期中（第1-2章）易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
期中（第1-2章）易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个
C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个
2．的根为（ ）
A． B．， C．， D．
3．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．三点可以确定一个圆
C．直径是圆中最长的弦
D．相等的两条弦所对的弧相等
5．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
6．某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（ ）
A．1轮后共有名同学会做这个模型
B．第2轮又增加名同学会做这个模型
C．依题意可得方程
D．不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型
7．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
8．安化县从2020年开始大力发展“茶旅文化”旅游产业．据统计该县2020年实现旅游综合收入58亿元，到2022旅游综合收入达到了95亿元，设该县2021年、2022年旅游综合收入的年平均增长率为，则下列方程正确的是（）
A． B．
C． D．
9．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的解是
12．在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是 ．
13．用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ．
14．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
15．如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度．
16．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)
18．已知是方程的两根，求：
(1)的值；
(2)的值．
19．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)请画出与关于原点对称的；
(2)请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标____；
(3)求绕点逆时针旋转后，点所经过的路程．
20．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为．
(1)若，，求的长度；
(2)若，则____°．
21．左权县素有“中国核桃之乡”的美誉，核桃种植已经有1000多年的历史，该地种植的核桃以果仁饱满、皮薄、个大、味香、营养价值高而著称，不仅可以生吃，而且还是制作月饼、元霄、糕点馅的原料、某特产专卖店购进左权核桃进行销售，进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元，并尽可能地减少库存，每千克核桃应降价多少元？
22．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．
23．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值．
解：，无论为何值，，
当，即时，的值最小，且最小值为-3．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)当_____时，的值最大，且最大值为_____；
(2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值；
(3)求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数．
24．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
《期中（第1-2章）易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C A D A A A C
1．D
【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可．
【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则：
A、经过一个点P的圆有无数个，正确；
B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确；
C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确；
D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再因式分解求解即可．
【详解】解：，
，
，
或 ，
或 ，
方程的根为，．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解．
【详解】解：∵ 当时，；
当时，；
∴ 方程根在和之间．
故选：C
4．C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的弦、直径、确定圆的条件等相关性质是解题的关键．根据圆的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故A错误；
B、三点可以确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故B错误；
C、直径是圆中最长的弦，故C正确；
D、相等的两条弦所对的弧不一定相等，故D错误．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连结，过点作半径于点，根据垂径定理得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连结，过点作半径于点，
故选：A．
6．D
【分析】该题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得x的值是解题的关键．第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，且该值等于36，可解出；然后据此求得第三轮后总人数，即可解答．
【详解】解：∵第一轮后总人数：，
∴第二轮后总人数：，
简化得：，
解得：（负值已舍去），
∴第三轮后总人数为，
∴选项A、B、C均正确，选项D，错误．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程解的概念，掌握知识点是解题的关键．
由于是方程的一个根，直接代入方程即可求解a的值．
【详解】解：将代入方程，得
，
解得．
故选A．
8．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．
设年平均增长率为，则2021年收入为亿元，2022年收入为亿元，根据2022年收入95亿元列出方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为，
则2021年收入为亿元，2022年收入为亿元，
由于2022年收入为95亿元，则可列方程为．
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
设与的切点为E，与的切点为F，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：如图，设与的切点为E，与的切点为F，连接，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴的周长
．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围．
【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，，
，，
，，
，
，
，
的半径为5，
，
,分别为，的中点，，
为的中位线，
，
点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，
，
，
的取值范围为．
故选C．
11．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
通过移项将方程化为，再利用直接开平方法求解．
【详解】解：
，
，
因此，方程的解为，，
故答案为：，．
12．或
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的逆定理，如图，，，通过勾股定理逆定理得，所以，然后通过圆内接四边形即可求出度数，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴长度等于的弦所对的圆周角是或，
故答案为：或．
13．10
【分析】本题主要考查扇形的弧长公式．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径=．
故答案是：10．
14．2028
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是熟练应用整体代入法．根据方程根的定义，将已知条件代入代数式，通过代数变形求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
．
故答案为：．
15．
【分析】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键．
连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．
【详解】解：连接，．
、切于点、，则，
由圆周角定理知，，
，
．
故答案为：50．
16．
【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值．
【详解】解：如下图所示，连接，
，
是的直径，圆心在上，
，
，
，
，
以为斜边构造等腰直角，
则有，，
，
以点为圆心，为半径作圆，
在优弧上取一点，连接、，则，
，
点在的劣弧上运动，
当点、、三点共线时，的值最小，
，，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)2
(2)8
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于掌握．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题；
（2）提取公因式，将式子整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题．
【详解】（1）解：分别是一元二次方程的两根，
，
；
（2）解：
．
19．(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题考查坐标与旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据关于原点对称的点的特点，画出即可；
（2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（3）根据题意，得到点所经过的路程为以为半径，圆心角为的弧长，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
由图可知：；
（3）由勾股定理，得：，
由题意可知，点所经过的路程为．
20．(1)
(2)60
【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、圆周角定理：
（1）利用垂径定理和勾股定理即可求解；
（2）连接，首先根据垂径定理和圆周角定理得到和的关系，然后利用求出，最后利用直角三角形中两个锐角互余的性质解之．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长度为．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴．
∵，
∴．
故答案为：60．
21．6元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），正确理解题意，列出一元二次方程是解题的关键．
设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克，根据“该专卖店销售这种核桃获得的总利润每千克核桃的销售利润每天的销售量”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽可能地减少库存，即可得出结论．
【详解】解：设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克，
根据题意可得：，
整理，得：，
解得，，
要尽可能地减少库存，
，
答：每千克核桃应降价元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证；
（2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵是的直径，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
∵的半径为10，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)，
(2)时，的值最小，且最小值为
(3)见解析
【分析】本题考查了配方法的应用；
（1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值；
（2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可；
（3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，的值最大，且最大值为；
故答案为：，．
（2）解：
∵无论为何值，
当，即时，的值最小，且最小值为．
（3）证明：∵
∵，
∴，即多项式的值总为正数．
24．(1)90，120
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解；
（2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证；
（3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，，
∴，，，
∴，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形”内接于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接，当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，是直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，此时，，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，
作，交于E，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
当时，则，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)