课件18张PPT。章末总结 网络建构 主题串讲 网络建构网络点拨
1.一个思路:空间问题平面化
2.一种思想:转化与化归思想
3.两个图形:三视图与直观图
4.两种题型:表面积与体积
5.两种方法:侧面展开与割补 主题串讲一、空间几何体的结构特征
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.解: (1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.
(2)两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.
(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,且勿想当然做出判断.(2)(2015山西忻州高二期中)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 .?规律方法 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几何体.
(2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定几何体的结构特征,再由三视图中的数据确定几何体中的相关数据,代入公式求解即可.规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:
①明确切点和接点的位置;
②确定有关元素间的数量关系;
③作出合适的截面图.
(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.点击进入检测试题 谢谢观赏
Thanks!课件28张PPT。第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念.
3.概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型.课标要求知识梳理平面多边形 它所在平面内 封闭几何体 多边形 公共边 定直线 棱与棱 四边形 平行 两个互 相平行 其余各面 公共边 公共顶点 ABCD-A′B′C′D′ 矩形的一边 轴 垂直于轴 平行于轴 母线 柱体 圆柱OO′ 平行 多边形 三角形 多边形面 三角形面 公共顶点 公共边 S-ABCD 一条直角边 锥体 圆锥SO 平行于棱锥底面 底面 截面 ABCD-A′B′C′D′ 平行于圆锥底面 截面 圆台 台体 圆台OO′ 直径 球体 球 球心 半径 直径 球O 6.简单组合体的结构特征
(1)简单组合体:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:
①由简单几何体 而成;
②由简单几何体 一部分而成.简单几何体拼接截去或挖去自我检测1.(简单几何体的结构特征)(2015大同一中高二(上)月考)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
(A)①是棱台 (B)②是圆台
(C)③是棱锥 (D)④不是棱柱C2.(多面体的结构特征)下列说法错误的是( )
(A)多面体至少有四个面
(B)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
(C)长方体、正方体都是棱柱
(D)三棱柱的侧面为三角形D3.(简单组合体的结构特征)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )D4.(旋转体的结构特征)下列说法正确的是( )
(A)圆锥的母线长等于底面圆直径
(B)圆柱的母线与轴垂直
(C)圆台的母线与轴平行
(D)球的直径必过球心
5.(棱柱的结构特征)对棱柱而言,下列说法正确的序号是 .?
①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.
答案:①③D 课堂探究简单几何体的结构特征题型一【教师备用】
1.有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?提示:不一定.如图所示的几何体中,平面ABC与平面A′B′C′互相平行.其余各面是平行四边形,但它不是棱柱.反之,若一个几何体是棱柱,则它有两个面互相平行,其余各面均是平行四边形是正确的.2.若一个几何体有两个面互相平行,其余面均为梯形,那么它一定是棱台吗?
提示:不一定.因为棱台是由棱锥得到,其侧棱延长应相交于一点,若侧棱延长后不相交于一点,则它不是棱台.
3.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体是圆锥吗?
提示:不一定.以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,才能围成圆锥,若以斜边所在直线为旋转轴,则形成两个对底圆锥.【例1】 (1)(2015嘉兴一中期中)下列命题中,正确的命题是( )
①有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
④四面体都是三棱锥.
(A)②④ (B)①② (C)①②③ (D)②③④
(2)下列叙述正确的是( )
(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥
(B)用一个平面截圆柱,截面一定是圆面
(C)圆锥截去一个小圆锥后,剩下的是一个圆台
(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线解析:(1)①错误;反例:将两个相同的斜平行六面体叠放;②正确,在长方体中可以截出;③错误,侧棱可能无法聚成一点;④正确.故选A.
(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥,为组合体,故A错;用平行于底面的平面去截圆柱,截面才是圆面,故B错.通过圆台侧面上一点有且只有一条母线,故D错.C正确.选C.题后反思 解决该类题目需准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.即时训练1-1:(1)下列说法中,正确的是( )
(A)有一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥
(B)用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台
(C)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形
(D)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
(2)有以下5个命题,其中正确命题的序号是 .?
①三棱柱有6个顶点;
②圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线;
③一直角梯形绕下底(较长边)所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
④圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
⑤到定点的距离等于定长的点的集合是球.解析: (1)由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知,A正确,B、C、D错误.
(2)①正确.
②错.由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.
③错.直角梯形绕下底(较长边)所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
④正确.⑤错,应为球面.答案: (1)A (2)①④折叠与展开问题题型二【例2】 (2015九江一中月考)如图所示平面图形沿虚线折起后,①为 ,②为 ,③为 .?解析:由图①知几何体各侧面是矩形,底面为四边形.该几何体是四棱柱;由图②知几何体各侧面是三角形,底面是三角形,该几何体是三棱锥;由图③知几何体侧面是三角形,底面为四边形,故该几何体是四棱锥.
答案:①四棱柱 ②三棱锥 ③四棱锥题后反思 (1)解答此类问题要结合多面体的结构特征
发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.简单组合体的结构特征题型三【例3】 如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD
当截面不与正方体的一面平行,截面图形如②③.
答案:①②③点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件28张PPT。1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解中心投影与平行投影.
2.能画出简单的空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体模型.课标要求知识梳理1.投影
(1)投影的定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把 叫做投影线,把 叫做投影面.
(2)投影的分类
①中心投影:光由 散射形成的投影.
②平行投影:在一束 照射下形成的投影.
当投影线 时,叫做正投影,否则叫做 .光线留下物体影子的屏幕一点向外平行光线正对投影面斜投影2.空间几何体的三视图前面向后面左面向右面上面向下面自我检测1.(投影)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( )
(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱D解析:一般地,圆柱的正视图是矩形,侧视图是矩形,而俯视图是圆.而球、正方体、三棱锥的三视图形状都相同,大小均相等是可以的,故选D.2.(由几何体画三视图)(2015蚌埠一中高二(上)期中)如图所示的圆锥的俯视图为( )C3.(由三视图画三视图)(2015江西九江外国语中学月考)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )D4.(三视图的识别)(2015太原五中高二(上)月考)一个简单几何体的正视图,侧视图如图所示,则其俯视图不可能为( )
(A)长方形 (B)直角三角形
(C)圆 (D)椭圆C5.(由三视图还原几何体)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 .?答案:圆锥6.(与三视图有关的计算)(2015陕西三元北城中学月考)如图是某个几何体的三视图,由图中所标尺寸,得俯视图中圆的面积为 ,这个几何体的高线长为 .?答案:9π 4 课堂探究简单几何体的三视图题型一【教师备用】
正视图、侧视图、俯视图之间有怎样的关系?
提示:一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.【例1】 画出下列几何体的三视图.解:图(1)的三视图如图所示图(2)的三视图如图所示题后反思 画几何体的三视图时需注意的问题
(1)确定正视的方向,同一物体观察的角度不同,所画的三视图可能不同;
(2)注意辨析分界线,以及轮廓线的实与虚;
(3)正确摆放三个视图的位置.即时训练1-1:(1)(2015台州中学高二(上)期中)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )(2)(2015河南开封实验高中月考)一个几何体的三视图如图所示,则俯视图的面积是 .?(1)解析:被截去的四棱锥的三条可见棱中,
有两条为长方体的面对角线,
它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,
另一条为体对角线,
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,
对照各图,只有D符合.
故选D.答案: (1)D (2)6【备用例1】 (2015陕西三元北城中学月考)三棱锥D-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为 .?简单组合体的三视图题型二【例2】 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图.(单位:cm)解:三视图如图:题后反思 画简单组合体的三视图,首先确定组合体的组成形式,然后确定每个组成部分,最后画出三视图.若相邻两个几何体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要将分界线按虚(或实)线画出.解析:该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体,三视图为B.解析:几何体的俯视图,轮廓是矩形,几何体的上部的棱都是可见线段,所以C、D不正确;几何体的上部的棱与正视图方向垂直,所以A不正确.故选B.【思维激活】 (2014高考江西卷)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )由三视图还原几何体题型三【例3】 (2015吕梁学院附中高二(上)月考)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是( )解析:三棱锥的三视图均为三角形,四个答案均满足,且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥,
A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察;而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A、C表示同一棱锥;
设A中观察的正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥;
B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥,
根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥.
故选D.题后反思 (1)根据三视图还原几何体,要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象,然后综合三视图的形状,从不同的角度去还原.
(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).故选B.(A)三棱锥 (B)三棱柱 (C)四棱锥 (D)四棱柱【备用例2】 (2013高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )解析:由俯视图易知,只有选项D符合题意,故选D.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件21张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.课标要求知识梳理1.斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取 的x轴和y轴,两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=
,它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于 或
的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度 ;平行于y轴的线段,长度为原来的 .
2.空间图形直观图的画法
空间图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.互相垂直45°(或135°)x′轴y′轴不变一半自我检测1.(几何体的直观图画法)利用斜二测画法画正方形的直观图,正确的是图中的( )C2.(由直观图还原几何体)(2015河南开封实验高中月考)如图所示的水平放置的平面图形的直观图,所表示的图形ABCD是( )
(A)任意梯形 (B)直角梯形
(C)任意四边形 (D)平行四边形B3.(斜二测画法规则)(2015江西白鹭洲中学月考)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( )
(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直
(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点
4.(由直观图还原几何体)(2015安徽安庆五校联考)△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
(A)AB (B)AD
(C)BC (D)ACBD5.(由直观图还原几何体)如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 .?答案:③答案:8 cm2 课堂探究画水平放置的平面图形的直观图题型一【例1】 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示.名师导引:如何建立坐标系才方便作图?(画直观图时,在平面图形上建立坐标系时,应使图形的顶点尽量多的在坐标轴上)解:画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.题后反思 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变.即时训练1-1:画一个锐角为45°的平行四边形的直观图.画空间几何体的直观图题型二【例2】 画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图.解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形ABCD的直观图.
(3)画顶点.在Oz轴上任取一点P.
(4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图(如图(2)).题后反思 (1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又快又准的画出.解: (1)画轴.
如图,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,
使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A、B、C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′=BB′=CC′,且都与正视图或侧视图的高相等.即时训练2-1:由下列几何体的三视图画出直观图.(4)成图.顺次连接A′、B′、C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.直观图还原为平面图形题型三【例3】 如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.题后反思 (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件23张PPT。1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法.
2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
3.培养空间想象能力和思维能力.课标要求知识梳理1.柱体、锥体、台体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的
和.面积底面半径 侧面母线长 底面半径 侧面母线长 上底面半径 下底面半径 侧面母线长 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 自我检测CA 3.(求体积)(2015安庆市石化一中高二(一)期中)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为( )
(A)15π (B)30π (C)12π (D)36π
4.(求表面积)(2015大同一中高二(上)月考)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)3CA 课堂探究空间几何体的表面积题型一【教师备用】
1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形?
提示:三棱柱上、下底面是三角形,侧面展开图为矩形;三棱锥各面均是三角形;三棱台上、下底面是三角形,侧面为梯形.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么?
提示:圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形;圆台的侧面展开图是扇环.题后反思 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和.
(2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决.
(3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆台通常还要还原为圆锥.空间几何体的体积题型二【例2】 (2015大同一中高二(上)月考)如图,已知正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高,若AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.题后反思 (1)常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.即时训练2-1:(2015吕梁学院附中高二(上)月考)如图所示,则这个几何体的体积等于( )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12组合体的表面积与体积题型三【例3】 (2015吕梁学院附中高二(上)月考)如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.题后反思 求组合体表面积与体积时应注意的问题
(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件23张PPT。1.3.2 球的体积和表面积 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解球的表面积和体积计算公式.
2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积.课标要求知识梳理2.半径是R的球的表面积为S= .4πR2自我检测DCC4.(表面积体积)(2015北京市房山区高二(上)期中)若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是 .?
答案:8∶27
5.(球的切接问题)(2015山西忻州高二期中联考)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .?
答案:14π 课堂探究球的表面积与体积 题型一【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;
(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决.由与球相关的三视图计算表面积与体积题型二答案: (1)D (2)3π题后反思 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的体积为 m3.?(2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 .?组合体的表面积与体积题型三【教师备用】
1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、b、c有何关系?2.若半径为R的球内切于棱长为a的正方体,则球半径R与棱长a有什么关系?
提示:球的直径为正方体的棱长,即2R=a.题后反思 解决几何体与球相切或相接的策略:
(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!第一章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的结构
1、2、5、13
三视图与直观图
3、4、10
空间几何体的侧面积与表面积
7、11、14、17
空间几何体的体积
6、8、9、15、16
综合应用
12、18、19、20
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列说法中正确的是( B )
(A)棱柱的侧面可以是三角形
(B)正方体和长方体都是特殊的四棱柱
(C)所有的几何体的表面都能展成平面图形
(D)棱柱的各条棱都相等
解析:棱柱的侧面都是平行四边形,各侧棱长相等,即选项A、D不正确;球的表面不能展成平面图形,即选项C不正确;选项B显然正确.
故选B.
2.(2014浙江台州高二期末)正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体可能是( D )
解析:正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,形成的几何体是两个共底面的圆锥.故选D.
3.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可能是( D )
(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱
解析:因为球的三视图均为圆,正方体的三视图均可以为正方形,所以排除A、C.而三条侧棱两两垂直且相等的正三棱锥的三视图可以为全等的直角三角形,排除B.故选D.
4.(2014成都高二期末)如图,A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图,若A′B′=3,则原正方形ABCD的面积是( A )
(A)9 (B)3 (C) (D)36
解析:由题意知,ABCD是边长为3的正方形,其面积S=9.故选A.
5.(2015太原五中高二(上)月考)已知长方体的表面积是24 cm2,过同一顶点的三条棱长之和是6 cm,则它的体对角线长是( D )
(A) cm (B)4 cm (C)3 cm (D)2 cm
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
由题意可知,2(ab+bc+ac)=24, ①
a+b+c=6, ②
②2-①可得a2+b2+c2=12,
所以长方体的体对角线的长为==2,故选D.
6.(2015安庆市石化一中高二(上)期中)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( B )
(A)4 (B) (C) (D)6
解析:几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1的正方形,棱台的高为2,并且棱台的两个侧面与底面垂直,四棱台的体积为V=×(22+12+)×2=,故选B.
7.(2015唐山市高二(上)期中)已知圆台的上下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的全面积为( B )
(A)3π (B)(5+3)π
(C)π (D)π
解析:圆台的全面积为π×12+π×22+π×1×+π×2×=
(5+3)π,故选B.
8.(2014宁波高二期末)已知圆锥的母线长为4,侧面展开图的圆心角为90°,那么它的体积为( A )
(A)π (B)π (C)π (D)4π
解析:设圆锥的底面半径为r,则2πr=·2π·4,r=1,
V=πr2h=π×12×=π.故选A.
9.(2015运城市康杰中学高二(上)期中)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )
(A)12 (B)18 (C)27 (D)54
解析:由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的棱柱,棱柱的底面面积S=×(4+5)×3=,棱柱的高h=4,故棱柱的体积V=Sh=54,故选D.
10.(2015蚌埠市五河高二(上)期中)如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为( D )
(A)2 (B)4 (C) (D)2
解析:由已知三棱柱及其正视图可知此三棱柱侧视图的面积=2×=2,故选D.
11.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( C )
(A)280 (B)292 (C)360 (D)372
解析:该几何体的直观图如图.
S表=2(2×8+8×10+2×10)+2(8×6+8×2)=360,
故选C.
12.(2015太原五中高二(上)月考)已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为( B )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解析:
如图设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,
则OO1EO2为矩形,
AE=AB=,O1A=2,
所以O1E==3,
所以AO2==4,选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015杭州市重点中学高二联考)已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为 .?
解析:设母线长为x,根据题意得2πx÷2=2π×1,
解得x=2.
答案:2
14.(2015北京市房山区高二(上)期中)底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为 cm2.?
解析:因为圆柱的底面直径和高都是4 cm,
所以圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π,
所以圆柱的侧面积是4π×4=16π.
答案:16π
15.(2015大同一中高二(上)月考)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 cm3.?
解析:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1 cm和
3 cm的直角三角形,
面积是×1×3= (cm2),
三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是2 cm,这是三棱锥的高,所以三棱锥的体积是××2=1(cm3).
答案:1
16.(2014马鞍山四校联考)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(b解析:==S△QEF·DD1
=×b×a×a
=a2b.
答案:a2b
三、解答题(本大题共4小题,共40分)
17.(本小题满分10分)
(2015河源市高二(上)期中)已知一个圆柱的侧面展开图是边长为
6π和8π的矩形,求该圆柱的表面积.
解:如图所示,以AB边为底面周长的圆柱时,底面圆半径r1==3,高h1=8π,所以S表=2π+2πr1h1=2π·32+2π·3·8π=18π+48π2.
以AD边为底面周长的圆柱时,底面圆半径r2==4,高h2=6π,
所以S表=2π+2πr2h2=2π·42+2π·4·6π
=32π+48π2.
综上,所求圆柱的表面积是48π2+32π或48π2+18π.
18.(本小题满分10分)
有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?
解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为,从而容器内水的体积为
V′=π··h=πh3,
由V=V′,
可得h=r.
19.(本小题满分10分)
(2014湖南师大附中高一期末)某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如图),其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图尺寸如图所示(单位cm).
(1)求出这个工件的体积;
(2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是每平方厘米1元,现要制作10个这样的工件,请计算喷漆总费用(精确到整数部分).
解:(1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为4,
母线长为3,
设圆锥高为h,则h==,
则 V=Sh=πR2h=π×4×=π(cm3).
(2)圆锥的侧面积S1=πRl=6π,
则表面积=侧面积+底面积=6π+4π=10π(cm2),
喷漆总费用=10π×10=100π≈314(元).
20.(本小题满分10分)
(2014葫芦岛高一期末)已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4.
(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面
面积;
(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求VⅠ∶VⅡ(体积之比).
解:(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4π和4,
则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.
(2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去,所以∠AOB=90°,
因为OA=OB=2,所以AB=2,
而截面ABCD是矩形且AD=4,
所以SABCD=8.
(3)依题知V圆柱=Sh=16π,
三棱柱AOBDO1C的体积是8,
则VⅠ+8=V圆柱=4π,所以VⅠ=4π-8,
而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8,于是VⅠ∶VⅡ=.
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的结构特征
1、2、3、10、13
折叠与展开
4、6、11
简单组合体的结构特征
5、8
简单几何体中的计算问题
7、9、12
基础巩固
1.(2015杭州市重点中学联考)下列说法正确的是( C )
(A)棱柱的底面一定是平行四边形
(B)棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
(C)圆台平行于底面的截面是圆面
(D)以圆的一条直径为轴,将圆旋转形成的曲面是一个球
解析:根据柱、锥、台、球的定义,可得圆台平行于底面的截面是圆面,故选C.
2.等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( B )
(A)圆台 (B)圆锥 (C)圆柱 (D)球
解析:由题意可得AD⊥BC,且BD=CD,
所以形成的几何体是圆锥.故选B.
3.有下列说法:
①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的
母线;
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线;
③在圆台上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的
母线;
④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的.
其中正确的是( D )
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)②④
解析:圆柱的母线与上下底面垂直.故①错,④正确,②显然正确.
故选D.
4.(2014蚌埠高二期末)如图,三棱锥SABC中,SA=SB=SC=2,△ABC为正三角形,∠BSC=40°,一质点从点B出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为( C )
(A)2 (B)3
(C)2 (D)3
解析:沿侧棱SB剪开,将侧面展开如图,则所求的最短路线长即为
BB′,BB′=2BD=2SBsin 60°=2.故选C.
5.(2015江西临川一中月考)图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )
(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)
解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),故选D.
6.在下面的四个平面图形中,哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图 .(填序号)?
解析:结合展开图与四面体,尝试折叠过程,可知①、②正确.
答案:①②
7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.?
解析:因棱柱有10个顶点,故该棱柱为五棱柱,又侧棱长都相等.故每条棱长为60÷5=12(cm).
答案:12
8.(2015江西新余一中月考)以直角梯形的一条边为轴旋转一周所形成的几何体是圆台吗?
解:不一定是.如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,BC∥AD.
以AB所在直线为轴旋转形成一个圆台;以AD所在直线为轴旋转形成一个圆柱和圆锥的组合体;以BC所在直线为轴旋转形成一个圆柱挖去一个圆锥的组合体;以CD所在直线为轴旋转形成一个圆台挖去一个小圆锥后和另一个圆锥的组合体.
能力提升
9.(2015安徽宿州十三校联考)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,已知圆台的母线长是6 cm,则圆锥的母线长为( C )
(A)2 cm (B) cm (C)8 cm (D)4 cm
解析:
该圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,圆锥的母线长为l,因为上、下底面的面积之比为1∶16,所以r1∶r2=1∶4.如图为几何体的轴截面;则有=,解得,l=8.故选C.
10.如图所示,对几何体的说法正确的序号为 .?
①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到.⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
解析:①显然正确;这是一个四棱柱,故③正确,②错;此几何体可由一个三棱柱截去一个小三棱柱得到,也可以由一个四棱柱截去一个三棱柱得到,故④,⑤正确.
答案:①③④⑤
11.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:
①点H与点C重合;②点D与点M与点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合.
其中正确命题的序号是 (注:把你认为正确的命题序号都
填上).?
解析:若将正方体的六个面分别用“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”标记,不妨记面NPGF为“上”,面PSRN为“后”,则易得面MNFE、PQHG、EFCB、DEBA分别为“左”、“右”、“前”、“下”,按各面的标记折成正方体,则可以得出D、M、R重合;G、C重合;B、H重合;A、S、Q重合,故②④正确,①③错误,所以答案是②④.
答案:②④
12.已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形,各侧棱长均相等,且侧棱长为,求四棱台的高.
解:
如图,在截面ACC1A1中,A1A=CC1=,A1C1=4,AC=8,
过A1作A1E⊥AC交AC于点E.
在Rt△A1EA中,
AE=（8-4）=2,A1A=,
所以A1E===3,
即四棱台的高为3.
探究创新
13.(2015杭州市重点中学高二联考)在正方体ABCDA′B′C′D′中,P为棱AA′上一动点,Q为底面ABCD上一动点,M是PQ的中点,若点P,Q都运动时,点M构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是( A )
(A)棱柱 (B)棱台
(C)棱锥 (D)球的一部分
解析:由题意知,当P在A′处,Q在AB上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′),当P在A′处,Q在AD上运动时,M的轨迹为过AA′的中点,在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′),
当Q在B处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面
AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB),
当Q在D处,P在AA′上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面
AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AD),
当P在A处,Q在BC上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB),
当P在A处,Q在CD上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AB),
同理得到:P在A′处,Q在BC上运动;P在A′处,Q在CD上运动;P在A′处,Q在C处,P在AA′上运动;
P、Q都在AB,AD,AA′上运动的轨迹.进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱.故选A.
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
【选题明细表】
知识点、方法
题号
平行投影
3、9
几何体的三视图
2、5、6、7、8、11
由三视图还原几何体
1、4、10、12
基础巩固
1.已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是( B )
(A)长方体 (B)圆柱 (C)立方体 (D)圆锥
解析:俯视图是圆,所以为旋转体,
可排除A、C,
又正、侧视图为矩形,所以不是圆锥,排除D.
故选B.
2.(2015安徽涡阳四中月考)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( C )
解析:由正视图和侧视图可知,俯视图中的小矩形应在大矩形的左下角.故选C.
3.(2015安庆市石化一中高二(上)期中)如图,点O为正方体ABCD
A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( D )
解析:由题意知光线从上向下照射,得到C,
光线从前向后照射,得到A.
光线从左向右照射得到B.故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D,故选D.
4.(2015安徽淮南一中月考)如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是( A )
(A) (B)2 (C)1 (D)2
解析:由三视图可知该几何体是三条棱两两垂直的三棱锥,其最大面为边长为2的正三角形.最大面的面积为×22=.故选A.
5.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( C )
(A) (B)
(C) (D)1
解析:这个三棱锥的侧视图是底边长为,高为的三角形,其面积为××=,故选C.
6.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是 和 .?
解析:由侧视图可知,三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2,设底面边长为a,则由a=2得a=4.
答案:2 4
7.(2013高考湖南卷)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 .?
解析:由题意正方体的侧视图与正视图是全等的矩形,则正视图的面积也等于.
答案:
8.在下面图形中,图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图,你认为正确吗?如果不正确,请找出错误并改正,然后画出侧视图.(尺寸不作严格要求)
解:图(a)是由两个长方体组合而成的,正视图正确,俯视图错误,俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示),侧视图轮廓是一个矩形,有一条可视的交线(用实线表示),正确画法如图所示.
能力提升
9.(2015大同一中高二(上)月考)如果用表示1个立方体,用表示两个立方体叠加,用表示3个立方体叠加,那么如图中由7个立方体摆成的几何体,从正前方观察,可画出平面图形是( B )
解析:由题意和题图可知,左边和右边各为一个正方体,用表示,当中为三个正方体,用表示,上面为两个正方体,用表示,所以答案B是符合题意的,故选B.
10.(2015河南商水实验高中月考)用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示,对这个几何体,下列说法正确的是( D )
(A)这个几何体的体积一定是7
(B)这个几何体的体积一定是10
(C)这个几何体的体积的最小值是6,最大值是10
(D)这个几何体的体积的最小值是5,最大值是11
解析:由正视图、侧视图可知,上部分一定是两个小正方体,下部分最多可以是9个小正方体,最少是3个小正方体,所以这个几何体的体积的最小值是5,最大值是11.故选D.
11.画出如图所示的水平放置的三棱柱的三视图.
解:该几何体的三视图如图所示.
探究创新
12.用小立方体搭成一个几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,搭建这样的几何体,最多要几个小立方体?最少要几个小立方体?
解:由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字,因此,用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字,即如图①所示,此种情况共用小立方块17块.
① ②
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字,其他方框内的数字可减少到最少的1,即如图②所示,这样的摆法只需小立方块11块.
1.2.3 空间几何体的直观图
【选题明细表】
知识点、方法
题号
斜二测画法的概念及应用
1、2、9、10
平面图形的直观图
6、11
画空间几何体的直观图
7、12
直观图还原为平面图
3、4、5、8
基础巩固
1.由斜二测画法得到:
①相等的线段和角在直观图中仍然相等;
②正方形在直观图中是矩形;
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;
④菱形的直观图仍然是菱形.
上述结论正确的个数是( A )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:只有平行且相等的线段在直观图中才相等,而相等的角在直观图中不一定相等,如角为90°,在直观图中可能是135°或45°,故①错,由直观图的斜二测画法可知②③④皆错.故选A.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )
(A)45° (B)135° (C)90° (D)45°或135°
解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.
3.(2015江西师大附中月考)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC中∠ABC的大小是( C )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=.故原
△ABC是一个等边三角形.选C.
4.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形状是( A )
解析:直观图中正方形的对角线长(即在y′轴上的部分)为,因此在原图形中应在y轴上且长为2.故选A.
5.(2015嘉兴一中高二(上)期中)如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( B )
(A)6 (B)8 (C)2+3 (D)2+2
解析:作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段C′B′∥x′轴,所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变,点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍,则OB=2,所以OC=3,则四边形OABC的周长为8.故选B.
6.(2015太原五中高二(上)月考)等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 .?
解析:在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,
所以高DE=1,
根据斜二测画法的规则可知,A′B′=AB=3,D′C′=DC=1,O′D′=DE=,直观图中的高D′F′=O′D′sin 45°=×=,所以直观图
A′B′C′D′的面积为×=.
答案:
7.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点
B′到x′轴的距离为 .?
解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,
而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.
答案:
能力提升
8.(2015德阳龙台中学高二(上)期中)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为( D )
(A)2 (B) (C)2 (D)4
解析:由斜二测画法知直观图与原图形面积比为∶4,所以原图形面积为4.选D.
9.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则△ABC中AB边上的中线的长度为 .?
解析:由于在直观图中∠A′C′B′=45°,
则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
斜边AB=5,
故斜边AB上的中线长为2.5.
答案:2.5
10.(2015陕西三元北城中学月考)在一等腰梯形ABCD中,AB∥DC,
∠A=45°,DC=2,AD=,建立如图所示的直角坐标系,其中O为AB的中点,E为CD的中点,则其直观图的面积为 .?
解析:
由题意可知AB=DC+2ADcos 45°=4,EO=sin 45°=1,其直观图如图所示,其中A′B′=4,C′D′=2,
高h′=E′O′·sin 45°=,
所以SA′B′C′D′==.
答案:
11.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
解:由三观图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆台,上部是一个圆锥.
画法:(1)画轴.如图,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆台的下底面,在x轴上取A、B两点,使AB等于俯视图中小圆的直径,且OA=OB.以AB为长轴画椭圆,为圆台的下底面.
(3)画圆台的上底面,在Oz上取点O′,使OO′等于正视图中梯形的高,过O′作平行于Ox轴的轴O′x′,类似于圆台下底面的画法画出圆台的上底面.
(4)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使PO′等于正视图中相应的
高度.
(5)成图,连接PA′、PB′、AA′、BB′,整理得几何体的直观图.
探究创新
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其
面积.
解:四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,
所以在原四边形ABCD中,
DA⊥AC,AC⊥BC,
因为DA=2D′A′=2,
AC=A′C′=,
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【选题明细表】
知识点、方法
题号
求几何体的侧面积与表面积
1、2、3、7
求几何体的体积
4、9
组合体的表面积与体积
5、6
综合问题
8、10、11
基础巩固
1.(2014兰州五十五中高一期末)各棱长均为a的三棱锥的表面积为( D )
(A)4a2 (B)3a2 (C)2a2 (D)a2
解析:三棱锥的表面积S=4××a2sin 60°=a2.
故选D.
2.(2014莱州高二期末)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( B )
(A)6π (B)12π
(C)18π (D)24π
解析:由三视图知,该几何体是圆台,两底面半径分别为r′=1,r=2,母线l=4,
则S侧=π(r+r′)l=π(1+2)×4=12π.故选B.
3.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B )
(A)32 (B)16+16
(C)48 (D)16+32
解析:由题意知该几何体为四棱锥,其高为2,底面是边长为4的正方形,
S侧=×4××4=16,
S底=4×4=16,
S表=16+16,故选B.
4.(2015大同一中高二(上)月考)网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
解析:该几何体是三棱锥,三棱锥的高为3;底面三角形是斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=××6×3×3=9,故选B.
5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( C )
(A)92+24π (B)82+14π (C)92+14π (D)82+24π
解析:由三视图知几何体是半圆柱与长方体的组合体,
下面长方体的长、宽、高分别为5、4、4;
上面半圆柱的半径为2,高为5;
所以几何体的表面积S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底=π×2×5+2×(4+5)×4+4×5+π×22=92+14π,故选C.
6.(2015安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.?
解析:
几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:
V=V棱柱-V棱锥=×3×4×5-××3×4×3=24(cm3).
答案:24
7.(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形,则圆锥的表面积是 .?
解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形,
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积==π,
设圆锥的底面圆的半径为r,
因为扇形的弧长为×2=π,
所以2πr=π,所以r=,
所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π,
答案:π
能力提升
8.(2015山西山大附中高二(上)期中)在三棱锥PABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为( C )
(A)a (B)a (C)a (D)a
解析:设点P到平面ABC的距离为h,
因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,
所以AB=BC=AC=a,
所以S△ABC=a2,
根据=,
可得××a3=×a2×h,所以h=a,
即点P到平面ABC的距离为a,故选C.
9.(2015山西忻州高二期中联考)如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为( A )
(A)2∶1 (B)3∶1
(C)3∶2 (D)4∶3
解析:设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,
连接BA1,BC1,
因为点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C1Q,
所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的底面积相等.
把三棱柱ABCA1B1C1分割为BAPQC,BC1QPA1,BB1A1C1,
三棱锥BB1A1C1的体积为V,
所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的体积之和为
V-V=,
因为四棱锥BAPQC,BC1QPA1的底面积、高相等.
所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的体积相等,即为V,
所以棱锥BAPQC,BC1QPA1,BB1A1C1的体积相等,为V,
所以平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2∶1,
故选A.
10.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB
=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形ABCD,做圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积是多少?
解:(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R,
AD=x,则OD=72-x,
由题意得
解得R=12,r=6,x=36,所以AD=36 cm.
(2)圆台所在圆锥的高H==12,
圆台的高h==6,
所以V容=(πr2+πrR+πR2)h=504π cm3.
探究创新
11.(2014连云港高一期末)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.
(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;
(2)求三棱锥B1DBQ的体积;
(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.
解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,
理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,
所以C为DO的中点,
延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,
所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.
(2)==×（×2×2）×2=.
(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,
所以梯形APQD1为所求截面,
梯形APQD1的高为=,
S=(+2)×=.
1.3.2 球的体积和表面积
【选题明细表】
知识点、方法
题号
球的表面积、体积
1、4、6、7、8、10
与球有关的三视图
3、11
与球有关的“切”、“接”问题
2、5、9
基础巩固
1.两个球的半径之比为2∶3,那么这两个球的表面积之比为( B )
(A)2∶3 (B)4∶9 (C)∶ (D)8∶27
解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,
则===.
故选B.
2.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )
(A)3πa2 (B)6πa2 (C)12πa2 (D)24πa2
解析:根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,
所以S球=4πR2=6πa2,故选B.
3.(2014南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D )
(A)9π (B)10π (C)11π (D)12π
解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积S=4πR2+2πr2+2πr·h,代入数据得S=4π+2π+2π×3=12π.故选D.
4.(2015唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1∶S2等于( C )
(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1
解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,
则S1=6π,S2=4π.
所以S1∶S2=3∶2,故选C.
5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4,底面边长都为2,则这个球的表面积是 .?
解析:长方体的体对角线长为=2,球的直径是2R=2,
所以R=,
所以这个球的表面积S=4π()2=24π.
答案:24π
6.(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm2.?
解析:
设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=R-1,
则(R-1)2+32=R2,
解之得R=5 cm,
所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).
答案:5 100π
7.(2015大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和
体积.
解:S球=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
即该几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4
=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以该几何体的体积为
V圆台-V半球=52π-=(cm3).
能力提升
8.(2014景德镇高二期末)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为( C )
(A)153π (B)160π (C)169π (D)360π
解析:
如图,由题意得BC=5,
O1A=BC=,
OO1=AA1=6,
则球半径r=OA=
=
=,
S球=4πr2=169π.
故选C.
9.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( A )
(A)1∶27 (B)1∶9 (C)1∶3 (D)9∶1
解析:设四面体的内切球半径为r,外接球半径为R,四面体各面面积为S,
则4×Sr=S(R+r),
解得R=3r,
所以四面体的内切球和外接球的体积之比为1∶27.
故选A.
10.(2015河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为2,求球的体积.
解:如图所示,作出轴截面,
因为△ABC是正三角形,
所以CD=AC=2,
所以AC=4,AD=×4=2,
因为Rt△AOE∽Rt△ACD,
所以=.
设OE=R,则AO=2-R,
所以=,
所以R=.
所以V球=πR3=π·=.
所以球的体积等于
探究创新
11.一个半径为1的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积和表面积.
解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为4份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体积V=π-π×=π,
表面积S=4π-4π×+π×3×2
=.
