,-4)或.
答案:(1,-4)或
三、解答题(本大题共4小题,共40分)
17.(本小题满分10分)当m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.
(1)倾斜角为45°.
(2)在x轴上的截距为1.
解:(1)倾斜角为45°,则斜率为1.
所以-=1,解得m=-1,m=1(舍去),
直线方程为2x-2y-5=0符合题意,所以m=-1.
(2)当y=0时,x==1,
解得m=-,或m=2,
当m=-,m=2时都符合题意,
所以m=-或m=2.
18.(本小题满分10分)已知直线l1:ax+by+1=0,(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,
(1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值;
(2)当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.
解:(1)若b=0,则直线l1:ax+1=0(a≠0).又因为l1⊥l2,所以可得a(a-2)=0,所以a=2,a=0(舍去),所以a=2.
(2)当b=3时,l1:ax+3y+1=0,当l1∥l2时,有
解得a=3.
此时,l1的方程为3x+3y+1=0,
l2的方程为x+y+3=0即3x+3y+9=0,
则它们之间的距离为d==.
19.(本小题满分10分)
△ABC中,已知A(-1,2),B(3,4),C(-2,5)
(1)求BC边上的高AH所在的直线方程;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)由题意得kBC==-,
所以kAH=5,
所以AH所在的直线方程为y-2=5(x+1),
即5x-y+7=0.
(2)BC所在的直线方程为y-4=-(x-3),
即x+5y-23=0,
点A到直线BC的距离为
d==.
又|BC|==,
所以S△ABC=×|BC|×d=××=7.
20.(本小题满分10分)
光线从点A(2,3)射入,若镜面的位置在直线l:x+y+1=0上,反射光线经过B(1,1),求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从A到B所走过的路线长.
解:设点A关于直线l的对称点为A′(x0,y0),
因为AA′被l垂直平分,
所以
解得
因为A′(-4,-3),B(1,1)在反射光线所在直线上,
所以反射光线的方程为=,
即4x-5y+1=0.
解方程组
得入射点的坐标为.
由入射点及点A的坐标得入射光线方程为=,即5x-4y+2=0.
故光线从A到B所走过的路线长为
|A′B|==.
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的倾斜角、斜率的定义
1、3、4、6、9、10
斜率公式
2、5、7
直线斜率的应用
8、11、12、13
基础巩固
1.给出下列命题:
①任何一条直线都有惟一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;
④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系.
正确命题的个数是( A )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由倾斜角0°≤α<180°知②不对;
又平行于x轴的直线的倾斜角都是0°,有无数条,所以③不对;同理,④不对,只有①是正确的.故选A.
2.(2015日照一中月考)过点A（-,）与B（-,）的直线的倾斜角为( A )
(A)45° (B)135° (C)45°或135° (D)60°
解析:kAB===1,故选A.
3.(2015青岛一中联考)若经过A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( A )
(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,-1) (D)(-1,+∞)
解析:由l的倾斜角为锐角,可知kAB=>0,即m<1.选A.
4.(2015陕西府谷三中月考)若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角,则l的倾斜角为( C )
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120°
解析:直线l可能有两种情形,如图所示,故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.
5.(2015宝鸡园丁中学月考)若经过P(-2,2m)和Q(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值为( B )
(A)1 (B)2 (C)1或4 (D)1或2
解析:由=1,得m=2,故选B.
6.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为 .?
解析:由题意知,b≠a,
所以k==1,
故倾斜角为45°.
答案:45°
7.在平面直角坐标系中,画出过点P(1,2)且斜率为1的直线l.
解:设A(x1,y1)是直线l上与P不重合的一点,
则=1,
即y1=x1+1.
设x1=0,则y1=1,
于是A(0,1),
所以过点A(0,1)和P(1,2)的直线即为l,如图.
8.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.
证明:因为kAB==2,
kAC==2.
所以kAB=kAC.
因为直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A,
所以直线AB与直线AC为同一直线.故A,B,C三点共线.
能力提升
9.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( C )
(A)k1(B)k2(C)k1(D)k2解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由题图可知α3<
α2<90°<α1,
故相应斜率的关系为k1<0故选C.
10.已知M（1,）,N（,3）,若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:设直线MN的倾斜角为α,
则tan α===,α=60°,
所以直线l的倾斜角为30°,斜率为,
故选B.
11.(2015河南禹州一中月考)若A(2,-3),B(4,3),C（5,）在同一条直线上,则k= .?
解析:由题意,得kAB==,
得k=12.
答案:12
12.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时,求直线AD的斜率的变化
范围.
解:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率
kAB==,
直线AC的斜率
kAC==,
所以直线AB的斜率为,AC的斜率为.
(2)如图,当D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,
所以直线AD的斜率的变化范围是[,].
探究创新
13.已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值.
解:如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,
且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,
并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).
由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=,
所以可求得的最大值为2,最小值为.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线平行关系
1、2、6、9
两直线垂直关系
3、4、7、10、12
两直线平行、垂直关系的应用
5、8、11、13
基础巩固
1.下列说法正确的是( C )
(A)如果两条直线平行,则它们的斜率相等
(B)如果两条直线垂直,则它们的斜率互为负倒数
(C)如果两条直线的斜率之积为-1,则两条直线垂直
(D)如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于y轴
解析:如果两条直线平行,斜率存在时会相等,还有斜率不存在的情况,故A错;同理B错;如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于y轴或与y轴重合,故D错;只有C正确,故选C.
2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( B )
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
解析:因为MN∥PQ,所以kMN=kPQ,即=,解得m=-1,故选B.
3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形
解析:如图所示,易知kAB==-,kAC==,由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.
4.若点A(0,1),B（,4）在直线l1上,l1⊥l2,则直线l2的倾斜角为( C )
(A)-30° (B)30° (C)150° (D)120°
解析:kAB==,故l1的倾斜角为60°,l1⊥l2,所以l2的倾斜角为150°,故选C.
5.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是( B )
(A)梯形 (B)平行四边形
(C)菱形 (D)矩形
解析:如图所示,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,
kBD=-,kAC=,
所以kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-,
故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直.
所以四边形ABCD为平行四边形.故选B.
6.已知△ABC中,A(0,3)、B(2,-1),E、F分别为AC、BC的中点,则直线EF的斜率为 .?
解析:因为E、F分别为AC、BC的中点,
所以EF∥AB.所以kEF=kAB==-2.
答案:-2
7.已知直线l1过点A(-2,3),B(4,m),直线l2过点M(1,0),N(0,m-4),若l1⊥l2,则常数m的值是 .?
解析:由l1⊥l2得,kAB·kMN=-1,
所以·=-1,解得m=1或6.
答案:1或6
8.已知在?ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判断?ABCD是否为菱形.
解:(1)设D(a,b),由四边形ABCD是平行四边形,
得kAB=kCD,kAD=kBC,
即解得
所以D(-1,6).
(2)因为kAC==1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1.
所以AC⊥BD.
所以?ABCD为菱形.
能力提升
9.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为( D )
(A)1 (B)0 (C)0或2 (D)0或1
解析:m=0时,直线AB与CD斜率均不存在,互相平行;m≠0时,=,解得m=1,故选D.
10.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )
(A)(0,-6) (B)(0,7)
(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)
解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.
又kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,
即·（-）=-1,解得y=-6或y=7.
所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.
11.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= .?
解析:若l1⊥l2,
则k1k2=-1,
即-=-1,b=2,
若l1∥l2,则Δ=9+8b=0,b=-.
答案:2 -
12.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D和BC上一点M,试确定M的位置,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直.
解:如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD=5,AB=3,
可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),
因为AC⊥DM,
所以kAC·kDM=-1,
所以·=-1,即x==3.2,即BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.
探究创新
13.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图,由于kAB=3,kBC=0,
所以kAB·kBC=0≠-1,
即AB与BC不垂直,
故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰.
①若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD.
因为kBC=0,所以CD的斜率不存在,从而有x=3.
又kAD=kBC,所以=0,即y=3.
此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3,3).
②若AD是直角梯形的直角腰,
则AD⊥AB,AD⊥CD.
因为kAD=,kCD=,
由于AD⊥AB,所以·3=-1.
又AB∥CD,所以=3.
解上述两式可得此时AD与BC不平行.
综上可知,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或（,）.
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的点斜式方程
1、5、6、7、8、10
直线的斜截式方程
2、3、4、9
直线平行与垂直的应用
11
基础巩固
1.方程y=k(x-2)表示( B )
(A)通过点(2,0)的一切直线
(B)通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线
(C)通过点(-2,0)的一切直线
(D)通过点(2,0)且除去x轴的一切直线
解析:方程y=k(x-2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率.故选B.
2.(2015天水一中高一期末检测)倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是( D )
(A)x-y+1=0 (B)x-y-1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+1=0
解析:因为倾斜角为135°,
所以斜率为-1,
所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0,故选D.
3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( B )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0
(C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
解析:由图象知,
k>0,b<0,故选B.
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( D )
(A)y=x+4 (B)y=2x+4
(C)y=-2x+4 (D)y=-x+4
解析:与直线y=2x+1垂直,故斜率为-,所以所求的直线方程为y=-x+4,故选D.
5.下列四个结论:
①方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线;
②直线l过点P(x1,y1),倾斜角为90°,则其方程为x=x1;
③直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1;
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确的个数为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①中k=表示的直线上少一点(-1,2),y-2=k(x+1)则表示整条直线,故不正确;②③正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故④不正确,故选B.
6.(2015安康旬阳一中月考)已知一直线过点P(0,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等,则该直线方程是 .?
解析:因直线y=-2x+3的斜率为-2,故由点斜式可得直线方程y-2=-2x,即y=-2x+2.
答案:y=-2x+2.
7.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点 .?
解析:将直线方程变形为y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).
答案:(3,2)
8.已知直线l经过点(0,-2),其倾斜角是60°.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.
解:(1)直线l的方程为y+2=(x-0),即y=x-2.
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=,
所求面积S=×2×=.
能力提升
9.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( C )
解析:由直线y=x+a的斜率为1,可排除选项B、D,结合选项A、C可知a<0,因此y=ax的斜率为负数,故排除选项A,选C.
10.已知点A(-2,1),B(3,-1)关于直线l对称,且点（2,）在直线l上,则直线l的方程是 .?
解析:因为kAB==-,且AB⊥l,所以kl=,
又点（2,）在直线l上,
所以直线l的方程为y-=(x-2),即5x-2y-7=0.
答案:5x-2y-7=0
探究创新
11.求斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长为12的直线的方程.
解:设直线方程为y=x+b,
令x=0,得y=b;令y=0,得x=-b,
由题意得|b|+︱-b︱+=12,
整理得|b|+|b|+|b|=12,
解得b=3或-3,
所以所求直线方程为y=x±3,
即3x-4y±12=0.
3.2.2 直线的两点式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的两点式方程
3、4、7、11
直线的截距式方程
2、5、9、10
中点坐标公式,直线方程的理解及应用
1、6、8、12、13
基础巩固
1.下列四个命题中的真命题是( B )
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.
2.直线l过点A(3,0)和点B(0,2),则直线l的方程是( A )
(A)2x+3y-6=0 (B)3x+2y-6=0
(C)2x+3y-1=0 (D)3x+2y-1=0
解析:由直线的截距式方程可得,直线l的方程为+=1,即2x+3y-6=0,故选A.
3.已知M(3,),A(1,2),B(3,1),则过点M(3,)和线段AB的中点的直线方程为( B )
(A)4x+2y=5 (B)4x-2y=5
(C)x+2y=5 (D)x-2y=5
解析:线段AB的中点坐标为(2,).所以所求直线方程为=,即4x-2y=5,选B.
4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( A )
(A)- (B)- (C) (D)2
解析:由直线的两点式方程可得直线方程为=,即2x-y+3=0,令y=0得x=-.故选A.
5.(2015江西崇义中学月考)经过点M(1,1),且在两坐标轴上截距相等的直线是( C )
(A)x+y=2 (B)x+y=1
(C)x+y=2或x=y (D)x=1或y=1
解析:若截距为0,则直线方程为y=x,若截距不为0,设直线方程为+=1,又直线过M点,
所以+=1,所以a=2,故直线方程为x+y=2,故选C.
6.(2015江西广昌一中月考)点M(4,1)关于点N(2,-3)的对称点P的坐标为 .?
解析:设P(x,y),则所以
故点P的坐标为(0,-7).
答案:(0,-7)
7.经过点A(2,1),在x轴上的截距是-2的直线方程是 .?
解析:由题意知直线过两点(2,1),(-2,0),由两点式方程可得所求直线的方程为=,即x-4y+2=0.
答案:x-4y+2=0
8.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,
所以BC的中点D(2,0).
由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.
能力提升
9.直线l1:-=1与直线l2:-=1在同一坐标系中的图象可能是( B )
解析:l1在x轴上的截距为m与l2在y轴上的截距为-m互为相反数,l1在y轴上的截距为-n与l2在x轴上的截距为n互为相反数,符合此关系的只有选项B.故选B.
10.直线l过点P(-1,2),分别与x、y轴交于A、B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为 .?
解析:由题意可得A(-2,0),B(0,4).
故直线l的方程为+=1,即2x-y+4=0.
答案:2x-y+4=0
11.(2015南昌二中月考)经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .?
解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得=,
即x-(a-1)y+3a-4=0.
这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
答案:x-(a-1)y+3a-4=0
12.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
解:因为A、B两点纵坐标不相等,
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD,
所以CD与x轴不垂直,-m≠3,即m≠-3.
①当AB与x轴垂直时,
-m-3=-2m-4,
解得m=-1.
而m=-1时C、D纵坐标均为-1,
所以CD∥x轴,
此时AB⊥CD,满足题意.
②当AB与x轴不垂直时,由斜率公式
kAB==,
kCD==.
因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,
即·=-1,
解得m=1,
综上m的值为1或-1.
探究创新
13.过点P(2,3)作直线l,使l与点A(-1,-2)、B(7,4)的距离相等,这样的直线l存在吗?若存在,求出其方程;若不存在,请说明理由.
解:这样的直线l存在,有两条.
①过点P与线段AB的中点M(3,1)的直线满足题意,
直线l的方程为=,
即2x+y-7=0.
②过点P与直线AB平行的直线满足题意,
直线l的斜率k=kAB==,
直线l的方程为y-3=(x-2),即3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为2x+y-7=0或3x-4y+6=0.
3.2.3 直线的一般式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的一般式方程
1、2、3、9
平行与垂直
4、5、6、10、11
一般式方程的综合应用
7、8、12、13
基础巩固
1.(2015江淮名校联考)直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有( C )
(A)k=-,b=3 (B)k=-,b=-2
(C)k=-,b=-3 (D)k=-,b=-3
解析:由3x+2y+6=0,得y=-x-3,知k=-,b=-3,故选C.
2.(2015嘉峪关期末)如果A·B>0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:把直线方程Ax-By-C=0转化为斜截式为y=x-,因为A·B>
0,B·C>0,所以>0,-<0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第二象限,故选B.
3.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )
(A)3 (B)-3 (C) (D)-
解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.
4.(2015三亚期末)直线l过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( A )
(A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0
(C)2x-3y+5=0 (D)2x-3y+8=0
解析:设所求直线方程为3x+2y+m=0,代入点(-1,2)得3×(-1)+
2×2+m=0,所以m=-1.故直线l的方程是3x+2y-1=0,故选A.
5.(2015扬州竹西中学月考)若两条直线2x-y+a=0和x-+b=0平行,则a,b的取值可能是( D )
(A)2,1 (B), (C)0,0 (D)7,3
解析:由两条直线平行可得a≠2b,验证可知D符合题意,故选D.
6.与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线方程为 .?
解析:设所求直线的方程为3x+4y+c=0,由直线过点(1,2)得3+8+c=0,c=-11,
则所求直线的方程为3x+4y-11=0.
答案:3x+4y-11=0
7.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为 .?
解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.
答案:
8.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.(1)求实数m的范围.
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
解:(1)由解得m=2,
若方程表示直线,则m2-3m+2与m-2不能同时为0,
故m≠2.
(2)由-=1,解得m=0.
能力提升
9.(2015珠海希望之星月考)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为( A )
(A)15x-3y-7=0 (B)15x+3y-7=0
(C)3x-15y-7=0 (D)3x+15y-7=0
解析:由题意得所以
所以直线方程为-5x+y+=0,即15x-3y-7=0.
故选A.
10.直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a等于( C )
(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)-
解析:由(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0化简得1-a2=0,所以a=±1,选C.
11.已知A(0,1),点B在直线l:2x+y=0上运动,当线段AB最短时,直线AB的方程为 .?
解析:当线段AB最短时,AB⊥l,
故kAB=,
直线AB的方程为y-1=x,
即x-2y+2=0.
答案:x-2y+2=0
12.求与直线3x+4y+12=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.
解:因为所求直线l与已知直线平行,可设l的方程为3x+4y+m=0①
直线l交x轴于,交y轴于,
由··=24,得m=±24,
代入①得所求直线的方程为3x+4y±24=0.
探究创新
13.如图,在平行四边形ABCD中,边AB所在的直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0).
(1)求直线CD的方程;
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程.
解:(1)因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AB∥CD,
设直线CD的方程为2x-y+m=0,
将点C(2,0)代入上式得m=-4,
所以直线CD的方程为2x-y-4=0.
(2)设直线CE的方程为x+2y+n=0,
将点C(2,0)代入上式得n=-2.
所以直线CE的方程为x+2y-2=0.
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线的交点
1、5、6、11
两点间的距离
2、3、9
对称问题
7、10、13
综合应用问题
4、8、12
基础巩固
1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点的坐标为 ( C )
(A)(-4,-3) (B)(4,3) (C)(-4,3) (D)(3,4)
解析:由方程组得即交点坐标是(-4,3),选C.
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 ( C )
(A)1 (B)-5 (C)1或-5 (D)-1或5
解析:因为|AB|==5,
所以a=-5或a=1,故选C.
3.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:因为|AB|==,
|BC|==,
|AC|==,
所以△ABC是等腰三角形,故选B.
4.已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( D )
(A) (B)
(C) (D)
解析:法一 因为a+2b=1,所以a=1-2b,代入直线方程得
(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+x+3y=0,
由得
故直线必过定点,选D.
法二 因为a+2b=1,所以a+b-=0.
所以a·+3×+b=0,所以直线ax+3y+b=0过定点,选D.
5.当0(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
解析:解方程组得两直线的交点坐标为,因为00,所以交点在第二象限,故选B.
6.斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为 .?
解析:解方程组得交点为(0,4),所以所求的直线方程为y=-2x+4.
答案:y=-2x+4
7.(2015潍坊四校联考)点P(-3,4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标是 .?
解析:设对称点坐标为(a,b),则
解得即所求对称点的坐标是(5,2).
答案:(5,2)
8.(2015珠海希望之星月考)设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程.
解:设所求的直线方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0,
整理得(2+3λ)x-(4λ+3)y-2λ+2=0,
由题意,得=±1,
解得λ=-1,或λ=-.
所以所求的直线方程为x-y-4=0,或x+y-24=0.
能力提升
9.设A,B是x轴上的不同两点,点P的横坐标为2,|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( A )
(A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0
(C)2y-x-4=0 (D)2x+y-7=0
解析:设P(2,y),由点P在直线x-y+1=0上得P(2,3),设A(x0,0),由点A在直线x-y+1=0上得A(-1,0),由|PA|=|PB|得B的坐标为(5,0),所以直线PB的方程为x+y-5=0.故选A.
10.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为( C )
(A)y=2x+4 (B)y=x-3
(C)x-2y-1=0 (D)3x+y+1=0
解析:设B关于直线y=x+1的对称点为B′(x,y),
则
解得即B′(1,0).
则AC的方程为=,
即x-2y-1=0.
故选C.
11.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0不能围成三角形,则a的取值集合是 .?
解析:因为x+y+1=0与2x-y+8=0相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由x+y+1=0与ax+3y-5=0平行得a=3,由2x-y+8=0与ax+3y-5=0平行得a=-6,由三线共点得a=,故a的取值集合是.
答案:
12.已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x-y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程.
解:由得一顶点为.因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为.
设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,
因为该直线过,
所以m=-16.
设与3x-y+3=0平行的对边所在直线方程为
3x-y+n=0,
同理可知过点,
得n=-13.
故所求直线的方程为x+y-16=0和3x-y-13=0.
探究创新
13.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
且|PB|-|PA|
=|AB|
=
=5.
因为直线BA的斜率
kBA==-,
所以直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0得x=,
即P.
故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,
(2)作A关于x轴的对称点A′,
则A′(4,-1),连接CA′,
则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.
又|CA′|==,
直线CA′的斜率kCA′==-5,
则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0得x=,
即P.
故距离之和最小值为,此时P点的坐标为.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
点到直线的距离
1、2、4、9
两平行线间的距离
3、5、6、10
综合应用
7、8、11、12、13
基础巩固
1.(2015西安高新一中月考)点(1,2)到直线y=2x+1的距离为( A )
(A) (B) (C) (D)2
解析:直线y=2x+1即2x-y+1=0,由点到直线的距离公式得d==,选A.
2.已知点(3,m)到直线x+y-4=0的距离等于1,则m等于( D )
(A) (B)- (C)- (D)或-
解析:=1,解得m=或-,故选D.
3.两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是( B )
(A)b1-b2 (B) (C)|b1-b2| (D)b2-b1
解析:两直线方程可化为kx-y+b1=0,kx-y+b2=0,
所以d=.故选B.
4.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0
解析:所求为过A(1,2),且垂直OA的直线,所以k=-,故所求直线为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.故选A.
5.两平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( B )
(A)0解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|=5,所以06.(2015珠海希望之星月考)直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .?
解析:直线10x+24y+5=0可化为5x+12y+=0,
所以两平行直线间的距离d==.
答案:
7.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为 .?
解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°,
当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,
设过P点的直线为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0.
由d==4,
解得k=.
所以直线的倾斜角为30°.
答案:90°或30°
8.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为.
(1)求直线l的方程.
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
解:(1)由直线方程的点斜式,得y-5=-(x+2),
整理得所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为3x+4y+C=0,
由点到直线的距离公式得=3,
即=3,
解得C=1或C=-29,
故所求直线方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
能力提升
9.点P(m-n,-m)到直线+=1的距离等于( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:直线方程可化为nx+my-mn=0,
故d=
=
=.
故选A.
10.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是( C )
(A)[-11,-1] (B)[-11,0]
(C)[-11,-6)∪(-6,-1] (D)[-1,+∞)
解析:y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0,
由题意,得=≤,
且k+2≠-4即k≠-6,
得-5≤k+6≤5,
即-11≤k≤-1,且k≠-6.选C.
11.已知x+y-3=0,则的最小值为 .?
解析:设P(x,y)在直线x+y-3=0上,A(2,-1),
则=|PA|.
|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d==.
答案:
12.已知△ABC的三个顶点A(4,0),B(8,10),C(0,6).
(1)求过点A且平行于BC的直线方程;
(2)求过B点且与点A,C距离相等的直线方程.
解:(1)kBC=,过A点且平行于BC的直线方程为y-0=(x-4)即x-2y-4=0.
(2)设过B点的直线方程为y-10=k(x-8),
即kx-y-8k+10=0,
由=,
即k=或k=-.
所求的直线方程为y-10=(x-8)或y-10=-(x-8)即7x-6y+4=0或3x+2y-44=0.
探究创新
13.已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.
解:因为AB∥CD,所以可设AB边所在的直线方程为x+3y+m=0.
又因为AD⊥CD,BC⊥CD,
所以可设AD,BC边所在的直线方程为3x-y+n=0.
因为中心M到CD的距离为d==,
所以点M到AD,AB,BC的距离均为.
由=,得|n-3|=6,
所以n=9或-3.
由=,得|m-1|=6,
所以m=7或-5(舍去).
所以其他三边所在的直线方程分别为x+3y+7=0,
3x-y+9=0,3x-y-3=0.
