第四章 4.1 4.1.1
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
答案：C
2．以P(－2,3)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
答案：B
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
4．已知圆C经过点P(－2,4)和点Q(4,4)，直径为2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝10
B．(x＋1)2＋(y－5)2＝10
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
D．(x－1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
答案：D
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
答案：C
二、填空题
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且经过原点的圆的标准方程是__________________．
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
答案：(x＋5)2＋y2＝5
三、解答题
9．求经过点A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
4．1圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
[导入新知]
圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径．
(3)圆的标准方程：如右图所示，圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
[化解疑难]
1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
2．几种特殊位置的圆的标准方程：
条件
圆的标准方程
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
点与圆的位置关系
[导入新知]
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MC│＝r?点M在圆C上
点M(x0，y0)在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MC│
点M(x0，y0)在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
│MC│>r?点M在圆C外
点M(x0，y0)在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
[化解疑难]
1．点与圆的位置关系有3种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法.
求圆的标准方程
[例1] 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[答案] C
[类题通法]
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[活学活用]
求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
解：(1)圆的半径长r＝＝，
故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．
又∵半径r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)直线CD的斜率kCD＝＝1，
线段CD中点E的坐标为(0,2)，
故线段CD的垂直平分线的方程为y－2＝－x，
即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，
即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，
得r＝＝.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
点与圆的位置关系
[例2] 如右图所示，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[解] (1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝＝，
故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝＝，
|CN|＝＝＞，
|CQ|＝ ＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
[类题通法]
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
[活学活用]
若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＞1或a＞－1} D．{a|a＝±1}
答案：A
10.求解圆的方程中漏解
[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解] 法一：如右图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝ ＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，
∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，
∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
[易错防范]
1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．
2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．
[成功破障]
圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
答案：C
2．以P(－2,3)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
答案：B
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
4．已知圆C经过点P(－2,4)和点Q(4,4)，直径为2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝10
B．(x＋1)2＋(y－5)2＝10
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
D．(x－1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
答案：D
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
答案：C
二、填空题
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且经过原点的圆的标准方程是__________________．
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
答案：(x＋5)2＋y2＝5
三、解答题
9．求经过点A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
4.1.2 圆的一般方程
[导入新知]
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
[化解疑难]
1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
(1)x2，y2的系数相等且不为0；
(2)没有xy项．
2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明.
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
圆的一般方程的概念辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
[类题通法]
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆；
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
[活学活用]
下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
圆的一般方程的求法
[例2] 已知△ABC的3个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
[类题通法]
应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[活学活用]
求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切，
∴·＝－1，
即E－3D－36＝0.①
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0.③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
代入法求轨迹方程
[例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系(如右图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9. ②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
[类题通法]
用代入法求轨迹方程的一般步骤
[活学活用]
过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________．
答案：(x－4)2＋y2＝1
10.与圆有关的轨迹?轨迹方程?问题
[典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
[解题流程]
[活学活用]
一动点M到点A(－4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹．
解：设动点M的坐标为(x，y)，
则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0，
即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
一、选择题
1．圆的方程是x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆的面积最大时，圆心的坐标是( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
答案：D
2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则( )
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
答案：A
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )
A．a＝0，b≠0，c≠0 B．b＝c＝0，a≠0
C．a＝c＝0，b≠0 D．a＝b＝0，c≠0
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
答案：B
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，若点A的坐标为(0,1)，则点B的坐标为________．
答案：(2，－3)
7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
答案：－2
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0即D＞0，－>0即E<0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
所以解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.
由解得x＝0，y＝－3.
所以圆M过定点(0，－3)．
4．2直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
[导入新知]
1．直线与圆有3种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
[化解疑难]
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法．因为代数法计算烦琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
直线与圆位置关系的判断
[例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
[解] 法一：(代数法)
由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
①当直线和圆相交时，d②当直线和圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50.
[类题通法]
直线与圆位置关系判断的3种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[活学活用]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
答案：C
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案：C
切线问题
[例2] 过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
[解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，
∴点A在圆外．
法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，
不满足题意．
设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
法二：由于直线l与圆相切，所以方程组
只有1个解．
消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，
解得8k2＋6k＝0，即k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
[类题通法]
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法．
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法．
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
[活学活用]
1．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
答案：D
弦长问题
[例3] 已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)
如右图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
法二：(代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
(2)如右图所示，当弦AB被点P平分时，
OP⊥AB.∵kOP＝－2，∴kAB＝，
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
[类题通法]
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
[活学活用]
求经过点P且被定圆x2＋y2＝25截得的弦长为8的直线的方程．
解：当直线的斜率不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4，
所以弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0.
由已知，得弦心距为＝3，
所以＝3，解得k＝－，
所以此直线的方程为y＋＝－(x＋3)，
即3x＋4y＋15＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
11.过一点求圆的切线方程的解题误区
[典例] 过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．y＝1 B．x＝3
C．x＝3或y＝1 D．不确定
[解析] 由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1.当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.
[答案] C
[易错防范]
1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.
2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在．
[成功破障]
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为________．
答案：5x－12y＋45＝0或x＝3
一、选择题
1．(陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案：B
2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
答案：D
3．(安徽高考) 过点P (－，－1)的直线l 与圆 x2＋y2＝1有公共点，则直线 l的倾斜角的取值范围是( )
A. B．
C. D．
答案：D
4．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
答案：C
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
答案：B
二、填空题
6．(山东高考)圆心在直线 x－2y＝0上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截x 轴所得弦的长为2，则圆C 的标准方程为__________________．
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为____________________________．
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
9．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)求过P点的圆C的切线长．
解：(1)由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2
＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.
第二课时 直线与圆的位置关系(习题课)
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
答案：略
2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？
答案：略
3．如何求过某点的圆的切线方程？
答案：略
4．如何求圆的弦长？
答案：略
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如右图所示，
作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知＝＝2，解得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
[类题通法]
过已知圆外一点求切线的方程一般有3种方法：
(1)设切线斜率，用判别式法；
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；
(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[活学活用]
已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程．
[解] (1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由＝1，得k＝.
所以切线方程为y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0.
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，也符合题意．
故所求直线方程为4x－3y＝0或x＝3.
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为＋＝1或y＝kx，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得＝1或＝1.解得a＝3±，k＝0或k＝.
故所求切线方程为x＋y＝3±或y＝0或y＝x.
与圆有关的参数问题
[例2] 已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解] ∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为x＋3y－3m＝0，
圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出图象，如右图所示，其中l2：y＝－x＋，l3：
y＝－x－.
过原点作直线l0：y＝－x，m0：y＝－x.
∵直线l的斜率k＝－，直线AB的斜率k＝－1，
∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－x＋1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈.
∴m的取值范围是.
[类题通法]
解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案．
[活学活用]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：12x－5y＋c＝0(其中c为常数)．下列有关直线l与圆O的命题：
①当c＝0时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1；
②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则－13＜c＜13；
③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，则c＝13；
④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1，则13＜c＜39；
⑤当c＝±39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1.
其中正确命题的序号是________．
答案：①②⑤
直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 由消去y，
得5x2＋10x＋4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
又OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.
∴x1·x2＋(3－x1)·(3－x2)＝0，
整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，
∴5×－3×(－2)＋9＝0.
解得m＝3满足①
∴实数m的值为3.
[类题通法]
此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．
[活学活用]
自原点O作圆(x－1)2＋y2＝1的不重合两弦OA，OB，若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则|OA|·|OB|＝·
＝·
＝＝k.
∴x1x2＝.
设直线AB的方程为y＝mx＋b，
代入已知圆的方程并整理，得
(1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0，
由根与系数的关系，得x1x2＝.
∴＝.
∵原点O到直线mx－y＋b＝0的距离为，
∴所求定圆的半径r满足
r2＝＝(定值)．
∴直线AB恒切于定圆x2＋y2＝.
4.利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
[典例] 设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，求的最值．
[解] 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．
因为圆心(0,1)与定点的距离是＝，圆的半径是1，
所以的最小值是－1，最大值是＋1.
[多维探究]
1．化为求斜率问题
求的最小值．
解：法一：令＝t，
则方程组一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．
所以Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，
即6t－8≥0，解得t≥.
故的最小值是.
法二：令＝k，
则k表示圆上任一点与点(－1，－2)连线的斜率，
∴kx－y＋k－2＝0，
由≤1，得k≥.
∴的最小值为.
2．化为求圆心到直线距离问题
求直线x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值．
解：圆心为(0,1)，到直线x－y－2＝0的距离为＝，
因此直线上的点和圆上的点的最大距离为＋1，最小距离为－1.
3．化为求圆心到直线距离问题
若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋C＝0的距离为，求C的取值范围．
解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，
则＜，
解得＜C＜.所以C的取值范围为.
[方法感悟]
解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：
(1)k＝表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用Δ≥0求k的最值；也可用圆心到直线的距离d≤r，求k的最值．
(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r.
一、选择题
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4
答案：C
2．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．4
C．2 D．5
答案：B
3．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
答案：A
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
答案：B
5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案：A
二、填空题
6．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
答案：0或6
7．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是____________．
答案：3－
8．已知圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为________．
答案：14＋6
三、解答题
9．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角；
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：(1)证明：由已知直线l：y－1＝m(x－1)，知直线l恒过定点P(1,1)．
∵12＝1＜5，∴P点在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y得
(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，
x1，x2是一元二次方程的两个实根，
∵|AB|＝|x1－x2|，
∴＝·，
∴m2＝3，m＝±，
∴l的倾斜角为或.
(3)设M(x，y)，∵C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，
|CM|2＋|PM|2＝|CP|2，
∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．
当M与P重合时，M(1,1)满足上式，
故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0.
10．已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ的最小值．
解：(1)连接OP，∵Q为切点，
∴PQ⊥OQ，由勾股定理有
|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又∵|PQ|＝|PA|，
∴|PQ|2＝|PA|2，
即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，
整理，得2a＋b－3＝0.(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2a＋3，
∴|PQ|＝＝
＝＝ ，
∴当a＝时，|PQ|min＝，
即线段PQ的最小值为.
4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
圆与圆的位置关系
[导入新知]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下表所示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜
d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程组得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
[化解疑难]
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．
判断两圆的位置关系
[例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
[类题通法]
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[活学活用]
1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
答案：C
2．(湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则 m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
答案：C
与两圆相交有关的问题
[例2] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解：法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，
故b＝a－4.
则有＝，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝ .
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[类题通法]
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用]
已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
解：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，所以3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，
∴圆心C1到直线AB的距离d＝＝，
∴│AB│＝2＝2＝.
∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为.
直线与圆的方程的实际应用
[例3] 有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10 千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
[解] 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/千米，则从B运货到P地运费为a 元/千米．
若P地居民选择在A地购买此商品，
则2a＜a，
整理得2＋y2＜2.
即点P在圆C：2＋y2＝2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物．
同理可推得圆C外的居民应在B地购物．
圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．
[类题通法]
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题，明确题意；
(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)把代数结果还原为实际问题的解．
[活学活用]
某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A(，)，B(0,2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得或由实际意义知a＝0，b＝，
∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处．
坐标法解决平面几何问题
[例4] 如右图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.
[证明] 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．如右图所示，
设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝，
∴C(a，)，∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为
2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H，即H为CD中点，
∴EF平分CD.
[类题通法]
平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．
(2)通过代数运算，解决代数问题．
(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
[活学活用]
在平行四边形ABCD中，用坐标法证明：|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＋|BD|2.
证明：以CA所在的直线为x轴，线段CA的中点O为坐标原点，建立如右图所示的平面直角坐标系．
设A(a,0)，B(b，c)，则C(－a,0)，D(－b，－c)．
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝2(|AB|2＋|BC|2)
＝2[(b－a)2＋c2＋(－a－b)2＋(－c)2]
＝4a2＋4b2＋4c2，
|BD|2＋|AC|2＝(－b－b)2＋(－c－c)2＋(－a－a)2＝4a2＋4b2＋4c2.
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝|AC|2＋|BD|2.
11.由两圆相切求圆的方程
[典例] (12分)求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[解题流程]
故a＝2±2，此时圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(10分)
综上，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(12分)
[活学活用]
求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
一、选择题
1．已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
答案：B
2．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
答案：D
3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案：B
4．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[5，＋∞)
C．[1,5] D．(－∞，5]
答案：D
5．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4
C．8 D．8
答案：C
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线方程为________．
答案：x＋y－3＝0
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案：1
8．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
答案： －
三、解答题
9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)由两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r.
∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
|O1H|＝＝＝.
又圆心(0，－1)到直线AB的距离为＝，得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
10.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图所示)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，
DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(4－1)km.
4．3空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立及坐标表示
[导入新知]
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引3条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．
[化解疑难]
1．空间直角坐标系的建立
建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的3条棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
2．空间直角坐标系的画法
(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
(2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.
3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下
点的位置
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标表示
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
空间两点间的距离公式
[导入新知]
1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离
|OP|＝.
2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝ .
[化解疑难]
1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.
空间中点的坐标的确定
[例1] 如右图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
[解] 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如下图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，
则|CF|＝|AB|＝1，
|CE|＝|AB|＝，
所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
[类题通法]
空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz，这3个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
[活学活用]
如右图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
空间中点的对称
[例2] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________．
(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
答案：(1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)
[类题通法]
1．求空间对称点的规律方法．
空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变；其余坐标相反”这个结论．
2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：
(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
[活学活用]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )
A．(－3,1,5) B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)
答案：A
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．
答案：(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1)
空间中两点间的距离
[例3] 如右图所示，已知正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝＝a.
[类题通法]
求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
[活学活用]
如右图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D．a
答案：B
12.空间直角坐标系的应用误区
[典例] 如右图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
[解析] 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝，可得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
[易错防范]
1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．
[成功破障]
如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的3条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
解：(1)由题意知P的坐标为，P关于y轴的对称点P′的坐标为.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有|MP|＝
＝
＝ .
当m＝时|MP|取得最小值，所以点M为.
一、选择题
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
答案：C
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
答案：D
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
答案：D
4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
答案：B
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
答案：D
二、填空题
6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)
答案：等腰
7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．
答案：
8．在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．
答案：
三、解答题
9.如右图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
10．如右图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M，N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝ ＝.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相交或相切 B．相交或相离
C．相切 D．相交
答案：D
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )
A．D＋E＝2 B．D＋E＝1
C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2
答案：D
3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
答案：C
4．以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )
A. B．
C. D．
答案：C
5．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
答案：B
6．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为( )
A. B．3
C. D．5
答案：B
7．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
答案：C
8．圆心在x轴上，半径长为 ，且过点(－2,1)的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2
B．x2＋(y＋2)2＝2
C．(x＋3)2＋y2＝2
D．(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2
答案：D
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
答案：B
10．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
答案：D
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．在如右图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
答案：(a，b，c)
12．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
答案：2
13．设点A为圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上一动点，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为________．
答案：＋1
14．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为2，
∴r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
16．(本小题满分12分)正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)．
(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长度最短．
解：因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz上且在正方形ABCD的对角线AC上，
所以点M.
因为点N在坐标平面xBy上且在正方形ABEF的对角线BF上，|BN|＝a，所以点N.
(1)由空间两点间的距离公式，得|MN|＝
＝，即MN的长度为.
(2)由(1)得|MN|＝＝，当a＝(满足0＜a＜)时， 取得最小值，即MN的长度最短，最短为.
17．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如下图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，即当水面下降1米后，水面宽2米．
18．(本小题满分14分)已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．
解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或k＝－，故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( )
答案：C
2.如右图所示是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π
C．18π D．24π
答案：B
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是( )
A．8π cm2 B．12π cm2
C．2π cm2 D．20π cm2
答案：B
4.已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B′-ABC的体积为( )
A. B．
C. D．
答案：D
5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．1
答案：A
6.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，则其体积等于( )
A．6 B．2
C. D．2
答案：C
7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相交、相切或相离
答案：D
8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A. B.
C. D．
答案：C
9．在四面体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的( )
A．垂心 B．重心
C．外心 D．内心
答案：A
10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为________．
答案：12π
12．已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
答案：(1)③⑤ (2)②⑤
13．如下图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列3种说法：
①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是.
其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．
答案：①②
14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．
答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；
(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．
解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.
所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝＝2，
所以r＝，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离＞2，解得k＜.所以k的取值范围为.
16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如下图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图．
(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；
②证明：平面PBD⊥平面AGC.
解：(1)该几何体的直观图如图①所示．
①
(2)证明：如图②.
②
①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.
又OG?平面AGC，PD?平面AGC，
所以PD∥平面AGC.
②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，
所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，BO∩PO＝O，
所以AO⊥平面PBD.
因为AO?平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.
17．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当MN＝时，求MN所在直线的方程．
解：(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，
∴1＋a2≥4，∴a≥ 或a≤－.
即实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
(2)如图所示，设MN与AC交于点D.
∵MN＝，∴DM＝.
又MC＝2，∴CD＝ ＝.
∴cos∠MCA＝＝，∴AC＝＝，OC＝2，AM＝1，
MN是以A为圆心，半径AM＝1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，
圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，
∴MN所在直线方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0.
因此，MN所在的直线方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.
18．(本小题满分14分)(山东高考)在如右图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F-BD-C的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，
所以BD⊥平面AED.
(2)如图，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，
又FC⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，所以FC⊥BD.
由于FC∩CG＝C，
FC，CG?平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角．
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，
因此CG＝CB.
又CB＝CF，所以GF＝＝CG，
故cos ∠FGC＝，因此二面角F-BD-C的余弦值为.
