河南省、陕西省2026届高三上学期11月小高考（二）数学试卷（含解析）

2025-2026学年高三上学期小高考（二）数学试题
一、单选题
1．若复数（）为纯虚数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A．，为奇函数 B．，为偶函数
C．，为偶函数 D．，为奇函数
4．若函数在区间上的值域为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前n项积为，且，，则（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
6．已知（，），则（ ）
A． B． C． D．
7．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（），则下列结论正确的是（ ）
A．的图象恒过点
B．若为奇函数，则的最小值为3
C．若，则的图象与动直线在区间上的交点个数恒为1
D．若，且，则
11．已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．可能是等比数列 B．的各项可能都大于1
C．的各项可能都小于1 D．若，则是递减数列
三、填空题
12．曲线的切线斜率的最小值为 ．
13．目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025年9月9日正式通车，这种桥体可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的设计方案图，AB为主梁，CD为索塔，且CD垂直平分AB，AC，EC为两条斜拉索，若，，，，且，则索塔CD最高为 m.
14．已知非零向量，的夹角为，且，若对任意的，恒有，则（）的最小值为 ．
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求a；
(2)若，求AB边上的高h.
16．已知等差数列满足，（为常数）.
(1)求的值，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．已知函数，.
(1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)证明：有且仅有一个极值点，且.
18．已知等比数列的公比为q（），等差数列的公差为d，且，.
(1)若，且，
（ⅰ）求q的值；
（ⅱ）若，求数列的前n项和.
(2)若（），证明：中的每一项都是中的项.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若不等式恒成立，求的值；
(3)若有两个不同的零点，（），且恒成立，
求实数k的最小值.
附：当时，.
参考答案
1．B
解析：为纯虚数，
，解得，，当时，符合题意．
．
故选：B．
2．A
解析：由题可知，
则，
故选：A.
3．D
解析：当时，，为奇函数，
当时，，为非奇非偶函数，
因为，
所以当时，显然，
因为.若为奇函数，则，
即，整理得.
因恒成立，故需，即.
所以存在使为奇函数，故D正确.
故选：
4．B
解析：由上函数的值域为，故，
所以，故，则.
故选：B
5．A
解析：因为等比数列的前n项积为，且，，
可得，所以，
由等比数列的性质，可得.
故选：A.
6．C
解析：因为，
所以，
因为，，所以，则，
即，解得或（舍去）.
故选：C
7．D
解析：如图所示，由向量加法的平行四边形法则知，
当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是；
当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是.
综上，可知的取值范围是.
故选：D.

8．C
解析：因为，则，
由，
所以，则，
由
所以，所以，
所以，则.
故选：C
9．BCD
解析：对于A，B，因为，所以，，
则的公差，则，故A错误，B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
解析：A：因为，所以的图象恒过点，正确；
B：因为奇函数，
所以（），解得（），
又，所以的最小值为2，错误；
C：如图，画出在区间上的图象，其两端点与关于原点对称，
所以两点连线经过原点，结合图象知的图象与动直线在区间上可能有2个交点，且有2个交点时，，错误；
D：由题知（），则（），
所以，正确.
故选：AD
11．ABD
解析：对于A，当时，，
依次类推，，
所以是等比数列，故A正确；
对于B，C，由题可知，，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
若，则，，…，，…，
若，则，，…，，…，故B正确，C错误；
对于D，，
设，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即，
同理，…，，则是递减数列，故D正确；
故选ABD.
12．
解析：，求导得，
当时，取得最小值，
曲线的切线斜率的最小值为．
故答案为：．
13．
解析：设，则，.
因为，所以，
即，解得，即索塔CD最高为m.
故答案为：
14．
解析：非零向量，的夹角为，且，
，
，
，即，
对任意的，恒有，
，即，则，
，
表示点到点，的距离之和，
取点关于x轴的对称点，则，如下图所示，
当点A，P，C共线时最小，最小值为，
（）的最小值为．
故答案为：．
15．（1）因为，所以，则，
由正弦定理得，所以；
（2）由正弦定理得，所以，
由余弦定理可得，
因为，即，
所以AB边上的高.
16．（1）设的公差为，则.
所以，
所以，解得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得.
所以，
则
.
17．（1）因为，
所以.
因为在时恒成立，
所以在时恒成立.
因为当时，，
所以，即m的取值范围是.
（2）由（1）可知.
令，则.
当时，，所以，单调递增，
当时，，所以，单调递减.
又则，，则，
所以，即在上有且仅有一个零点，设为，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以有且仅有1个极值点.
因为，所以，
两边平方得，即，解得，
因为，所以，则.
所以.
18．（1）解：（ⅰ）由题意知：且，可得，且，
所以，解得（舍去）或，所以的值为.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，则，
所以，
则，
两式相减得，
所以.
（2）证明：由，，可得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，即，所以且为正整数.
由已知是中的项，
当时，令，则，
.
因为且为正整数，所以为正整数，
即对任意的，均存在，使得，
所以中的每一项都是中的项.
19．（1）由题可知的定义域为，，
当时，，此时单调递减，
当时，令，可得，
当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，
即，.
要使不等式恒成立，必有的两根恰为m，n.
由根与系数的关系可得，，
所以.
（3）由（1）可知，时不符合题意，
当时，，
又，当时，，
所以若有两个不同的零点，则，解得，且.
由可得.
由，可得，，所以（*）.
令，则，，代入（*）式可得，则，
所以，，则.
所以.
令，，则.
令，则，
易知当时，，
所以，在上单调递减.
所以，所以，在上单调递增.
由题可知，当时，，
所以k的最小值为0.