2.5等腰三角形的轴对称性(2)
【基础训练】
1．等边三角形是_______图形，并且有_______条对称轴；等边三角形的每个角等于_______．
2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是_______．
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝_______．
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且BD＝AD，CE＝AE．判断△ADE的形状，并说明理由．
5．如图，在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，AB＝10
cm．
(1)求BE的长；
(2)BD＝ED吗？为什么？
6．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F．
求证：△OEF是等边三角形．
7．如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．
求证：∠P＝30°．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．
求证：△CEB为等边三角形．
【提优拔尖】
9．以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE．连接AE、BE．
(1)画出图形；
(2)求∠AEB的度数．
10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE、ACD，BD与CE相交于点O．
(1)EC＝BD吗？为什么？
(2)如果要使△ABE和△ACD全等，那么还需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时∠BOC是多少度？
11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B．
求证：AB＝AC＋CD．
12．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC．若△ABC的边长为4，AE＝2，则BD的长为(
)．
A．2
B．3
C．
D．＋1
13．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6BA7的边长为(
)．
A．6
B．12
C．32
D．64
参考答案
1．轴对称
3
60°
2．等边三角形
3．15°
4．△ADE是等边三角形．
5．(1)15
cm
(2)BD=ED
6．略
7．略
8．略
9．(1)如图
(2)150°．
10．(1)EC＝BD．(2)添加条件：AB＝AC，整个图形是轴对称图形，此时∠BOC＝120°．
11．略
12．A
13．C2.3设计轴对称图案
【基础训练】
1．“羊”字象征美好与吉祥，“美、洋、善、祥”都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数为(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题．请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在空白处填上恰当的图形．
3．请你应用轴对称的知识画出图中的三个图形，并涂上彩色，与同学比一比，看谁画得正确、漂亮．
4．用如图(1)所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示)
5．以直线l为对称轴，画出图形的另一半．
6．利用下图设计出一个轴对称图案．
7．如图，某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在下面矩形中画出你的设计方案．
8．下面的四个图案，都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，比如图(1)可以代表针织品、联通；图(2)可以代表法律、公正；图(3)可以代表航海、坚固；图(4)可以代表邮政、友谊等，请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．
【提优拔尖】
9．某市拟建造农民文化公园，将12个场馆排成6行，每行4个场馆，市政府将如图所示的设计图公布后，引起了一群初中生的浓厚兴趣，他们纷纷设计出许多精美的轴对称图形来，请你也设计一幅符合条件的图形．
10．仔细观察图(1)、图(2)、图(3)中阴影部分图案的共同特征，在图(4)、图(5)中再设计两幅具备上述特征的图案．（每小格面积为1）
11．有一个梯形，请在图(1)、图(2)中分别画出一条线段，同时满足以下要求：
(1)线段的一个端点为梯形的顶点，另二个端点在梯形一边的格点上；
(2)将梯形分成两个图形，其中一个是轴对称图形；
(3)图(1)、图(2)中分成的轴对称图形不全等．
12．由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
13．利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计几个轴对称图案，并说明你要表达的意思．
14．把一张正方形纸片如图(1)、图(2)对折两次后，再如图(3)挖去一个三角形小孔，则展开后图形是(
)．
15．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（
）
A．
12
B．
18
C．
2+
D．
2+2
参考答案
1．B
2．
3．略
4．答案不唯一：
5．略
6．略
7．答案不唯一
8．
9．答案不唯一
10．画图略
提示：①都是轴对称图形；②阴影部分面积为4．
11．
12．可利用正方形的四条对称轴构建图形．
13．略
14．C
15．D2.5等腰三角形的轴对称性(1)
【基础训练】
1．等腰三角形是_______，它的对称轴是_______．
2．等腰三角形的两个底角_______，它的_______、_______、________互相重合，简称_______．
3．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果∠A＝70°，那么∠C＝_______，∠B＝_______；
(2)如果∠A＝90°，那么∠B＝_______，∠C＝_______；
(3)如果有一个角等于120°，那么其余两个角分别是_______；
(4)如果有一个角等于55°，那么其余两个角分别是_______．
4．(1)如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为_______；
(2)如果等腰三角形的周长为14，腰长为6，那么底边长为_______；
(3)如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为_______．
5．在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD＝________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB＝10
cm，并且△ABD的周长为23
cm，求△ABC的周长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于(
)．
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
8．某等腰三角形的两条边长分别为3
cm和6
cm，则它的周长为(
)．
A．9
cm
B．12
cm
C．15
cm
D．12
cm或15
cm
9．若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为_______．
10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的大小为_______．
11．在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．
(1)若∠A是顶角，则∠C＝_______；
(2)若∠A是底角，则∠C＝_______．
12．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEM＝_______．
13．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．
【提优拔尖】
14．如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．∠BAD和∠CAE有怎样的关系？请说明理由．
15．利用一把有刻度的直尺，按下列要求画图：
(1)在图(1)中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴；量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D．画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴；
(2)在图(2)中画∠AOB的对称轴，并写出画图的步骤．
16．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(
)．
A．16
B．18
C．20
D．16或20
17．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是(
)．
A．20°
B．50°
C．60°
D．80°
18．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝_______°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°．
20．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB＝AC．
参考答案
1．轴对称图形
顶角平分线所在的直线
2．相等
顶角平分线
底边上的高
底边上的中线
“三线合一”
3．(1)55°
55°
(2)45°
45°
(3)30°，30°
(4)62.5°，62.5°或55°，70°
4．(1)4
(2)2
(3)4，2或3，3
5．60°
6．33(
cm)．
7．D
8．C
9．10或11
10．60°或120°
11．(1)30°
(2)80°
12．100
13．1080
14．∠BAD=∠CAE
15．(1)略
(2)
16．C
17．B
18．40
19．40
20．略2.2
轴对称的性质
【基础训练】
1．成轴对称的两个图形_______．
2．如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是对称点_______的垂直平分线．
3．设A、B两点关于直线MN成轴对称，则_______垂直平分_______．
4．画轴对称图形，首先应确定_______，然后找出_____________．
5．如图，如果△ABC沿直线MN折叠后，与△A'B'C完全重合，我们就说△ABC与△A'B'C'关于直线MN_______；直线MN是_______；点A与点A'叫做_______点，图中还有类似的点是_______，图中还有相等的线段和角，分别为_______．
6．画出下列轴对称图形的对称轴．
7．画出下列图形关于直线l的轴对称图形．
8．画出下列图形关于直线l的轴对称图形．
9．把下列图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
10．如图，在公路l的同侧，有两个居民小区A、B，现需要在公路边建一个液化气站P，要使液化气站到A、B两小区的距离和最短，这个液化气站应建在哪一处？请在图中作出来．（不写作法）
11．画出下列△ABC关于直线l的轴对称图形．
【提优拔尖】
12．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C＝48°，则∠B的度数为(
)．
A．48°
B．54°
C．74°
D．78°
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上点A'处，折痕为CD，则∠A'DB等于(
)．
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
14．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC≌△AMB；③CD＝DN．其中正确的结论是_______．（填序号）选一个你比较喜欢的结论加以说明．
15．如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＋BC＝8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是(
)．
A．8
B．16
C．4
D．10
17．如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线∠对称，则∠B＝_______．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点C'、D'处，C'E交AF于点G．若∠CEF＝70°，则么GFD'＝_______°．
19．Ｐ是∠ＡＯＢ内一点，分别作点Ｐ关于直线ＯＡ、ＯＢ的对称点Ｐ１、Ｐ２连接ＯＰ１、ＯＰ２，则下列结论正确的是
(
)．
Ａ.ＯＰ１⊥ＯＰ２
Ｂ.ＯＰ１＝ＯＰ２
Ｃ.ＯＰ１⊥ＯＰ２
且ＯＰ１＝ＯＰ２
Ｄ.ＯＰ１≠ＯＰ２
20．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．
形状没有改变，大小没有改变
B．
形状没有改变，大小有改变
C．
形状有改变，大小没有改变
D．
形状有改变，大小有改变
参考答案
1．全等
2．连线
3．直线MN
线段AB
4．对称轴
对称点
5．对称
对称轴
对称
点B与点B'，点C与点C'
AB＝A'B'、AC＝A'C、BC＝B'C；
∠A＝∠A'、∠B＝∠B'、∠C＝∠C'
6．
7．略
8．略
9．略
10．
11．略
12．B
13．D
14．①②
15．略
16．A
17．90°
18．40
19．B
20．A2.5
等腰三角形的轴对称性(3)
【基础训练】
1．在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝40°，则△ABC是_______三角形．
2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝1006，则AB＝_______．
3．如图，∠C＝36°∠B＝72°，∠BAD＝36°，找出图中所有的等腰三角形_______．
4．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且∠1＝∠B，∠2＝∠C，BC＝10
cm，求△ADE的周长．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．
求证：AE＝AF．
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于
点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
若BD＋CE＝2013，则线段DE的长为(
)．
A．2014
B．2011
C．2012
D．2013
7．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，那∠AB＝AC吗？为什么？
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
(1)MD＝MB；
(2)MN⊥BD．
【提优拔尖】
9．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．
(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图(1)，求证：BM＝DM，且BM⊥DM；
(2)如果将图(1)中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图(2)，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明．
10．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于点E，交BC于点F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）
11．(1)如图(1)，O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
(2)如图(2)，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠）．求∠AEB的大小．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为(
)．
A．20
B．12
C．14
D．13
13．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．求证：
(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
参考答案
1．等腰
2．2012
3．△ABD，△ABC，△ADC
4．10cm
5．略
6．D
7．AB＝AC
8．略
9．(1)略
(2)当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，(1)中的结论仍成立．
10．
△BOF≌△BOF、△BOF≌△DOF等，证明略．
11．(1)∠AEB＝60°
(2)2AEB＝60°．
12．C
13．略第2章
轴对称图形
2.1
轴对称与轴对称图形
【基础训练】
1．把一个图形沿某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形_______，这条直线就是_______．
2．轴对称是指_______个图形的位置关系；轴对称图形是指_______个具有特殊形状的图形．
3．计算器显示器上的十个数字中是轴对称图形的数字有_______．
4．写出三个是轴对称图形的汉字_______．
5．下列各图中，为轴对称图形的是(
)．
6．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是(
)．
7．指出各图形各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它所有的对称轴．
8．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图所示，请用图形A与B合拼成一个轴对称图形．
9．下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴．
思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴．
当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？
【提优拔尖】
10．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是(
)．
11．用两个圆：O、O，两个三角形：△、△，两条线段：、拼出至少两个对称图形．（画在以下方框内）
12．下图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出对称轴．
13．下列图形中对称轴只有两条的是(
)．
14．下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是(
)．
15．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(
)．
16．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（
）
A．等边三角形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
(2)在(1)问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
参考答案
1．关于这条直线对称
对称轴
2．两
一
3．0，3，8
4．口、吕、品等
5．C
6．C
7．略
8．答案不唯一
9．图略
3
4
5
6
n
圆，无数条
10．D
11．略
12．
13．C
14．A
15．A
16．B
17．D
18．(1)如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．(2)122.4线段、角的轴对称性
【基础训练】
1．线段是轴对称图形，它的对称轴是_______；角是轴对称图形，它的对称轴是_______．
2．角平分线上的任意一点到这个角的两边的_______相等；线段垂直平分线上的点到_______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到_______的所有点的集合；角平分线可以看作是到_______的所有点的集合．
3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2
cm，则PN＝________cm．
4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．
(1)若BE＝10
cm，则EC＝________cm；
(2)若AB＋AC＝8
cm，则△ACE的周长是_______．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是_______；
(2)若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是_______．
6．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．
7．如图，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE－3，则点．P到AB的距离是(
)．
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为( )．
A．30°
B
40°
C．50°
D．60°
9．如图，在△ABC中，边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_______．
10．如图，在△ABC中，BC＝5
cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_______cm．
11．已知∠AOB和C、D两点，求作点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
【提优拔尖】
12．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，要求使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．
13．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的点A'处，DE为折痕，作DF平分∠A'DB，试猜想∠FDE的度数，并说明理由．
14．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
(1)图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明．
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是
BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是_______．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为_______．
17．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝_______．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．
求证：AE＝AF．
19．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°
的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（
）
A．15°或30°
B．30°或45°
C．45°或60°
D．30°或60°
20．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（
）
A．
B．
3
C．
1
D．
参考答案
1．线段的垂直平分线或线段本身所在的直线
角的平分线
2．距离
线段两端点
线段两端点距离相等
角两边距离相等
3．2
4．(1)10
(2)8
cm
5．(1)3
(2)15
6．P是△ABC任意两边垂直平分线的交点
7．A
8．B
9．6
10．5
11．点P是CD的垂直平分线与∠AOB的角平分线的交点，图略．
12．围成的图形正好是三角形，三角形角平分线的交点即为小亭的中心位置．
13．90°．
14．(1)3对，△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC，△ABC≌△ADC．(2)略
15．BD＝CD(答案不唯一)
16．4
17．4：5：6
18．略
19．D
20．A
