第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．给出下列结论：
①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；
②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；
③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；
④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等．
其中，正确的结论是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
答案：B
2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－ B．
C．－1 D．1
答案：C
3.如右图所示，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
答案：A
4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．{m|m＜1} B．{m|m＞－1}
C．{m|－1＜m＜1} D．{m|m＞1或m＜－1}
答案：C
5．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C. D．(0,3]
答案：B
二、填空题
6．已知a＞0，若平面内3点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
答案：1＋
7．如下图所示，如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
答案：30°
8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．
答案：∪
三、解答题
9．已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
解：设l的斜率为k，倾斜角为α.
当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°；
当m≠1时，k＝＝；
当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°；
当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，
90°＜α＜180°.
所以0°＜α＜180°，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
课件25张PPT。1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴__________与直线l__________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如右图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.直线的倾斜角[导入新知]3.1.1 倾斜角与斜率正方向向上2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与直线形状的关系。2.0°≤α＜180°对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有3个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．[化解疑难]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的__________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝__________.
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的__________．直线的斜率[导入新知]正切tan α倾斜程度1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．[化解疑难][例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°直线的倾斜角
(2)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
[答案] (1)D (2)D[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用]
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°≤α＜180°
答案：C2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
答案：D[例2] (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
[答案] (1)－5 (2)1 (3)0直线的斜率
[类题通法]
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．直线的斜率的应用[典例] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．6.倾斜角与斜率的关系[成功破障]
已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
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第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
答案：C
3．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
答案：C
4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面4个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案：B
二、填空题
6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
答案：0
7．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．
答案：4
8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
答案：(－9,0)
三、解答题
9．已知△ABC的3个顶点坐标分别为A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求△ABC 3条边上的高所在直线的斜率．
解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.
因为kAB＝＝，
所以由kAB·k1＝－1，
可得k1＝－2；
因为kAC＝＝2，
所以由kAC·k2＝－1，
可得k2＝－；
因为kBC＝＝－1，
所以由kBC·k3＝－1，
可得k3＝1.
综上可得，边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为－2，－，1.
10．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
解：当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，
解得m＝3；
当l1⊥l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；
当l1⊥l2时，m的值为－.
课件26张PPT。对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?__________.两条直线平行[导入新知]3.1.2 两条直线平行与垂直的判定k1＝k2对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．[化解疑难]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__________；反之，如果它们的斜率之积等于__________，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?__________.两条直线垂直[导入新知]－1－1k1k2＝－1对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2?k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[化解疑难]两条直线平行的判定[类题通法]
判断两条不重合直线是否平行的步骤[例2] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．两条直线垂直的问题[类题通法]
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
[活学活用]
已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)4点，若顺次连接A，B，C，D 4点，试判定四边形ABCD的形状．平行与垂直的综合应用
[类题通法]
1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．
2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．[活学活用]
已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥ BC，试求点D的坐标．[典例] (12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．8.利用平行或垂直确定参数值[解题流程][活学活用]
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
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第三章 3.2 3.2.1
一、选择题
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案：C
2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是( )
答案：D
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案：D
4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
答案：A
5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．无法判断
答案：A
二、填空题
6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．
答案：y－2＝(x＋3)
7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．
答案：(3,2)
8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．
答案：
三、解答题
9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的3条边所在直线的方程．
解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.
10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.
课件24张PPT。1．直线的点斜式方程
(1)定义：如右图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程________________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．点斜式、斜截式[导入新知]3.2.1 直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)x＝x02．直线的斜截式方程
(1)定义：如右图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的______．倾斜角是_____的直线没有斜截式方程．直角y＝kx＋b截距[化解疑难][例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．
[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0直线的点斜式方程
[类题通法]
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
[活学活用]
若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．
解：(1)直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，
即方程为x＋y－3＝0.[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．直线的斜截式方程[类题通法]
1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[例3] 当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，
则k1＝a，k2＝a＋2.
∵两直线互相垂直，
∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相垂直．两直线平行与垂直的应用[类题通法]
判断两条直线位置关系的方法
直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若k1≠k2，则两直线相交．
(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，
当b1≠b2时，两直线平行；
当b1＝b2时，两直线重合．
(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．[活学活用]
1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．
答案：3[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．7.斜截式判断两条直线平行的误区
[易错防范]
1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．
2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．
[成功破障]
当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？
解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，
解得a＝－3.
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第三章 3.2 3.2.2 & 3.2.3
一、选择题
1．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.ab B．|ab|
C. D．
答案：D
3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如右图所示，则( )
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a<0，b＞0
C．若c＜0，则a>0，b<0
D．若c<0，则a>0，b＞0
答案：D
4．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，点P(x0，y0)在l上，则l的方程可化为( )
A．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＋C＝0
B．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＝0
C．A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0
D．A(x－x0)＋B(y－y0)＝0
答案：D
5．若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为( )
A. B．或0
C．0 D．－2
答案：A
二、填空题
6．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________.
答案：1或－3
7．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．
答案：3或－3
8．过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线方程为____________．
答案：x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0
三、解答题
9．已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式得解得
∴点C的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，
得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－.
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；
当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或解得a≤－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
课件35张PPT。直线的两点式与截距式方程两点式、截距式[导入新知]3.2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程垂直于垂直于原点[化解疑难]1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线方程的一般式[导入新知][化解疑难][例1] 三角形的3个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．利用两点式求直线方程[类题通法]
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]
1．已知直线经过点A(－3，－1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是________．
答案：3
2．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案：－2直线的截距式方程及应用[类题通法]
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]
求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？直线方程的一般式应用[类题通法]
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.[活学活用]
(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．[典例] 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[多维探究]
1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．2．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．4．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
[方法感悟]
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
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第三章 3.3 3.3.1 & 3.3.2 第一课时
一、选择题
1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
答案：C
2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)
答案：A
3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．3x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不能确定
答案：B
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
答案：A
二、填空题
6．已知在△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为________．
答案：等腰直角三角形
7．已知直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________．
答案：2x＋y＋1＝0
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
答案：
三、解答题
9．若3条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0能构成一个三角形，求k的取值范围．
解：①当l1∥l3时知k≠0且有＝1，所以有k＝5.
②当l2∥l3时知k≠0且有＝－1，所以有k＝－5.
③当l1，l2，l3三线交于一点时，
解方程组得
故直线l1与l2相交于点(1,1)．
又l3过点(1,1)，所以有5×1－k－15＝0，
所以有k＝－10.
综上可知，要使3条直线构成一个三角形，需有k≠±5且k≠－10.
10．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.
课件27张PPT。3.3.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离1．两直线的交点坐标两条直线的交点坐标[导入新知]Aa＋Bb＋C＝02．两直线的位置关系无数个相交平行[化解疑难]两点间的距离[导入新知][化解疑难]两条直线的交点问题[类题通法]
判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．[例2] 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．直线恒过定点问题
[类题通法]
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．[活学活用]
求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．[例3] 已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．两点间距离公式的应用[活学活用]
若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．[典例] 若3条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是( )
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－28.两条直线相交求参数中的误区③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l2与l3重合；
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
[答案] D[易错防范]
①处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．
②处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．
解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．
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第三章 3.3 3.3.1 & 3.3.2 第二课时
一、选择题
1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
答案：B
2．已知点P(a，b)与点Q(b＋1，a－1)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－1 D．y＝x＋3
答案：C
3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )
A．5 B．2
C．5 D．10
答案：C
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D．
答案：B
5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3,4
C．4,3 D．－4，－3
答案：B
二、填空题
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
答案：(－4，－1)
7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．
答案：(6，－8)
8．已知x，y∈R，函数f(x，y)＝＋的最小值是________．
答案：5
三、解答题
9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，
由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求；
当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．
解方程组
得交点B(k≠－2)．
由已知 ＝5，
解得k＝－.
∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3 千米、河北岸4千米处；B村在路东2 千米、河北岸 千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？
解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
可设点P为(x,0)，则有
|PA|＝
＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
即所求点P为且|PA|
＝ ＝.
故发电站应建在小路以西千米处的河边，它距两村的距离为千米．
课件24张PPT。1．两条直线的交点坐标如何求？
2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？
3．平面内两点间的距离公式是什么？
第二课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离(习题课)
4．过定点的直线系方程有什么特点？
5．如何用坐标法解决几何问题？
6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？
[例1] 过点M(0,1)作直线，使它被两条已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．两直线交点问题的综合应用
[类题通法]
两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．
[活学活用]
若3条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则点(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
答案：A[例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程．对称问题
2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．[活学活用]
与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
答案：D[例3] 一长为3 m，宽为2 m缺一角A的长方形木板(如右图所示)，长缺0.2 m，宽缺0.5 m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？坐标法的应用
[类题通法]
1．用坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．
2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]
已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.证明：如右图所示，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得[典例] (12分)在x轴上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．9.利用转化思想求最值[解题流程][规范解答]
如图．
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第三章 3.3 3.3.3 & 3.3.4
一、选择题
1．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
答案：D
2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤3 B．0＜d≤5
C．0＜d＜4 D．3≤d≤5
答案：B
3．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．0条
答案：B
4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
答案：C
5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3 B．2
C．3 D．4
答案：A
二、填空题
6．若点(4,0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为________．
答案：－1或－31
7．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________________．
答案：x＝1或x－y－1＝0
8.如右图所示，平面中两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
①若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有4个．
上述命题中，正确的命题是________(填序号)．
答案：①③
三、解答题
9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为
3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝ .
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝.
又∵m≠－13，∴m＝－19，
即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，得n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为
x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
课件25张PPT。点到直线的距离与两条平行直线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离[导入新知]3.3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离[化解疑难]3．对平行直线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行直线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.点到直线的距离
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.[类题通法]
应用点到直线的距离公式应注意的3个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．2．已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．[例2] 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．两条平行直线间的距离[例3] 求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．距离的综合应用
[类题通法]
解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．[活学活用]
求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．[典例] 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况
[易错防范]
1．*处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．
2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．
[成功破障]
经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．
答案：x＝1或3x－4y＋5＝0
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3.1直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
直线的倾斜角
[导入新知]
1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如右图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是2.0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与直线形状的关系。
倾斜角
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
直线
[化解疑难]
对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有3个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
直线的斜率
[导入新知]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
[化解疑难]
1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．二用，就是将点的坐标代入斜率公式．三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
直线的倾斜角
[例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
[答案] (1)D (2)D
[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[活学活用]
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°≤α＜180°
答案：C
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
答案：D
直线的斜率
[例2] (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
[答案] (1)－5 (2)1 (3)0
[类题通法]
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
[活学活用]
若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：A
直线的斜率的应用
[例3] 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
[解] 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.
[类题通法]
根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．
[活学活用]
点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围为.
6.倾斜角与斜率的关系
[典例] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．
[解析] 如右图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
[答案]
[易错防范]
1．本题易错误地认为答案为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.
2.如右图所示，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．
[成功破障]
已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．
一、选择题
1．给出下列结论：
①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；
②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；
③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；
④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等．
其中，正确的结论是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
答案：B
2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－ B．
C．－1 D．1
答案：C
3.如右图所示，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
答案：A
4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．{m|m＜1} B．{m|m＞－1}
C．{m|－1＜m＜1} D．{m|m＞1或m＜－1}
答案：C
5．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C. D．(0,3]
答案：B
二、填空题
6．已知a＞0，若平面内3点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
答案：1＋
7．如下图所示，如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
答案：30°
8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．
答案：∪
三、解答题
9．已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
解：设l的斜率为k，倾斜角为α.
当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°；
当m≠1时，k＝＝；
当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°；
当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，
90°＜α＜180°.
所以0°＜α＜180°，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行
[导入新知]
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.
[化解疑难]
对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
两条直线垂直
[导入新知]
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1.
[化解疑难]
对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2?k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
两条直线平行的判定
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
[解] (1)由题意知，k1＝＝－，
k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，
又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
[类题通法]
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[活学活用]
求证：顺次连接A(2，－3)，B，C(2,3)，D(－4,4)4点所得的四边形是梯形(如右图所示)．
证明：因为kAB＝＝－，
kCD＝＝－，所以kAB＝kCD，从而AB∥CD.
因为kBC＝＝－，kDA＝＝－，
所以kBC≠kDA，从而直线BC与DA不平行．
因此，四边形ABCD是梯形．
两条直线垂直的问题
[例2] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．
[解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在．
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．
当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
[类题通法]
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
[活学活用]
已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
答案：(1,0)或(2,0)
平行与垂直的综合应用
[例3] 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)4点，若顺次连接A，B，C，D 4点，试判定四边形ABCD的形状．
[解] 由题意知A，B，C，D 4点在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，
kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
[类题通法]
1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．
2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．
[活学活用]
已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
解：设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，
所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，
所以
解得即D(10，－6).
8.利用平行或垂直确定参数值
[典例] (12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
[解题流程]
当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，
且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4，(10分)
所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.(12分)
[活学活用]
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
一、选择题
1．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
答案：C
3．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
答案：C
4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面4个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案：B
二、填空题
6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
答案：0
7．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．
答案：4
8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
答案：(－9,0)
三、解答题
9．已知△ABC的3个顶点坐标分别为A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求△ABC 3条边上的高所在直线的斜率．
解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.
因为kAB＝＝，
所以由kAB·k1＝－1，
可得k1＝－2；
因为kAC＝＝2，
所以由kAC·k2＝－1，
可得k2＝－；
因为kBC＝＝－1，
所以由kBC·k3＝－1，
可得k3＝1.
综上可得，边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为－2，－，1.
10．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
解：当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，
解得m＝3；
当l1⊥l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；
当l1⊥l2时，m的值为－.
3．2直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
点斜式、斜截式
[导入新知]
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如右图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如右图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.
2．直线的斜截式方程
(1)定义：如右图所示，直线l的斜率为k，
且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
[化解疑难]
1．关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
直线的点斜式方程
[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．
[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0
[类题通法]
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
[活学活用]
若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．
解：(1)直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，
即方程为x＋y－3＝0.
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.
(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，
故所求的直线方程为y＝x.
直线的斜截式方程
[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[答案]
(1)y＝－x－3
(2)[解] 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，
∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
[类题通法]
1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
[活学活用]
写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝，∴y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4,0)和(0，－2)，
∴k＝＝，∴y＝x－2.
两直线平行与垂直的应用
[例3] 当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，
则k1＝a，k2＝a＋2.
∵两直线互相垂直，
∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，
解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相垂直．
(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，
则k3＝－1，k4＝a2－2.
∵两条直线互相平行，
∴
解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相平行．
[类题通法]
判断两条直线位置关系的方法
直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若k1≠k2，则两直线相交．
(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，
当b1≠b2时，两直线平行；
当b1＝b2时，两直线重合．
(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．
[活学活用]
1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
答案：
2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．
答案：3
7.斜截式判断两条直线平行的误区
[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
[解] 由题设l2的方程可化为y＝－x－m，则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m.
∵l1∥l2，
∴l1的斜率一定存在，即m≠0.
∴l1的方程为y＝－x－.
由l1∥l2，得
解得m＝－1.
∴m的值为－1.
[易错防范]
1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．
2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．
[成功破障]
当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？
解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，
解得a＝－3.
一、选择题
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案：C
2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是( )
答案：D
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案：D
4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
答案：A
5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．无法判断
答案：A
二、填空题
6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．
答案：y－2＝(x＋3)
7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．
答案：(3,2)
8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．
答案：
三、解答题
9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的3条边所在直线的方程．
解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.
10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.
3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程
两点式、截距式
[导入新知]
直线的两点式与截距式方程
项目
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
在x轴上截距a，在y轴上截距b
图形
方程
＝
＋＝1
适用范围
不表示垂直于坐标轴的直线
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
[化解疑难]
1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程．
直线方程的一般式
[导入新知]
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
[化解疑难]
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出2个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用4种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤：
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.
利用两点式求直线方程
[例1] 三角形的3个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
[解] 由两点式，直线AB所在直线方程为＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为＝，
即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为＝，
即3x－2y＋3＝0.
[类题通法]
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
[活学活用]
1．已知直线经过点A(－3，－1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是________．
答案：3
2．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案：－2
直线的截距式方程及应用
[例2] 直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，
消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
[类题通法]
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
[活学活用]
求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，
则有S＝|a·b|＝1.
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝.
∴ab＝＝±2.
当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
直线方程的一般式应用
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] (1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0，
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，
需＝≠.
解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
法二：由l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
[类题通法]
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[活学活用]
(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝
－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)法一：设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
3.探究直线在坐标轴上的截距问题
[典例] 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
[解] 当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1①.
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|②.
由①②联立方程组，解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.
[多维探究]
1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为
＋＝1，又过A(4,2)，
∴a＝6，
∴方程为x＋y－6＝0.
综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.
2．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，
由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，
∴＝1，即a＝2，
∴x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又直线过A(4,2)，所以＋＝1，
解得a＝，方程为x＋3y－10＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
4．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
解：设直线l的方程为＋＝1，
由题意得
∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，
∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.
因此或
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.
[方法感悟]
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
一、选择题
1．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.ab B．|ab|
C. D．
答案：D
3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如右图所示，则( )
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a<0，b＞0
C．若c＜0，则a>0，b<0
D．若c<0，则a>0，b＞0
答案：D
4．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，点P(x0，y0)在l上，则l的方程可化为( )
A．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＋C＝0
B．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＝0
C．A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0
D．A(x－x0)＋B(y－y0)＝0
答案：D
5．若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为( )
A. B．或0
C．0 D．－2
答案：A
二、填空题
6．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________.
答案：1或－3
7．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．
答案：3或－3
8．过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线方程为____________．
答案：x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0
三、解答题
9．已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式得解得
∴点C的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，
得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－.
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；
当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或解得a≤－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
3．3直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离
两条直线的交点坐标
[导入新知]
1．两直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组的解是
2．两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
[化解疑难]
两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交?k1≠k2.
两点间的距离
[导入新知]
两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[化解疑难]
两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝ .
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
两条直线的交点问题
[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
[解] (1)解方程组
得所以l1与l2相交，且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6整理得2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
②×6－①得3＝0，矛盾．
方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
[类题通法]
判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
[活学活用]
直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，求k的值．
解：由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点．由得x＝y＝，代入y＝x－5，得＝·－5，解得k＝1或k＝.因为直线y＝kx＋3与直线y＝x－5相交，所以k≠，即k≠1，故k＝.
直线恒过定点问题
[例2] 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
[证明] 法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．
法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有得
不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．
[类题通法]
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
[活学活用]
求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：法一：设所求直线为l，因为直线l过已知两直线的交点，因此直线l的方程可设为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ①
又直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
所以－＝－3且≠，解得λ＝.
将λ＝代入①，整理，得15x＋5y＋16＝0，即为所求．
法二：解方程组得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋＝－3，即15x＋5y＋16＝0.
两点间距离公式的应用
[例3] 已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
[证明] 法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝，
又|BC|＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
[类题通法]
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
[活学活用]
若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．
解：若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0,0)或(－6,0)；
若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0,0)或(0,8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8).
8.两条直线相交求参数中的误区
[典例] 若3条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是( )
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若三条直线交于一点，由
解得
将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2①；
②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1②，
当a＝1时，l1与l2重合；
③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l2与l3重合；
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
[答案] D
[易错防范]
①处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．
②处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．
解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．
[成功破障]
若直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
一、选择题
1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
答案：C
2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)
答案：A
3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．3x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不能确定
答案：B
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
答案：A
二、填空题
6．已知在△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为________．
答案：等腰直角三角形
7．已知直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________．
答案：2x＋y＋1＝0
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
答案：
三、解答题
9．若3条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0能构成一个三角形，求k的取值范围．
解：①当l1∥l3时知k≠0且有＝1，所以有k＝5.
②当l2∥l3时知k≠0且有＝－1，所以有k＝－5.
③当l1，l2，l3三线交于一点时，
解方程组得
故直线l1与l2相交于点(1,1)．
又l3过点(1,1)，所以有5×1－k－15＝0，
所以有k＝－10.
综上可知，要使3条直线构成一个三角形，需有k≠±5且k≠－10.
10．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.
第二课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离(习题课)
1．两条直线的交点坐标如何求？
答案：略
2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？
答案：略
3．平面内两点间的距离公式是什么？
答案：略
4．过定点的直线系方程有什么特点？
答案：略
5．如何用坐标法解决几何问题？
答案：略
6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？
答案：略
两直线交点问题的综合应用
[例1] 过点M(0,1)作直线，使它被两条已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．
[解] 法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1.若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.
由题意＋＝0，
∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
法二：设所求直线与两已知直线分别交于A，B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.
[类题通法]
两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．
[活学活用]
若3条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则点(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
答案：A
对称问题
[例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程．
解：设原点关于l的对称点A 的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.
[类题通法]
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)．
可由方程组求得．
2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
[活学活用]
与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
答案：D
坐标法的应用
[例3] 一长为3 m，宽为2 m缺一角A的长方形木板(如右图所示)，长缺0.2 m，宽缺0.5 m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？
解：以AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则E(0.2,0)，F(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，
所以EF所在直线斜率k＝＝－.
∵所求直线与EF垂直，
∴所求直线斜率为k′＝，
又直线过点M(3,1)，
所以所求直线方程为y－1＝(x－3)．
令y＝0，则x＝0.5，所以所求直线与x轴交点为(0.5,0)，
故应在EB上截|EN|＝0.3 m，得点N，即得满足要求的直线MN.
[类题通法]
1．用坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．
2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
[活学活用]
已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.
证明：如右图所示，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得
|AC|＝＝，
|BD|＝＝，
所以|AC|＝|BD|.
9.利用转化思想求最值
[典例] (12分)在x轴上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．
[解题流程]
[规范解答]
如图．
[活学活用]
求函数f(x)＝＋的最小值．
解：由于f(x)＝＋＝＋，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则可把问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B.
由上图可直观得出|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝5，即f(x)的最小值为5.
一、选择题
1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
答案：B
2．已知点P(a，b)与点Q(b＋1，a－1)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－1 D．y＝x＋3
答案：C
3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )
A．5 B．2
C．5 D．10
答案：C
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D．
答案：B
5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3,4
C．4,3 D．－4，－3
答案：B
二、填空题
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
答案：(－4，－1)
7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．
答案：(6，－8)
8．已知x，y∈R，函数f(x，y)＝＋的最小值是________．
答案：5
三、解答题
9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，
由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求；
当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．
解方程组
得交点B(k≠－2)．
由已知 ＝5，
解得k＝－.
∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3 千米、河北岸4千米处；B村在路东2 千米、河北岸 千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？
解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
可设点P为(x,0)，则有
|PA|＝
＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
即所求点P为且|PA|
＝ ＝.
故发电站应建在小路以西千米处的河边，它距两村的距离为千米．
3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
[导入新知]
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
项目
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
[化解疑难]
1．点到直线的距离公式需注意的问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝
kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
2．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
3．对平行直线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行直线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
点到直线的距离
[例1] 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得
d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
[类题通法]
应用点到直线的距离公式应注意的3个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[活学活用]
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案：C
2．已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．
解：利用点到直线的距离公式得
＝，
于是a2－4a－6＝±6，且a2＋a4≠0，
∴a2－4a＝0或a2－4a－12＝0，且a2＋a4≠0，
∴a＝－2或a＝4或a＝6.
两条平行直线间的距离
[例2] 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
[解] 法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，
所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两条平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
[类题通法]
求两条平行直线间的距离，一般是直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
[活学活用]
两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
距离的综合应用
[例3] 求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．
[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．
由条件得＝，解得k＝4，
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．
∵直线AB的斜率kAB＝4，
若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0；
若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1.
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
[类题通法]
解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．
[活学活用]
求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解：由解得，即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，
点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，
则l的方程为y＋＝k(x－2)，
即kx－y－2k－＝0，
由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
所以l的方程为x－y－－＝0，
即4x－3y－10＝0.
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
9.漏掉直线斜率不存在的情况
[典例] 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
[解] ①若直线l1，l2的斜率存在*，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，
∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，
l2的方程为12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率不存在*，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
[易错防范]
1．*处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．
2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．
[成功破障]
经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．
答案：x＝1或3x－4y＋5＝0
一、选择题
1．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
答案：D
2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤3 B．0＜d≤5
C．0＜d＜4 D．3≤d≤5
答案：B
3．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．0条
答案：B
4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
答案：C
5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3 B．2
C．3 D．4
答案：A
二、填空题
6．若点(4,0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为________．
答案：－1或－31
7．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________________．
答案：x＝1或x－y－1＝0
8.如右图所示，平面中两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
①若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有4个．
上述命题中，正确的命题是________(填序号)．
答案：①③
三、解答题
9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为
3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝ .
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝.
又∵m≠－13，∴m＝－19，
即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，得n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为
x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )
A．α1＜α2＜α3 B．α1＜α3＜α2
C．α3＜α2＜α1 D．α2＜α1＜α3
答案：B
2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
答案：D
3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1 B．2
C. D．
答案：C
4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．3 D．－3
答案：B
5．已知P(－1,0)在直线l：ax＋by＋c＝0上的射影是点Q(－2，)，则直线l的倾斜角是( )
A．60° B．30°
C．120° D．90°
答案：B
6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
答案：D
7．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
答案：A
8．若点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2 B．3
C．9 D．－9
答案：D
9．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
答案：A
10．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A. B．
C. D．以上都不对
答案：A
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．不论a为何实数，直线(a＋3)x＋(2a－1)y＋7＝0恒过定点________．
答案：(－2,1)
12．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________．
答案：x－y＝0或x＋y－2＝0
13．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．
答案：2x＋y－5＝0
14．已知点A(4，－3)与B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是____________．
答案：(1，－4)或
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，
则解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
16．(本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0 ，当m为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？
解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
17．(本小题满分12分)如右图所示，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3,2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4,3)，
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
18．(本小题满分14分)如右图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解：由方程组解得顶点A(－1,0)．
又AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故BC的斜率为－2，BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组
得顶点C的坐标为(5，－6)．
所以点A的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(5，－6)．
